福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、+侨光中学）2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题

这是一份福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、+侨光中学）2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题(5×8=40），多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
铭选中学、泉州九中、侨光中学2023年春季高一年期中联考数学试卷（考试时间：120分钟   满分：150分）命题者：陈佳妮 张旭阳  审核者：骆毓青  一、单选题(5×8=40）1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知两个向量，，若，则x的值为（    ）A． B． C． D．3．在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（    ）A． B． C． D．4．在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ）A．或 B．或 C． D．5．已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．已知，且，则（    ）A． B． C． D．7．在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（    ）A． B． C． D．48．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）A． B． C． D．二、多选题(5×4=20)9．若，，则（    ）A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为10．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（    ）A．最小正周期为              B．图象的一条对称轴为直线C．图象的一个对称中心为  D．在区间上的最小值为11．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）A．是等边三角形   B．若，则，，，四点共圆C．四边形面积最大值为  D．四边形面积最小值为12．设，函数，则下列命题正确的是（    ）A．若，则    B．若的值域为，则C．若函数在区间内有唯一零点，则D．若对任意的，且都有恒成立，则三、填空题(共20分)13．若复数是纯虚数，则实数m=____.14．已知，与的夹角为，则 ______.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．     16．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.四、解答题(共10+12+12+12+12+12=70分)17．已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.  18．已知函数．(1)当时，求函数的最大值；(2)若，求的值．19．在平面四边形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面积为，求AC；(2)若，，求.20．如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.(1)，求的值；(2)求证：，并求的最小值. 21．锐角的三个内角是、、，满足．(1)求角的大小及角的取值范围；(2)若的外接圆圆心为，且，求的取值范围． 22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？    铭选中学、泉州九中、侨光中学2023年春季高一年期中联考数学参考答案1．D  【详解】因为，以z在复平面内对应的点为（7，-1），位于第四象限．2．A【详解】若，则，解得.3．B【详解】由得，，的减区间是，，只有选项B的区间，4．C【详解】因为，所以，又因，所以，所以.5．D【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值6．A【详解】因为，所以，所以，则.因为，则，故，所以.7．B   【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，.8．A【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.9．AD【详解】解：因为，，所以，，，所以，，则，，故A正确，B错误；设与的夹角为，则，因为，所以，故C错误；在方向上的投影向量为，故D正确；10．AB【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，则函数的最小正周期，故A正确；因为，所以图象的一条对称轴为直线，故B正确因为，所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；当时，，所以，故D错误；11．AC【详解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B不正确．C正确，D不正确：设，则，，，，，，，，∴C正确，D不正确；故选：AC.．12．BCD【分析】根据正弦函数的周期性判断A，对和分别计算函数的取值情况，即可得到不等式组，从而判断B、C，依题意对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，从而各段均单调递增，且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的，即可得到不等式组，解得即可判断D；【详解】解：因为，对于A：，所以或，，解得或，，故A错误；对于B：若的值域为，当时，当时且，所以，解得，故B正确；对于C：若函数在区间内有唯一零点，①又，即时，当时，此时，所以函数在上单调递增，且，当时且，即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；②，即，则当时且即函数在上单调递增，即在上不存在零点，要使函数只有一个零点，在上有且仅有一个零点，故，解得，综上可得，故C正确；对于D：对任意的，且都有恒成立，即对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，所以，解得，故D正确；故选：BCD13．2  由题意，，解得 14．0【详解】因为，与的夹角为，所以，15．【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：16．【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.【详解】由，得，再由正弦定理得，故，所以，故，又为锐角三角形，故，即，，故，故答案为：.17．（共10分）  解：（1），，解得：或，     ------------2分当时，，；             ------------1分当时，，；             ------------1分综上所述：或10                                       ------------1分                                   （2）若共线，则，解得：或，        ------------2分 当时，，，此时同向；当时，，，此时反向； 若与的夹角为锐角，则，解得：且，--------2分 的取值范围为.                                  ------------1分 18．（共12分）解：（1）依题意，，                                                              -------------3分当时，，                             -------------1分则当，即时，，所以当时，.                               -------------2分（2）因为，则由（1）知，，即，------1分所以.                                           ---------------5分19．（共12分）解：（1）在△中，，，∴，可得，               -------------3分在△中，由余弦定理得，.                                                 -------------3分（2）设，则，在中，，易知：，      -------------2分在△中，由正弦定理得，即， ------2分     ，                                          -------------1分可得，即.                              -------------1分20．（共12分）解（1），故，                                                  -------------5分 （2），三点共线，故，即，                                              -------------3分，------------3分当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.------------1分21．（1）解：设的三个内角、、的对边分别为、、，因为 ，由正弦定理可得，...........1分所以，，................1分故， ...............1 分 因为为锐角三角形，则........1分解得，所以，角的取值范围是.........1分（求出就可以得1分）（2）解：设的外接圆半径为，所以，........1分设，则，则，所以..................1分.............................1分，........................1分因为，所以，所以..........2分，所以，所以，，所以的取值范围为....................1分22．（共12分）(1)由，，，则，------------1分所以，，则，                  -------------1分在△ACM中，由余弦定理得，则，                                                                -------------1分所以，即，又，              -----------1分 所以，则，                      -----------1分综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.       -----------1分(2)设，            在△BCN中，由，得，            -----------1分在△ACM中，由，得，      -----------1分所以，                 -----------1分而，                                                            -----------2分所以，仅当，即时，有最大值为，                                         此时△CMN的面积取最小值为.               -----------1分