2023年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（4月份）（含答案）

这是一份2023年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（4月份）（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题（共8题，共72分等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（共2小题，每题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
2．（3分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．必然事件

3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，以下美术字是轴对称图形的是（　　）
A．敢 B．为 C．人 D．先
4．（3分）计算（﹣a2）•a3的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则（　　）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2
7．（3分）如图，“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度．根据记时过程中记录到的部分数据绘制出y与x的函数图象，则刚开始时，壶底到水面的高度为（　　）

A．9厘米 B．12厘米 C．15厘米 D．18厘米
8．（3分）如图，将A，B，C，D四种农作物种在甲，乙，丙，丁四块田地里（中间有一口井），每块田地只能种一种农作物，则A，B两种农作物位置相邻的概率是（　　）
甲
乙
丙
丁
A． B． C． D．
9．（3分）若一张圆形纸片能裁剪出一个三边长分别为13，14，15的三角形，则此圆形纸片的半径最小是（　　）
A．8 B． C． D．
10．（3分）如图所示，若双曲线y＝（x＞0）与抛物线y＝﹣x（x﹣4）在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，则k的值可能是（　　）

A．1 B．2.5 C．3 D．4
11．（3分）化简：的结果是　 　．
12．（3分）在射击训练中，某队员一共射击10次的成绩如图，则这10次成绩的众数是 　 　．

13．（3分）方程＝1的解是 　 　．
14．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 　 　m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）

15．（3分）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①a﹣c＜0；②若（﹣2，m）与是抛物线上的两个点，则m＞n；③4a+k＞b；④当时，函数y＝y1﹣y2的值为．其中正确结论的序号是 　 　（填写序号）．

16．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为 　 　．

三、解答题（共8题，共72分
17．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 　 　；

18．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AD∥BC，∠B＝∠D，AE∥CF，CF平分∠DCE，∠D＝70°．求∠BAE的度数．

19．（8分）某校为响应“传承传统文化•弘扬民族精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
组中值
　 　
75
105
135
频数/人
6
20
　 　
4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，30～60分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 　 　；a＝　 　；样本数据的中位数位于 　 　分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．

20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过A点的切线与BO的延长线相交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BC＝BE＝4，求阴影部分的面积．

21．（8分）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中作图，将BA绕着点B顺时针旋转90°得到BD，画出线段BD；
（2）在图1中作图，在AC上画一点E，使得tan∠ABE＝1；
（3）在图2中作图，在AC上画一点F，使得FB＝FC；
（4）在图2中作图，点G为AC上一点，在AB上画一点H，使得GH∥BC．

22．（10分）某公司通过甲、乙两个直播间促销商品，成本为每件20元，售价为每件60元．调查发现：若每件商品提成2元，甲主播可以销售3000件，并且在此基础上，每件商品每多提成1元，可以多售出100件，乙主播每件商品可固定提成10元，销售量比甲主播少卖1000件．
（1）设甲主播每件商品提成x元，用含x的代数式表示下列各量：
①甲主播可以销售件 　 　；
②甲主播的总提成是 　 　元；
③乙直播间的总利润为 　 　元；
（2）当x为多少时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
（3）当甲主播的提成比乙主播的提成多10000元时，直接写出x的值为 　 　．
23．（10分）问题背景：（1）已知△ABC为等边三角形，∠CDB＝60°．
①如图1，点M在DB的延长线上，MB＝CD，求证：△AMB≌△BDC；
②变式运用：如图2，点E在DB的延长线上，BE＝2CD，F为BC的中点，求证：AE＝2FD．
拓展创新：（2）如图3，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝nAB．将△ABC沿AC折叠，得到△ADC，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DP∥AB交AC于点P．直接写出 的值（用含n的式子表示）．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，AB＝OC＝4．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PA，PC．
①如图2，若AP交y轴于D点，且S△AOD＝S△CDP+1，求P点坐标；
②如图3，连接PB，过点C作CM∥AP，CN∥PB，分别交抛物线于M和N两点，连接 MN，设直线PC的解析式为 y＝k1x+c，设直线MN的解析式为 y＝k2x+m，求的值．


2023年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（4月份）
（参考答案）
一、选择题（共2小题，每题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【解答】解：实数﹣2的绝对值是2，
故选：A．
2．（3分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．必然事件
【解答】解：“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是随机事件．
故选：A．

3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，以下美术字是轴对称图形的是（　　）
A．敢 B．为 C．人 D．先
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）计算（﹣a2）•a3的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5
【解答】解：（﹣a2）•a3＝﹣a2+3＝﹣a5．
故选：C．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：B．
6．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则（　　）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2
【解答】解：∵k＝﹣8＜0，
∴反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵点在反比例函数的图象上，且0＜m2+1＜m2+2，
∴y1＜y2＜0．
故选：B．
7．（3分）如图，“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度．根据记时过程中记录到的部分数据绘制出y与x的函数图象，则刚开始时，壶底到水面的高度为（　　）

A．9厘米 B．12厘米 C．15厘米 D．18厘米
【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0），由题意得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+15，
当x＝0时，y＝15，
即刚开始时，壶底到水面的高度为15厘米．
故选：C．
8．（3分）如图，将A，B，C，D四种农作物种在甲，乙，丙，丁四块田地里（中间有一口井），每块田地只能种一种农作物，则A，B两种农作物位置相邻的概率是（　　）
甲
乙
丙
丁
A． B． C． D．
【解答】解：设将A种农作物种在甲地里，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中A，B两种农作物位置相邻的结果有4种，
∴A，B两种农作物位置相邻的概率是＝，
故选：C．
9．（3分）若一张圆形纸片能裁剪出一个三边长分别为13，14，15的三角形，则此圆形纸片的半径最小是（　　）
A．8 B． C． D．
【解答】解：由题分析，要求圆形纸片的半径最小值，则求三角形外接圆的半径，
如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝13，BC＝14，AC＝15，过点A作AF⊥BC于点F，连接AO并延长，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD，

∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABD＝∠AFC＝90°，
∴△ABD∽△AFC，
∴，即，
设BF＝a，则CF＝BC﹣BF＝14﹣a，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝132﹣a2，
在Rt△AFC中，AF2＝AC2﹣CF2＝152﹣（14﹣a）2，
∴132﹣a2＝152﹣（14﹣a）2，
解得：a＝5，
∴AF＝＝12，
∴，
∴AD＝，
∴OA＝＝，
即此圆形纸片的半径最小是．
故选：B．
10．（3分）如图所示，若双曲线y＝（x＞0）与抛物线y＝﹣x（x﹣4）在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，则k的值可能是（　　）

A．1 B．2.5 C．3 D．4
【解答】解：抛物线与x轴所围成的区域（不含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数是7个，坐标分别为：（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），

要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，
结合图象可得：当双曲线恰好经过点（3，1）时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点（2，1）时，k取临界值2，
∴双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，
∴k的范围为：2≤k＜3，
故选：B．

11．（3分）化简：的结果是　3　．
【解答】解：＝＝3，
故答案为：3．
12．（3分）在射击训练中，某队员一共射击10次的成绩如图，则这10次成绩的众数是 　9.6　．

【解答】解：这10次射击成绩中，9.6出现的次数最多，所以众数是9.6．
故答案为：9.6．
13．（3分）方程＝1的解是 　x＝﹣3　．
【解答】解：＝1，
+＝1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣3是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
14．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 　12.7　m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）

【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x米，
在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD•tan60°＝x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD＝＝x（米），
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝20，
∴x＝10﹣10，
∴CD＝x＝30﹣10≈12.7（米），
∴这棵树CD的高度约为12.7米，
故答案为：12.7．
15．（3分）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①a﹣c＜0；②若（﹣2，m）与是抛物线上的两个点，则m＞n；③4a+k＞b；④当时，函数y＝y1﹣y2的值为．其中正确结论的序号是 　①②④　（填写序号）．

【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，与y轴的交点在正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∴a﹣c＜0，①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，m）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，m），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵＞0＞﹣1，
∴m＞n，②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．
∴抛物线y1＝ax2+bx+c一定经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k，
∴a+2a+3k＝0，即a+k＝0，
∴4a+k＝3a，
∵b＝2a，a＜0，
∴3a＜2a，
∴4a+k＜b，③不正确；
当x＝﹣时，函数y1＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＝a﹣3a+c＝﹣a+c，
y2＝﹣k+c，
∵a+k＝0，
∴k＝﹣a，
∴y2＝a+c，
y＝y1﹣y2＝﹣a+c﹣（a+c）＝﹣a+c﹣a﹣c＝﹣a．④正确；
综上，结论正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
16．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为 　　．

【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点E是BC边的中点，
∴AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，
∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，
∴在Rt△AEB中，AE＝2，
∴PC+PE的最小值为2，
∴点H的纵坐标a＝2，
∵BC∥AD，
∴＝＝2，
∵BD＝4，
∴PD＝
∴点H的横坐标b＝，
∴a+b＝2+＝．
故答案为：
三、解答题（共8题，共72分
17．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣3　；
（2）解不等式②，得 　x≤1　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 　﹣3≤x≤1　；

【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是﹣3≤x≤1；
故答案为：（1）x≥﹣3，（2）x≤1，（4）﹣3≤x≤1．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AD∥BC，∠B＝∠D，AE∥CF，CF平分∠DCE，∠D＝70°．求∠BAE的度数．

【解答】解：∵CF平分∠BAD，∠D＝70°，
∴∠BCD＝110°．
∴∠BAD＝360°﹣160°﹣70°×2＝60°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝30°．
19．（8分）某校为响应“传承传统文化•弘扬民族精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
组中值
　45　
75
105
135
频数/人
6
20
　10　
4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，30～60分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 　36°　；a＝　25　；样本数据的中位数位于 　60～90　分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．

【解答】解：（1）120～150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是：360°×10%＝36°，
本次调查的学生有：4÷10%＝40（人），
a%＝×100%＝25%，
∴a的值是25，
∴中位数位于60～90分钟时间段，
故答案为：36°，25，60～90；
（2）∵一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值，
∴30≤x＜60时间段的组中值为（30+60）÷2＝45，
90≤x＜120时间段的频数为：40﹣6﹣20﹣4＝10，
故答案为：45，10；
（3）（45×6+75×20+105×10+135×4）＝84（分钟），
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间大约为84分钟．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过A点的切线与BO的延长线相交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BC＝BE＝4，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：∵OA＝OA，OB＝OC，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠CAO＝∠BAO，
∴AO⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，
∵AD与圆相切于A，
∴半OA⊥AD，
∴AD∥BC；
（2）解：∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵AB＝AC，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠OBH＝∠BAC＝2∠BAO，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠ABH＝3∠BAO，
∵∠ABH+∠BAO＝90°，
∴4∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝22.5°，
∴∠OBH＝2×22.5°＝45°，
∴△BOH是等腰直角三角形，
∴OB＝BH＝2，
∵∠AOD＝∠BOH＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝AO＝2，
∵扇形OAE的面积＝＝π，△OAD的面积＝AO•AD＝×2×2＝4，
∴阴影的面积＝△OAD的面积﹣扇形OAE的面积＝4﹣π．


21．（8分）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中作图，将BA绕着点B顺时针旋转90°得到BD，画出线段BD；
（2）在图1中作图，在AC上画一点E，使得tan∠ABE＝1；
（3）在图2中作图，在AC上画一点F，使得FB＝FC；
（4）在图2中作图，点G为AC上一点，在AB上画一点H，使得GH∥BC．

【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求；

（2）如图，点E即为所求；
（3）如图，点F即为所求；
（4）如图，点H即为所求．
22．（10分）某公司通过甲、乙两个直播间促销商品，成本为每件20元，售价为每件60元．调查发现：若每件商品提成2元，甲主播可以销售3000件，并且在此基础上，每件商品每多提成1元，可以多售出100件，乙主播每件商品可固定提成10元，销售量比甲主播少卖1000件．
（1）设甲主播每件商品提成x元，用含x的代数式表示下列各量：
①甲主播可以销售件 　100x+2800　；
②甲主播的总提成是 　100x2﹣200x+6000　元；
③乙直播间的总利润为 　3000x+54000　元；
（2）当x为多少时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
（3）当甲主播的提成比乙主播的提成多10000元时，直接写出x的值为 　22　．
【解答】解：（1）①由题意可知，甲主播可以销售3000+（x﹣2）×100＝（100x+2800）件，
故答案为：100x+2800；
②甲主播的总提成是3000×2+100（x﹣2）x＝（100x2﹣200x+6000）元，
故答案为：100x2﹣200x+6000；
③乙直播间的总利润为（60﹣20﹣10）×[3000+100（x﹣2）﹣1000]＝30（100x+1800）＝（3000x+54000）元，
故答案为：3000x+54000；
（2）甲直播间的利润：
（60﹣20）（100x+2800）﹣（100x2﹣200x+6000）
＝40（100x+2800）﹣（100x2﹣200x+6000）
＝（﹣100x2+4200x+106000）元，
乙直播间的总利润：（3000x+54000）元，
设总利润为y元，
则y＝﹣100x2+4200x+106000+3000x+54000＝﹣100x2+7200x+160000＝﹣100（x﹣36）2+289600，
当x＝36时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大，最大利润为289600元；
（3）甲主播的提成为：（100x2﹣200x+6000）元，
乙主播的提成为：10（100x+2800﹣100）＝1000x+18000，
根据题意得（100x2﹣200x+6000）﹣（1000x+18000）＝10000，
解得x1＝22，x2＝﹣10（舍去），
∴x＝22．
故答案为：22．
23．（10分）问题背景：（1）已知△ABC为等边三角形，∠CDB＝60°．
①如图1，点M在DB的延长线上，MB＝CD，求证：△AMB≌△BDC；
②变式运用：如图2，点E在DB的延长线上，BE＝2CD，F为BC的中点，求证：AE＝2FD．
拓展创新：（2）如图3，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝nAB．将△ABC沿AC折叠，得到△ADC，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DP∥AB交AC于点P．直接写出 的值（用含n的式子表示）．

【解答】（1）证明：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠DBC＝120°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠BCD+∠DBC＝120°，
∴∠ABM＝∠BCD，
在△AMB和△BDC中，
，
∴△AMB≌△BDC（SAS）；
②∵BE＝2CD，
∴＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠BDC＝60°，
∴∠ABE+∠DBC＝∠DBC+∠DCB＝120°，
∴∠ABE＝∠DCB，
∵F是BC的中点，
∴AB＝BC＝2CF，
∴＝2，
∴＝，
又∵∠ABE＝∠DCB，
∴△ABE∽△FCD，
∴＝＝2，
∴AE＝2FD；
（2）解：如图3，延长DP交BC于点H，

∵DE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∵DP∥AB，∠B＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴四边形BHDE是矩形，
∴ED＝BH，BE＝DH，
设ED＝BH＝x，AB＝a，
则BC＝na，
由折叠的性质得：AB＝AD＝a，BC＝CD＝na，
∴CH＝BC﹣BH＝na﹣x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝，
∴DH＝BE＝AB+AE＝a+，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：DH2+CH2＝CD2，
即（a+）2+（na﹣x）2＝（na）2，
整理得：x（n+1）＝2na，
∴x＝，
∴BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝na﹣＝，
∵DH∥AB，
∴△CHP∽△CBA，
∴＝＝＝．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，AB＝OC＝4．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PA，PC．
①如图2，若AP交y轴于D点，且S△AOD＝S△CDP+1，求P点坐标；
②如图3，连接PB，过点C作CM∥AP，CN∥PB，分别交抛物线于M和N两点，连接 MN，设直线PC的解析式为 y＝k1x+c，设直线MN的解析式为 y＝k2x+m，求的值．

【解答】解：（1）∵AB＝OC＝4，抛物线关于y轴对称，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0）、（0，﹣4），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4①；

（2）设点P的坐标为：（t，t2﹣4），
①设AP的表达式为：y＝k（x+2），
将点P的坐标代入上式得：t2﹣4＝k（x+2），
解得：k＝t﹣2，
即直线AP的表达式为：y＝（t﹣2）（x+2），
当x＝0时，y＝（t﹣2）（x+2）＝2t﹣4，
则点D（0，2t﹣4），
同理可得，直线CP的表达式为：y＝tx﹣4，
则S△AOD＝AO•OD＝2×（4﹣2t）＝4﹣2t，
而S△CDP＝＝（2t﹣4+4）×t＝t2，
∵S△AOD＝S△CDP+1，
∴4﹣2t＝t2+1，
解得：t＝﹣3（舍去）或1，
即点P（1，﹣3）；

②由①知，直线AP的表达式为：y＝（t﹣2）（x+2），
∵CM∥AP，
∴直线MC的表达式为：y＝（t﹣2）x﹣4②；
联立①②得：x2﹣4＝（t﹣2）x﹣4，
解得：x＝t﹣2（不合题意的值已舍去），
故点M的坐标为：（t﹣2，（m﹣2）2﹣4），
同理可得，直线BP的表达式中的k值为：t+2，
∵CN∥PB，
则直线CN的表达式为：y＝（t+2）x﹣4③；
联立①③得：x2﹣4＝（t+2）x﹣4，
解得：x＝t+2（不合题意的值已舍去），
则点N的坐标为：（t+2，（t+2）2﹣4），
由点M、N的坐标，同理可得，其表达式中的k2＝＝2t，
由①中CP的表达式知，k1＝t，
∴＝．