北京市西城区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面解析几何

这是一份北京市西城区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面解析几何，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
北京市西城区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面解析几何 一、单选题1．（2023·北京西城·统考一模）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·北京西城·统考二模）已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．33．（2022·北京西城·统考二模）已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（    ）A． B． C． D．24．（2022·北京西城·统考一模）已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（    ）A． B． C． D．5．（2022·北京西城·统考一模）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．6．（2021·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（    ）A． B．C． D．7．（2021·北京西城·统考二模）若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率可能是（    ）A． B． C． D．8．（2021·北京西城·统考一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（    ）A． B． C． D． 二、填空题9．（2023·北京西城·统考一模）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．10．（2022·北京西城·统考一模）若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 三、解答题11．（2023·北京西城·统考一模）已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．(1)当直线与轴垂直时，求直线的方程；(2)求的取值范围．12．（2022·北京西城·统考一模）已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.13．（2022·北京西城·统考二模）已知椭圆：的左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.(1)求椭圆的方程和焦距；(2)已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.14．（2021·北京西城·统考二模）已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求与的面积之比．15．（2021·北京西城·统考一模）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆C的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 四、双空题16．（2022·北京西城·统考二模）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.17．（2021·北京西城·统考一模）已知双曲线，则C的渐近线方程是__________；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则的面积是_________．
参考答案：1．D【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.【详解】若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，故选：D.2．C【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.【详解】因为，所以，又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，则双曲线的离心率，故选：.3．B【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.【详解】由题设且半径，弦长，所以到的距离，即，可得.故选：B4．C【分析】由圆的方程求得圆心坐标和圆的半径，得到，求得，结合线段长度的最小值，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径为，则，当时，取得最小值，最小值为，所以线段长度的最小值.故选：C.5．A【分析】由题意列方程组，解出，即可求解.【详解】双曲线的一条渐近线为，所以.又有，解得：，所以双曲线的方程为.故选：A6．B【分析】设，则，因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，问题转化为在圆上，求的最大值，【详解】解：设，则，所以，因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，所以问题转化为在圆上，求的最大值，因为点在圆上，设点所在的直线为，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，解得，即，所以，所以的最大值是12，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当，即点与点重合时，有最大值，问题转化为在圆上，求的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题7．C【分析】由直线与双曲线的位置关系求得的不等关系，由此变形可得离心率范围，得到正确选项．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线无公共点，则，，，即，所以．故选：C．8．C【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；【详解】解：由得，，所以，即；消去得，所以，或（舍去），即；同理即；消去得，所以，或（舍去），即；所以，即两条反射光线和之间的距离为故选：C9．1【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入求解.【详解】设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故答案为：110．【分析】直接由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义可得，解得.故答案为：2.11．(1)(2) 【分析】（1）根据题意可知点关于轴对称且，利用勾股定理可得直线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程再根据可得，即，再由求出点，代入椭圆方程即可得，即可求得的取值范围为【详解】（1）当直线与轴垂直时，设其方程为．    由点关于轴对称，且，由勾股定理可知不妨设，    将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．所以直线的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知．    当直线的斜率存在时，设其方程为．由  得．由，得．设，，则，．    因为，所以．所以．整理得．        所以．解得，从而．            设，其中．则．        将代入椭圆的方程，得．所以，即．            因为，所以，即．        综上的取值范围是．12．(1)(2) 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值.【详解】（1）由题设得，解得，，，所以椭圆的方程为.（2）由，得，由，得.设、，则，，所以点的横坐标，纵坐标，所以直线的方程为.令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为，，所以，解得，所以.13．(1)，；(2). 【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆C的方程并计算焦距作答.（2）设出点P，Q坐标，求线段AP中垂线方程得点M，求圆O在点Q处的切线方程得点N，再借助均值不等式求解作答.【详解】（1）依题意，，由，得，所以椭圆C的方程为：，焦距为.（2）设，则，依题意，设，且，因，则线段AP的中点为，直线AP的斜率，则线段AP的中垂线方程为：， 令得点M的纵坐标，而，则，即，直线OQ的斜率，因此，圆O在点Q处的切线斜率为，切线方程为，令得点N的纵坐标，即，则有，当且仅当，即时取“=”，所以线段长度的最小值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.14．(1)；(2). 【分析】(1)由已知可得，再由离心率求得，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；(2)设，，则，写出所在直线方程，求得点坐标，得到直线的方程，再写出方程求解点坐标，把三角形的面积比转化为与点的横坐标的绝对值之比得答案．【详解】（1）由题意，，又，，则．椭圆的方程为；（2）设，，则．直线的方程为，取，可得点，直线的斜率为，直线的方程为，又直线的方程为，联立直线与的方程，消去得，，①，，代入①解得点的横坐标，．故与的面积之比为．15．（1），的面积；（2）存在；．【分析】（1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点.【详解】解：（1）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，的面积．（2）由已知，直线的方程为，当时，直线的方程为，交y轴于点；当时，直线的方程为，交y轴于点．若直线经过y轴上定点，则，即，直线交y轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点．联立消y整理，得，设，．则，．设点，所以直线的方程：．令，得．因为，所以．所以直线过定点．综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．16．     2     【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作交准线于点，易得直线过焦点，则从而可得出答案.【详解】解：抛物线的焦点，准线为，，所以焦点到准线的距离为2，如图，作交准线于点，因为直线过焦点，则，因为，所以轴，又直线的倾斜角为，所以，所以，则.故答案为：2；17．          【分析】直接由双曲线方程求出渐近线方程、焦点坐标，再将代入渐近线方程，求出，最后根据计算可得；【详解】解：因为双曲线，所以，，所以，即，所以渐近线方程为，焦点坐标为与，当时，即，所以故答案为：，；