初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀当堂检测题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀当堂检测题，文件包含9年级数学下册同步培优题典专题285锐角三角函数的应用俯角仰角问题教师版人教版docx、9年级数学下册同步培优题典专题285锐角三角函数的应用俯角仰角问题学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。


专题28.5锐角三角函数的应用—俯角仰角问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•深圳模拟）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　）

A．60m B．403m C．303m D．603m
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD与Rt△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．
【解析】过A作AD⊥BC，垂足为D
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD•tan30°＝30×33=103（m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD•tan60°＝30×3=303（m），
∴BC＝BD+CD＝103+303=403（m），
即这栋高楼高度是403m．
故选：B．

2．（2020•长兴县模拟）如图，小丽为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为32m的地面上，若测角仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度约是（　　）

A．20m B．57m C．18.5m D．17m
【分析】作CE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，解答即可．
【解析】作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝32×33=3233，
∴AB＝AE+EB=3233+1.5≈20（m），
故选：A．
3．（2019•罗湖区一模）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA＝30°，沿旗杆方向向前走了20米到D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA＝60°，则旗杆AB的高度是（　　）

A．10米 B．103米 C．2033米 D．153米
【分析】根据三角形的外角性质得到∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解析】由题意得，∠ADB＝60°，∠C＝30°，CD＝20，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD＝20，
∴AB＝AD•sin∠ADB＝103（米），
故选：B．
4．（2020•济宁模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（　　）

A．160米 B．（60+1603）米
C．1603米 D．360米
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝120×33=403（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝120×3=1203（m），
∴BC＝BD+CD＝1603（m）．
故选：C．

5．（2020•高台县一模）如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100(3+1)米
【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【解析】∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD=2002−1002=1003米，
∴AB＝AD+BD＝100+1003=100（1+3）米，
故选：D．
6．（2020•黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）

A．tan55°=6x−1 B．tan55°=x−16
C．sin55°=x−16 D．cos55°=x−16
【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解析】∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°=AEAD，cos55°=DEAD，tan55°=AEDE=x−16，
故选：B．
7．（2020•邢台一模）如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（　　）

A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【分析】根据俯角是向下看的视线与水平线的夹角解答即可．
【解析】点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，
故选：A．
8．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．800sinα米 B．800tanα米 C．800sinα米 D．800tanα米
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根据tanα=ACAB，即可解决问题；
【解析】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα=ACAB，
∴AB=ACtanα=800tanα．
故选：D．
9．（2020•肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m．

A．10 B．15 C．153 D．153−5
【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解析】在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE=DECD=510=12，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC=CDtan30°=1033=103（m），
∴AB＝BC•sin60°＝103×32=15（m）．
故选：B．
10．（2018•张家港市模拟）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°．若房屋的高BC＝6米，则树高DE的长度为（　　）

A．36 B．62 C．33 D．66
【分析】首先解Rt△ABC，求出AC，再解Rt△ACD，求出AD，再解Rt△DEA，即可得到DE的长．
【解析】如图，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，BC＝6m，
∴AC=2BC＝62m；
∵在Rt△ACD中，∠DCA＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝122米；
∵在Rt△DEA中，∠AED＝90°，∠EAD＝60°，
∴DE＝AD•sin60°＝66米，
答：树高DE的长度为66米．
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•庆云县模拟）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度　233m　．（结果保留整数）（参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70）

【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【解析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，

由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴DB＝x，
在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，
∴tan∠ACD=ADCD，
∴xx+100=710，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米，
故答案为：233米．
12．（2019秋•泰山区期末）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为30°，则A，B两地之间的距离为　9003米　．

【分析】由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝900米，由tan∠ABC=ACAB知AB=ACtan∠ABC，据此计算可得．
【解析】由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝900米，
∵tan∠ABC=ACAB，
∴AB=ACtan∠ABC=90033=9003（米），
故答案为：9003米．
13．（2020•泰安二模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为　（303−27）米　．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．根据题意可得AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝57﹣303．进而可得教学楼BC的高度．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan30°=DEAE，
即33=30AE，
∴AE＝303，
∵AB＝57，
∴BE＝AB﹣AE＝57﹣303，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝57﹣303．
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°．
∴DF＝CF＝57﹣303，
∴BC＝EF＝30﹣57+303=（303−27）米．
答：教学楼BC高约（303−27）米．
故答案为：（303−27）米．
14．（2020春•宝安区校级月考）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50m，则甲楼的高AB是　503　m（结果保留根号）．

【分析】在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°，CD＝50，可求出AD，再在Rt△ABD中，由∠BDA＝45°，得AB＝AD即可．
【解析】在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝50，
∴AD=CDtan30°=50×33=503，
在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°，
∴AB＝AD＝503（m），
故答案为：503．
15．（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　123　米（结果保留根号）．

【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．
【解析】根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，
∴CD＝AD•tan30°＝9×33=33，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，
∴BD＝AD•tan60°＝93，
∴BC＝CD+BD＝33+93=123（米）．
答；该建筑物的高度BC为123米．
故答案为：123．
16．（2019秋•庆云县期末）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：3的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝　（100+1003）　米（结果保留根号）．

【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题；
【解析】作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：3，AD＝200米，
∴tan∠DAF=33，
∴∠DAF＝30°，
∴DF=12AD=12×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEBD，
∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×32=1003（米），
∴BC＝BE+EC＝100+1003（米）；
故答案为：（100+1003）．

17．（2020•遵化市一模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走25米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为　2　米；大树BC的高度为　（33+5）　米（结果保留根号）

【分析】过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，设BC为x米，根据矩形的性质得出DK＝CH，CK＝DH，再利用锐角三角函数的性质求x的值即可．
【解析】如图，过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK＝CH，CK＝DH，
在直角三角形AHD中，DHAH=12，AD＝25米，
∴DH＝2米，AH＝4米，
∴CK＝DH＝2米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC=BCtan∠BAC=x米，
∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，
在直角三角形BDK中，∵BK＝DK•tan30°，
∴x﹣2＝（4+x）×33，
解得：x＝5+33，
∴BC＝（5+3 3）米．
答：大树的高度为（33+5）米．
故答案是：2；（33+5）．

18．（2020•荆州模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：3，则大楼AB的高度为　63+29　米．

【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH=3x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝63米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝63+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：3，
∴BH：CH＝1：3，
设BH＝x米，则CH=3x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（3x）2＝122，
解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝63米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝63+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝63+20（米），
∴AB＝AG+BG＝63+20+9＝（63+29）m．
故答案为：63+29．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•泰州二模）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为48°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：3，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，
（1）求BN的长度；
（2）求条幅AB的长度（结果保留根号）．（参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110）

【分析】（1）在Rt△BCN中，由tan∠BCN=BNCN可求出答案；
（2）过点D作DH⊥AN于H，过点E作EF⊥DH于F，设EF＝k，DF=3k，由勾股定理求出k的值，则求出DF，EF，在Rt△ADH中，解直角三角形求出AH，则求出AN＝（20+103）米，由AB＝AN﹣BN可求出答案．
【解析】（1）∵在Rt△BCN中，∠BCN＝48°，
∴tan48°=BNCN，
∴BN＝tan48°×20=1110×20＝22米，
（2）过点D作DH⊥AN于H，过点E作EF⊥DH于F，

∵在Rt△EDF中，tan∠EDF＝tan∠DEM＝1：3，
设EF＝k，DF=3k，
∵DF2+EF2＝DE2，
∴k2+(3k)2=202，
∴k＝10，
∴EF＝10米，DF＝103米，
∴DH＝DF+EC+CN＝（103+30）米，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝tan30°=33，
∴AH=33×DH＝（10+103）米，
∴AN＝AH+EF＝（20+103）米，
∵BN＝22米，
∴AB＝AN﹣BN＝（103−2）米，
答：条幅的长度是（103−2）米．
20．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．

【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD＝∠MCA＝60°，∠CBD＝∠NCB＝45°，利用特殊角懂得三角函数求解即可．
【解析】如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，


由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120（米），
在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=1203=403（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝120（米），
∴AB＝AD+BD＝（403+120）（米）．
答：桥AB的长度为（403+120）米．
21．（2019秋•邓州市期末）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）．

【分析】过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，根据直角三角形的解法解答即可．
【解析】过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，则四边形AHCF是矩形，所以AF＝CH，CF＝AH．

在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝37°．
BF＝BCcos37°＝0.8，CF＝BCsin37°＝0.6，
在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，所以AE=34AB，
在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝FA＝0.8+AB，
∴AD＝AH+DH＝0.6+0.8+AB＝1.4+AB，
∵AD＝AE+DE=34AB+2.4，
∴1.4+AB=34AB+2.4，
AB＝4，
答：匾额悬挂的高度是4米．
22．（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°=AEBE=x16+x≈0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．

23．（2020•龙城区二模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走35米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（3≈1.732，结果精确到0.1）

【分析】作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，由勾股定理得出(2DH)2+DH2=(35)2．求出DH＝CG＝3m，则AH＝2DH＝6m，设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，得出x−3x+6=33，解方程即可得出答案．
【解析】作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，

则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，∵DHAH=12，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴(2DH)2+DH2=(35)2．
∴DH＝CG＝3m，
∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，
∵tan30°=BGDG，
∴x−3x+6=33，
解得，x=93+152≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
24．（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．

【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．
【解析】∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，
∴∠BAM＝∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BAM，
∴AB＝BM＝20（米），
∴在Rt△ABM中，AM＝202（米），
作AE⊥MC于E，
∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，
∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，
∵∠HAM＝45°，
∴∠CAM＝75°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴在Rt△AME中，AM＝202（米），
∵sin∠AME=AEAM，
∴AE＝sin60°•202=32×202=106（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝106（米），
∴sin∠ACE=AEAC，
∴AC=AEsin45°=10622=203≈35（米），
答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．