江苏省苏州市工业园区星海实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，中心对称图形有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  在下列性质中，矩形具有而菱形不一定有的是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 四个角是直角

3.  如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值(    )

A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的

4.  若是四边形对角线的交点且，则四边形是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形

5.  对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算例如：，则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若点，，都在反比例函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温将至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是(    )

A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 上午点接通电源，可以保证当天：能喝到不超过的水
D. 水温不低于的时间为

8.  如图，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下个结论：；；；当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若分式的值为零，则______．

10.  如图，在▱中，是边上一点，且，、的延长线相交于点，，则______

11.  反比例函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围是______．

12.  某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，全体学生同时到达目的地．设自行车速度是，则根据题意列得方程______．

13.  房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点、、、分别是、、、的中点，，则______．

14.  设函数与的图象的交点坐标为，则的值为______．

15.  若关于的方程的解为正数，则的取值范围为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、点，点在线段上，以为一边向直线斜下方作正方形且正方形边长为，若双曲线经过点，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
先化简，再从，，中选择一个合适的数求值．

20.  本小题分
在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形顶点在网格线的交点上 
先作关于原点成中心对称的，再把向上平移个单位长度得到；
与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

21.  本小题分
已知，如图，、是平行四边形的对角线上的两点，．
求证：
；
．

22.  本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：；
如果：：，，求菱形的面积．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
求，的值；
请直接写出不等式的解集；
连接、，求的面积．

24.  本小题分
如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒．
______ ， ______ 用含的代数式表示
当四边形为平行四边形时，求的值．
如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
 

25.  本小题分
【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数原函数图象上纵坐标为的点除外、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图，将的图象经过倒数变换后可得到的图象部分特别地，因为图象上纵坐标为的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为的点小明在求的图象与的交点时运用了开平方的定义：得：，解得，则图象交点坐标为或．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
请在图的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象．
设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为，点在左边，直接写出其坐标 ______ ______ ；
设，且，求．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线的解析式为，以线段、为边作平行四边形．
如图，若点的坐标为，判断四边形的形状，并说明理由；
如图，在的条件下，为边上的动点，点关于直线的对称点是，连接，．
当 ______ 时，点位于线段的垂直平分线上；
连接，，设，设的延长线交边于点，当时，求证：，并求出此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形．
故共个中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：矩形的性质有：矩形的对边平行且相等，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等；
菱形的性质有：菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，菱形的对角相等，菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
通过矩形和菱形的性质逐一分析即可．
本题考查了矩形和菱形的性质，熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把中的与都扩大为原来的倍，
可得，
那么这个代数式的值不变．
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变是关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了矩形与平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
由，可得四边形的对角线互相平分且相等，即可得此四边形是矩形．
【解答】
解：，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
故选：．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
点，，都在反比例函数的图象上
点在第二象限，点和在第四象限，
，
故选：．
先根据函数的解析式得出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再比较即可．
本题考查浪费反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质等知识点，能熟记反比例函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为：，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
水温下降过程中，与的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令，则，
，
即饮水机每经过分钟，要重新从开始加热一次，
从点点分钟，所用时间为分钟，
而水温加热到分钟，仅需要分钟，
故当时间是点时，饮水机第三次加热，从加热了分钟，
令，则，
故C选项不符合题意；
水温从加热到所需要时间为：，
令，则，
，
水温不低于的时间为，
故选：．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令，则，求出每分钟，饮水机重新加热，故时间为点时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了分钟，令，代入到反比例函数中，求出，即可得到不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，为中点，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，，故正确；
，
如图，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证≌，
，故错误，
，
，
，
，故正确；
如图，连接，
同理可证：≌，，
，
故正确，
故选：．
由“”可证≌，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为分式的值为零，
所以，
解得．
故答案为：．
先根据分式的值为的条件得出且，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，在解答此类问题时要注意“分母不为零”这个条件不能少．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为．
由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：反比例函数，当时，随的增大而减小，
，
解得，，
故答案为：．
根据反比例函数，当时，随的增大而减小，可得，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
即，
故答案为：．
根据时间关系，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
在中，点是的中点，，
，
点、分别是、的中点，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，
，
故答案为：．
由两函数的交点坐标为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式的加减运算，求出与的值是解本题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到且，
解得：且．
故答案为：且．
表示出分式方程的解，由解为正数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，如图．
，
，．
正方形的边长为，
，
．
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
双曲线经过点，
．
故答案为：．
作轴于，轴于，根据勾股定理求得，证得≌，从而求得的坐标，然后代入，即可求得的值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；




． 

【解析】先化简，然后合并同类项即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

19.【答案】解：原式

，
，，
，，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，和即为所求；

由图可知，与关于点成中心对称． 

【解析】本题考查作图旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
根据旋转和平移变换的定义和性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接可得；
根据中心对称的概念即可判断．
 

21.【答案】证明：，
，
、是平行四边形的对角线上的两点，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
． 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
可以把结论涉及的线段，放到和中，证明这两个三角形全等，得出结论．
由可知，所以．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
；
解：由知，，
：：，
，
在中，由勾股定理得，
，，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积是：． 

【解析】通过证明四边形是矩形来推知；
利用中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

23.【答案】解：将代入，得．
，
将代入，求得．
，；
根据函数图象可知：不等式的解集为或；
将，代入得，
解得，
一次函数的关系式为，
令，则，
解得，
点，
． 

【解析】将点坐标代入求得，然后代入即可求得；
用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
求出一次函数的解析式，进而求得点的坐标，根据即可求得．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图．

，
．
在直角梯形中，，，于点，
四边形为矩形，
，
；
故答案为：，．
四边形为平行四边形时，，
，解得，
存在时刻，使四边形为菱形．理由如下：
，，
当时有四边形为菱形，
，解得．
由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则；
根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可；
由，，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可，
本题是四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：在平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的的图象；
解，得或，
，，
故答案为：，；
，
，
．
画出函数和函数的图象；
解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
利用三角形面积公式即可求解．
本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，理由如下：
过作轴于，如图：

在中，令得，令得，
，，
，，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形；
过作于，连接，如图：

在的垂直平分线上，
直线是正方形的对称轴，
是的垂直平分线，
，
关于直线的对称点是，
，
，
是等边三角形，
，
关于直线的对称点是，
，
故答案为：；
如图：

，
，，
关于直线的对称点是，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的值是．
过作轴于，在中，可得，，即有，，，而，故，，可证≌，得，，从而可得，根据四边形是平行四边形，且，，即知四边形是正方形；
过作于，连接，由在的垂直平分线上，可得，而关于直线的对称点是，有，故是等边三角形，，即可得；
由，关于直线的对称点是，四边形是正方形，可得，，而，有，故，即得，从而可得，设，在中有，从而可解得的值是．
本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．