苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性教学设计及反思

第5章   函数概念与性质

5.3  函数的单调性

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；

2.理解单调性的作用和实际意义；

3.会利用定义证明函数的单调性；

4.理解并掌握函数单调性的简单应用.

教学重点：会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．

教学难点：会求一些具体函数的单调区间．

PPT课件．

一、新课导入

德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：

这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的单调性．（板书：5.3.1 函数的单调性）

设计意图：情境导入，引入新课．

【探究新知】

函数f(x)＝x，g(x)＝x2的图象如图，观察其变化规律,回答下列问题。

                             图1　 　     图2

阅读教材第110页结合上述情境回答下列问题：

问题1：从图1上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？

问题2：从图2上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？

问题3：如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：1.图1中，自变量x增大时，函数f(x)的值也在增大；

2.图2中，在y轴左侧，自变量x增大时，函数f(x)的值在减小；在y轴右侧，自变量x增大时，函数f(x)的值也在增大．

3.如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，对应的当x从小到大依次取值时，函数值y依次增大．

设计意图：利用熟悉的函数研究函数的上升与下降趋势．

问题4：增函数与减函数如何定义？

师生活动：学生阅读教材，给出答案．

预设的答案：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A；如果，当

x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) 那么称f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x) 的增区间．如果，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2) 那么称f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x) 的减区间．

追问1：函数的单调性定义中的x1，x2有什么特征？

预设的答案：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

追问2：什么叫函数y=f(x)在区间I上具有单调性．

预设的答案：如果函数f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．增区间或减区间通称为单调区间．

追问3：函数的单调性应该注意哪些问题？

预设的答案：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力．

【巩固练习】

例1. 求证：函数在区间上是单调递增函数．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：设，且，

则　．

∵，∴．∴．

又，∴．∴，即．

∴在区间上是单调递增函数．

设计意图：熟悉利用函数的单调性的定义证明函数的单调性．

例2. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为

(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．

设计意图：熟悉利用函数的图象求函数的单调区间.

例3. （1）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

（2）已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：（1）函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，故选：D．

（2）由题知解得0<a<，即所求a的取值范围是．

反思与感悟：分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

设计意图：掌握利用函数的单调性求参数的范围．

【课堂小结】

1．       板书设计：

5.3.1  函数的单调性

1. 判断或证明函数的单调性   例1

2. 求函数的单调区间         例2

3. 函数单调性的应用         例3

2．总结概括：

问题：1.如何定义增函数与减函数？

2.定义法判断或证明函数的单调性时的步骤是什么？

3.如何求函数单调区间？

①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

4.如何由函数单调性求参数范围？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.

预设的答案：

1.

2. 利用定义证明函数单调性的步骤

3. 函数单调区间的两种求法

①图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

4. 由函数单调性求参数范围的处理方法是：

(1)由函数解析式求参数

若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，

若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．

若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．

(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的单调性的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 已知函数，若，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

设计意图：利用函数的单调性比较函数值的大小．

2. 定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

设计意图： 利用函数的单调性求参数的范围．

3. 已知函数则不等式的解集为（    ）

A．    B．    C． D．

设计意图：利用函数的单调性求解不等式．

4. 利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

设计意图：利用函数的单调性的定义证明函数的单调性．

参考答案：

1. 显然在上是增函数，且，

当时，，所以，又，从而.故选：D．

2.因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；

当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，

综上可知的取值范围是：，故选：D．

3. 得函数在R上单调递增，

则由可得，解得，

故不等式的解集为．故选：A．

4. ∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝．

因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，

所以＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．

所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数．