初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀课时训练

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀课时训练，文件包含9年级数学下册同步培优题典专题287第28章锐角三角函数元测试基础卷教师版人教版docx、9年级数学下册同步培优题典专题287第28章锐角三角函数元测试基础卷学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。


专题28.7第28章锐角三角函数单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•渝中区校级月考）下列式子正确的是（　　）
A．cos60°=32 B．cos60°+tan45°＝1
C．tan60°−1tan30°=0 D．sin230°+cos230°=34
【分析】根据特殊角的三角函数值和同角的三角函数的关系求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】A．cos60°=12，故本选项不符合题意；
B．cos60°+tan45°=12+1＝112，故本选项不符合题意；
C．tan60°−1tan30°=3−133=3−3=0，故本选项符合题意；
D．sin230°+cos230°＝1，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2020秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=1213，则tanA的值为（　　）
A．513 B．1312 C．125 D．512
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB=ACBC=1213，设AC＝12x，AB＝13x，根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义得出tanA=BCAC，代入求出即可．
【解析】∵sinB=ACBC=1213，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=(13x)2−(12x)2=5x，
∴tanA=BCAC=5x12x=512，
故选：D．
3．（2020•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）

A．55 B．12 C．2 D．5
【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα=CDOD=12；
故选：B．

4．（2020秋•九龙坡区校级月考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠B＝30°，则sinC＝（　　）
A．22 B．12 C．33 D．32
【分析】根据直角三角形的性质求出∠C，根据60°的正弦值是32解答．
【解析】∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°=32，
故选：D．
5．（2020春•牡丹江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　）

A．62 B．219 C．213 D．9
【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=AC2−AD2=33，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=219，
故选：B．

6．（2020•路南区一模）如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（　　）

A．28km B．14km C．72km D．142km
【分析】根据题意证明△ABM是等腰三角形，即可得此时灯塔M与渔船的距离．
【解析】根据题意可知：
∠MAB＝90°﹣55°＝35°，
∠ABM＝90°+20°＝110°，
∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴BM＝AB＝28×12=14（km）．
所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．
故选：B．
7．（2020•天台县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（　　）

A．45 B．35 C．34 D．43
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，进而利用直角三角形边角关系得出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=102−82=6，
∴tanA=BCAC=68=34．
故选：C．
8．（2020秋•渝中区校级月考）某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：3．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（　　）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73．）

A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．
【解析】如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：3，
∴设BF＝k，则CF=3k，
∴BC＝2k．
又∵BC＝12，
∴k＝6，
∴BF＝6，CF＝63，
∵DF＝DC+CF，
∴DF＝40+63
在Rt△AEH中，tan∠AEH=AHEH，
∴AH＝tan37°×（40+63）≈37.785（米），
∵BH＝BF﹣FH，
∴BH＝6﹣1.5＝4.5．
∵AB＝AH﹣HB，
∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．
故选：C．
9．（2020春•南岸区校级月考）崇州的网红建筑“竹里”，以数学符号“∞”表达融合与无限，以高低不平的屋顶表达曲折与变换，小小布与父母一起去竹里感受当地特有的竹编民宿．当1.6米的小小布站在自己的竹屋旁的点D时，惊喜地发现平视前方刚刚看见屋顶最低点C．此时他抬头看屋顶的最高点A时，仰角为30°；小小布沿水平方向直线行走一段长度到达竹屋另一侧的点E，抬头看点A的仰角为53°；A、C、D、E在同一平面内，若点A到地面的垂直高度为7.2米，则小小布水平行走了（　　）（sin53°≈45，tan53°≈43，3≈1.7，结果保留一位小数）

A．7.0米 B．10.0米 C．13.7米 D．17.6米
【分析】作AH⊥DE于H，交BF于G，则AH⊥BF，求出AG＝5.6，在Rt△ABG中，由三角函数定义求出BG＝4.2，在Rt△AFG中，由直角三角形的性质得FG=3AG≈9.52，则DE＝BF＝BG+FG≈13.7米即可．
【解析】如图，作AH⊥DE于H，交BF于G，
则AH⊥BF，
由题意得：DE＝BF，GH＝DF＝1.6，AH＝7.2，
∴AG＝AH﹣GH＝7.2﹣1.6＝5.6，
在Rt△ABG中，tan∠ABG=AGBG，
∴BG=AGtan53°≈5.643=4.2，
在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
∴FG=3AG≈1.7×5.6＝9.52，
∴DE＝BF＝BG+FG＝4.2+9.52≈13.7（米），
即小小布水平行走了13.7米；
故选：C．

10．（2020•武汉模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A=35，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）

A．25 B．35 C．210 D．4103
【分析】作OE⊥AD，根据正弦的定义求出BC、AC，根据垂径定理求出AE，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出AO，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】过点O作OE⊥AD于E，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A=35，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，AC=AB2−BC2=4x，
∴AD＝AC＝4x，
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，
解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED=12AD＝4，
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=AEAC，即AO10=48，
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB=OC2+BC2=35，
故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•杨浦区期中）计算：cos60°tan30°+cot60°＝　32　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
【解析】原式=12×33+33
=36+236
=32．
故答案为：32．
12．（2020春•雨花区期中）如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边AC的长是　msin40°　．

【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解析】在Rt△ABC中，sinB=ACAB，
∴AC＝AB•sinB＝msin40°，
故答案为：msin40°．
13．（2020秋•河口区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanB=12，则cosA＝　55　．
【分析】根据tanB=12，求出第三边长的表达式，即可求出cosA．
【解析】如图：

设AC＝x，
∵tanB=12，
∴BC＝2x，
∴AB=AC2+BC2=5x，
∴cosA=ACAB=x5x=55．
故答案为：55．
14．（2020•北京二模）如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝　12　．

【分析】根据圆周角定理得出∠DBC＝∠DEF，进而得出tan∠DEF＝tan∠DBC，求出答案即可．
【解析】由题意可得：∠DBC＝∠DEF，
则tan∠DEF＝tan∠DBC=DCBD=12．
故答案为：12．
15．（2020春•南岗区校级月考）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC=7，则BC的长为　33或3　．
【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．
【解析】如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=12AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×32=23．
在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC=7，
∴DC=AC2−AD2=7−4=3，
∴BC＝BD+DC＝23+3=33；
如图2，同理可得，
AD=12AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×32=23，DC=AC2−AD2=7−4=3，
∴BC＝BD﹣DC＝23−3=3．
综上所述，BC的长为33或3；
故答案为：33或3．


16．（2020秋•渝中区校级月考）如图，△ABC中，sinB=55，tanC=34，AC＝52，则BC＝　102　．

【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD，CD的长，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理求出BD，即可解决问题．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，tanC=34，AC＝52，
∴AD＝32，CD＝42，
在Rt△ABD中，sinB=55，
∴AB=ADsinB=3255=310，
根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=(310)2−(32)2=62，
∴BC＝BD+CD＝102，
故答案为102．

17．（2020春•南岗区校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，AB＝8，点E、F分别在BC、AC边上，BE＝CF，连接EF，若tan（∠A﹣∠CEF）=34，则线段EF的长为　5　．

【分析】过F点作FM∥BC，过点B作BM∥EF，证明△MAF≌△FEC得∠MAF＝∠FEC，再证明∠MAB＝∠MBA，通过解直角三角形求出BM的长即可得到结论．
【解析】过F点作FM∥BC，过点B作BM∥EF，BM，FM相交于点M，连接AM，如图，

∴四边形BMFE是平行四边形，
∴EF＝BM，
∵FM∥BC，
∴∠AFM＝∠C，
∵AC＝BC，BE＝CF，
∴AF＝CE，
在△MAF和△FEC中，MF=FC∠AFM=∠CAF=EC，
∴△MAF≌△FEC（SAS），
∴∠MAF＝∠FEC，
∵BM∥EF，
∴∠MBC＝∠FEC＝∠MAF，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠MAB＝∠MBA，
∵tan(∠A−∠FEC)=34，
∴tan∠MAB＝tan∠MBA=34，
过点M作MN⊥AB于点N，则有，
BN=12AB=12×8＝4，
又tan∠MBA=MNBN=MN4=34，
∴MN＝3，
由勾股定理得，BM＝5，
∴EF＝BM＝5
故答案为：5．
18．（2020•思明区校级二模）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　64　cm．

【分析】如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE，EF，DF即可解决问题．
【解析】如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．

∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（2019秋•百色期末）计算：2cos45°−32tan30°cos30°+sin260°．
【分析】先根据特殊角的三角函数值得到原式＝2×22−32×33×32+（32）2，然后计算二次根式的混合运算．
【解析】原式＝2×22−32×33×32+（32）2
=2−34+34
=2．
20．（2019秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=13，BC＝2，求AB的长．

【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA=BCAC=13．
∵BC＝2，
∴2AC=13，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB=210．
21．（2020秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC=25，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的余切值．

【分析】首先构造直角三角形，过点A作AH⊥BC，然后利用三角函数的知识求出AH和BH，进而根据等腰三角形的性质（三线合一）求出CH，再根据题意求出HD，最后由余切的定义求出答案．
【解析】过点A作AH⊥BH
∵tanB=AHBH=2
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
(25)2=(2BH)2+BH2
解得
BH＝2，则AH＝4
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
cotD=HDAH=64=32
22．（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB=45．
（1）求线段CD的长度；
（2）求cos∠C的值．

【分析】根据sinB=45，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．
【解析】（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB=45，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD=AB2−AD2=152−122=9，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
cosC=CDAC=513．
23．（2020秋•丰泽区校级月考）当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．

【分析】（1）根据题意，将α＝30°，代入题目中的等式，即可计算出sin75°的值；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可证明结论成立．
【解析】（1）∵当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，2sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴2sin75°=12+32，
解得，sin75°=2+64；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD=ADAB=AD1=AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴sinC=ADAC，
即AD＝AC•sinC＝AC×22=22AC，
∴AC=2AD=2sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα=BEAB=BE，cosα=AEAB=AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴2sin（α+45°）＝sinα+cosα．

24．（2020•丰台区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为BF的中点；
（2）如果BC＝5，sinC=35，求AF的长．

【分析】（1）证明OD∥AE可得结论．
（2）在Rt△ODC中，根据sin∠C=ODOC=35，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴DF=DB，
即点D是BF的中点．

（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C=ODOC，
∴rr+5=35，
解得r=152，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C=35，
∴AHAO=35，
∴AH=92，
∴AF＝2AH＝9．

25．（2020•东胜区二模）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，3=1.73．）

【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，得到四边形DNMF是矩形，进而得出∠EDF的值；
（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
【解析】（1）如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，
故四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，
∴∠ADN＝30°，
∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；

（2）如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，
∴AC=12AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，
∴AD＝48cm，
∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，
∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，
解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.76≈45.7（cm），
∵45cm＜45.7cm＜46cm，
∴此时光线最佳．

26．（2020•陕西模拟）如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DN的长，进而求出答案．
【解析】如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝∠MAB＝45°，
又∵∠MBA＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴MA＝MB＝DN，
又∵AD＝3BC，BC＝7，
∴AD＝21，
在Rt△CDN中，∠DCN＝30°，
∴CD＝2DN，CN=3DN，
由MD＝BN得，DN+21＝7+3DN，
解得，DN＝73+7，
∴CD＝2DN＝143+14（米）