高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数4.2 对数教学设计

第4章   指数与对数

4.2  对数

第2课时  对数的运算性质

1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．

2.掌握换底公式及其推论．

3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

教学重点：对数的计算．

教学难点：换底公式的运用．

PPT课件．

一、新课导入

已知对数log864，log264，log28，log464，log48．

对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？

对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？

由上面的问题你能得出什么结论？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习对数的运算性质．（板书：4.2.2  对数的运算性质）

设计意图：承上启下，引入新课．

【探究新知】

问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：不正确，例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2．

追问1：你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：能．

令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n．

由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，

∴loga(MN)＝logaM＋logaN．

追问2：对数的运算性质还有哪些？

预设的答案：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga＝logaM－logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

特别提醒：巧记对数的运算性质：

(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．

(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．

(3)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．

问题2：(1)log28；(2)log232；(3)log832各为何值？(4) log832＝成立吗？

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：(1) 3；(2)log232＝5；(3)log832＝；（4）成立．

追问：对数换底公式是什么？如何证明？

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．

换底公式的推导：设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb，所以x＝，即logab＝．

 [知识拓展]　(1)可用换底公式证明以下结论：

①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③；④；⑤＝－logab．

(2)对换底公式的理解：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子．

设计意图：利用指数式与对数式的互化，导出对数的运算性质，进而得出换底公式。

【巩固练习】

例1． 计算：

（1）；

（2）．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：

（1）

＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝．

（2）

＝＝

＝＝

＝＝1．

反思与感悟：对数式化简与求值的基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

设计意图：熟练运用对数的运算性质对对数式进行化简与求值．

例2． 设，且，则（    ）

A．     B．10      C． 20       D．100

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：由，可得，，

由换底公式得，，

所以，

又因为，可得．

故选：A．

反思与感悟：利用换底公式求值的思想与注意点：

设计意图： 明确换底公式求值的思想与方法．

例3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：，

，

．故选：B．

设计意图：对数性质的综合运用．

【课堂小结】

1．             板书设计：

4.2.2  对数的运算性质

1． 对数式的运算        例1

2． 对数换底公式的应用  例2

3． 对数的综合应用      例3

2．总结概括：

问题：1． 对数式化简与求值的基本原则和方法有哪些？

2． 求解与对数有关的各种求值问题应注意问题哪些？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：1．对数式化简与求值的基本原则和方法：

(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

2．求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点：

(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式．

(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法．

(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确对数的运算性质的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1． 若，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

设计意图：理解对数的运算性质．

2． （    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固对数的运算性质．

3． 计算log916·log881的值为（    ）

设计意图：理解对数的运算性质与换底公式．

4． 若，则（    ）

A． B． C． D．2

设计意图：理解对数的运算性质与换底公式．

5． 计算： =_____________．

设计意图：熟练运用对数的运算性质．

6． 若 ________．

设计意图：理解对数的运算性质．

7． 已知 ， ，且 ，则 ______．

设计意图：理解对数的运算性质与换底公式．

8． （1）证明对数换底公式：（其中且，且，）

（2）已知，试用表示．

设计意图：理解与运用换底公式．

参考答案：

1． A选项，若,则，说法正确；

B选项，时不满足条件，说法错误；

C选项，若，则，不一定，说法错误；

D选项，时不满足要求，说法错误；故选 ：A．

2． ．故选：B．

3． 原式＝．故选：C．

4． 由题意，

根据指数式与对数式的转化可得，

由换底公式可得，

由对数运算化简可得．故选:A．

5． 由指数幂与对数的运算公式，可得：

原式  

．

6．．故答案为：12．

7． 因为，，

所以，，，

所以，

所以．故答案为：．

8． （1）设，写成指数式．

两边取以为底的对数，得．

因为，，，因此上式两边可除以，得．

所以，．

（2）．