人教版七年级上册数学讲义练习 专题3.1 从算式到方程

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新人教版初中数学学科教材分析
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程

1．方程：
（1）方程的定义：含有___________的___________叫做方程．
注意：方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上；方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示．
（2）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是___________．
2．等式的性质：
（1）等式的性质1：等式两边___________同一个___________，结果仍相等．
如果a=b，那么a±c=___________．
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个___________，或除以同一个___________，结果仍相等．
如果a=b，那么ac=___________；如果a=b(c≠0)，那么=___________．
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是___________．如果a=b，那么b=___________．
②传递性：如果a=b，且b=c，那么a=___________．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．
3．一元一次方程
（1）概念：方程只含有一个__________（元），未知数的次数都是__________，等号两边都是___________，这样的方程叫做一元一次方程．
（2）一元指方程仅含有一个___________，一次指未知数的次数为___________，且未知数的系数不为___________．我们将___________（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的___________，b是___________，x的次数必须是1．
K知识参考答案：
1．（1）未知数，等式（2）方程的解
2．（1）加（或减），数（或式子），b±c（2）数，不为0的数，bc，（3）等式，a，c
3．（1）未知数，1，整式（2）未知数，1，0，ax+b=0，系数，常数

K—重点
（1）方程的概念；（2）列简单的一元一次方程；（3）一元一次方程；（4）等式的性质．
K—难点
（1）方程的解与解方程；（2）利用等式的性质解方程．
K—易错
对一元一次方程概念的理解．
一、方程的有关概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．两者缺一不可．
2．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根．
3．解方程：求方程解的过程，叫做解方程．
【例1】下列各式中，是方程的是
A． B．14–5=9
C．a>3b D．x=1
【答案】D

【名师点睛】
1．判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．
2．使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．
方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是一个具体的数值，解方程是求方程的解的过程，方程的解是通过解方程求得的，二者要区别开． 学#科网

二、一元一次方程
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
【例2】已知x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，则m的值是
A．–1 B．1
C．–2 D．2
【答案】D
【解析】因为x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，所以2m–3=1，解得m=2，故选D．
【名师点睛】
1．其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．
2．ax+b=0（a≠0）通常叫做x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0．
三、方程的解
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
【例3】下列方程中，解为x=4的方程是
A．x–2=6 B．x=12
C．2x+2=6 D．（x–2）=1
【答案】D

【名师点睛】
1．方程的解可能有多个，也可能无解．
2．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数直接代入方程中，而要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解．
四、等式的性质
1．等式的性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a=b，那么a±c=b±c．
2．等式的性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么．
【例4】下列运用等式性质正确的是
A．如果a=b，那么a+c=b–c B．如果a=b，那么=
C．如果=，那么a=b D．如果a=3，那么a2=3a2
【答案】C

【名师点睛】
1．性质1中“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．
2．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0．


1．下列各式中不是方程的是
A．2x+3y=1 B．3π+4≠5
C．–x+y=4 D．x=8
2．下列四个式子中，是方程的是
A．3+2=5 B．3x–2=1
C．2x–3<0 D．a2+2ab+b2
3．下列方程中，解为x=1的是
A．x–1=–1 B．–2x=
C．x=–2 D．2x–1=1
4．下列方程中，解为x=2的方程是
A．x+2=0 B．2+3x=8
C．3x–1=2 D．4–2x=1
5．下列方程中，是一元一次方程的是
A．x2+x+1=x2+2 B．x+y=9
C．x+=2 D．3x=3（x–1）
6．下列方程中是一元一次方程的是
A．3x–1= B．x2–4x=3
C．xy–3=5 D．x+2y=1
7．下列等式变形正确的是
A．若–3x=5，则x=– B．若，则2x+3（x–1）=1
C．若5x–6=2x+8，则5x+2x=8+6 D．若3（x+1）–2x=1，则3x+3–2x=1
8．下列利用等式的性质，错误的是
A．由a=b，得到1–a=1–b B．由=，得到a=b
C．由a=b，得到ac=bc D．由ac=bc，得到a=b
9．下列结论不成立的是
A．若x=y，则m–x=m–y B．若x=y，则mx=my
C．若mx=my，则x=y D．若，则nx=ny
10．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是
A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a–=b–
C．如果ac=bc，那么a=b D．如果，那么a=b
11．下列方程：
（1）2x–1=x–7，（2）x=x–1，（3）2（x+5）=–4–x，（4）x=x–2．
其中解为x=–6的方程的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．在0，1，2，3中，__________是方程2x–1=–5x+6的解．
13．如果关于x的一元一次方程ax+2x=4的解是x=4，那么a的值为__________．
14．有下列等式：①由a=b，得5–2a=5–2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；⑤由a2=b2，得a= b．其中正确的是__________．
15．由5x=4x+5得5x–4x=5，在此变形中，方程两边同时加上了__________．
16．如果5x=10–2x，那么5x+__________=10．
17．若–=，根据等式性质__________（填“1”或“2”）得到–2x=3y–5．
18．在下列方程中：①x+2y=3，②，③，④，是一元一次方程的有__________（只填序号）．
19．若（a–1）x|a|=3是关于x的一元一次方程，则a=__________．
20．检验下列各数是不是方程的解．
（1）x=2；
（2）x=–1．




21．老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．




22．我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b–a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4–2，则该方程2x–4是差解方程．
（1）判断3x=4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．







23．下列方程中，是一元一次方程是
A．2y=1 B．3x–5y=3
C．3+7=10 D．x2+x=1
24．下列方程中，解为x=3的方程是
A．y–3=0 B．x+2=1
C．2x–2=3 D．2x=x+3
25．下列方程中，是一元一次方程的是
A．

26．关于x的方程ax+3=1的解为x=2，则a的值为
A．1 B．–1 C．2 D．–2
27．方程3x=–9的解是
A．x=–6 B．x=–2 C．x=–3 D．x=–27
28．下列方程中，解是x=5的方程是
A．2x–1=x B．x–3=2
C．3x=x–5 D．x+3=–2
29．若关于x的方程mxm–2–m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是
A．x=0 B．x=3 C．x=–3 D．x=2
30．已知下列方程：
①x–2=；②–1=；③=5x–1；④x2–4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是
A．①③④ B．②③⑤
C．②③ D．②⑥
31．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
32．下列说法正确的是
A．若，则a=b B．若ac=bc，则a=b
C．若a2=b2，则a=b D．若a=b，则
33．在下列方程的变形中，正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
34．方程2x–3y=7，用含x的代数式表示y为
A．y=(7–2x) B．y=(2x–7)
C．x=(7+3y) D．x=(7–3y)
35．若a=b，则在a–=b–，2a=a+b，–a=–b，3a–1=3b–1中，正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．下列①3x–y=2；②；③；④中，属于一元一次方程的是_____________（只填代号）.
37．若关于x的方程2x–3=1与x+k=1的解相同，k=_____________．
38．已知x=5，可求得x=_____________，这是根据_____________．
39．如果，那么a=_____________，其根据是_____________．
40．方程6–2x=0的解是x=_____________.
41．方程17+15x=245，，2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？





42．从2a+3=2b+3能否得到a=b，为什么？




43．利用等式的性质解下列方程.
（1）y+3=2；（2）–y–2=3；（3）9x=8x–6；（4）8m=4m+1．





44．（2017•杭州）设x，y，c是实数，正确的是
A．若x=y，则x+c=y–c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则= D．若=，则2x=3y
45．（2016•广东）已知方程x–2y+3=8，则整式x–2y的值为
A．5 B．10 C．12 D．15
46．（2017•永州）x=1是关于x的方程2x–a=0的解，则a的值是
A．–2 B．2 C．–1 D．1
47．（2016•梧州）一元一次方程3x–3=0的解是
A．x=1 B．x=–1 C．x= D．x=0
48．（2017•云南）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为__________．
49．（2017•金华）若=，则=__________．


5．【答案】A

6．【答案】A
【解析】A、符合一元一次方程的定义；
B、未知数的次数2，故不是一元一次方程；
C、含有两个未知数，故不是一元一次方程；
D、含有两个未知数，故不是一元一次方程．
故选A．
7．【答案】D
【解析】A、若–3x=5，则x=–，错误；
B、若，则2x+3（x–1）=6，错误；
C、若5x–6=2x+8，则5x–2x=8+6，错误；
D、若3（x+1）–2x=1，则3x+3–2x=1，正确；
故选D． 学科！网
8．【答案】D
【解析】当c=0时，ac=bc=0，但a不一定等于b，故D错误，故选D．
9．【答案】C
【解析】A、若x=y，则m–x=m–y成立；
B、若x=y，则mx=my成立；
C、若mx=my，则x=y不一定成立，应说明m≠0；
D、若，则mx=my成立；
故选C．
10．【答案】C
【解析】C．若c=0时，此时a不一定等于b，故选C．
11．【答案】C

12．【答案】1
【解析】移项，得2x+5x=1+6，
合并同类项，得7x=7，
系数化为1，得x=1，
故答案为1．
13．【答案】–1
【解析】将x=4代入ax+2x=4，
所以4a+8=4，
所以4a=–4，
所以a=–1，
故答案为：–1．
14．【答案】①②④
【解析】①由a=b，得5–2a=5–2b，正确；
②由a=b，得ac=bc，正确；
③由a=b（c≠0），得，不正确；
④由，得3a=2b，正确；
⑤由a2=b2，得a=b或a=–b，不正确．
故答案为：①②④．

④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程．
故答案为：③④．
19．【答案】–1
【解析】由题意得|a|=1，且a–1≠0，解得a=–1，故答案为：–1．
20．【解析】（1）当x=2时，左边=，右边=0，
因为左边≠右边，
所以x=2不是方程的解；
（2）当x=–1时，左边=–3，右边=–3，
因为左边=右边，
所以x=–1是方程的解．
21．【解析】他俩的说法正确，
当a+3=0时，x为任意实数，
当a+3≠0时，x=4．
22．【解析】（1）因为3x=4.5，
所以x=1.5，
因为4.5–3=1.5，
所以3x=4.5是差解方程；
（2）因为关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，
所以m+1–5=，
解得m=．
故m的值为．
23．【答案】A

24．【答案】D
【解析】将x=3代入各选项可得．
A、y–3=0，不含x项，故本选项错误；
B、左边=5，右边=1，左边≠右边，故本选项错误；
C、左边=4，右边=3，左边≠右边，故本选项错误；
D、左边=6，右边=6，左边=右边，故本选项正确；
故选D．
25．【答案】B
【解析】选项A，是一元二次方程；选项B，是一元一次方程；选项C，是二元一次方程；选项D，是分式方程，由此可得，只有选项B符合题意.故选B．
26．【答案】B
【解析】把x=2代入方程ax+3=1得，2a+3=1，解得a=–1，故选B．
27．【答案】C
【解析】3x=−9，两边同时除以3，得x=−3，故选C．
28．【答案】B

29．【答案】A
【解析】因为关于x的方程mxm−2−m+3=0是一元一次方程，
所以m≠0，m−2=1，解得m=3，
即方程为3x−3+3=0，解得x=0，
故选A．
30．【答案】B
【解析】①x−2=不是1次，故不是一元一次方程；
②–1=是一元一次方程；
③=5x−1是一元一次方程；
④x2−4x=3不是1次，是2次，故不是一元一次方程；
⑤x=6是一元一次方程；
⑥x+2y=0不是1元，故不是一元一次方程；
故选B．
31．【答案】B
【解析】A．如果，那么，本选项不能选；
B．如果，那么，本选项正确；
C．如果，那么（c≠0），本选项不能选；
D．如果，那么（c≠0），本选项不能选.
故选B．
32．【答案】A
【解析】A选项：由等式的性质2可知A正确；
B选项：当c=0时，不一定正确，故B错误；
C选项：若a2=b2，则a=±b，故C错误；
D选项：需要注意c≠0，故D错误．
故选A．
33．【答案】B

34．【答案】B
【解析】因为2x–3y=7，所以2x–7=3y，所以y=(2x–7)，故选B．
35．【答案】D
【解析】a–=b–，2a=a+b，–a=–b，3a–1=3b–1都正确，共4个，
故选D．
36．【答案】②
【解析】①3x–y=2，含有两个未知数，不是一元一次方程；
②，是一元一次方程；
③，不是等式，不是一元次方程；
④，最高为2次，不是一元一次方程，
所以是一元一次方程的只有②，
故答案为：②.
37．【答案】–1
【解析】解方程2x–3=1，可得x=2，
把x=2代入x+k=1，可得2+k=1，
解得k=–1，
故答案是：–1.

40．【答案】3
【解析】两边同时加2x，得6=2x，
两边同时除以2，得x=3，
故答案为：3．
41．【解析】方程不是一元一次方程；
和是一元二次方程；
是二元一次方程．
42．【解析】能．首先根据等式的性质1，等式的两边同时减去3，然后利用等式的性质2，等式的两边同时除以2，所得结果就是a=b．
43．【解析】（1）两边同时减去3，得y+3–3=2–3，y=–1；
（2）两边同时加2，得–y–2+2=3+2，
–y=5，
两边同时乘以–2，得y=–10；
（3）两边同时减去8x，得9x–8x=8x–6–8x，
x=–6；
（4）两边同时减去4m，得8m–4m=4m+1–4m，
4m=1，
两边同时除以4，得m=.

45．【答案】A
【解析】由x–2y+3=8得x–2y=8–3=5，故选A．
46．【答案】B
【解析】将x=1代入2x–a=0中，
所以2–a=0，
所以a=2，
故选B．
47．【答案】A
【解析】3x–3=0，3x=3，x=1，故选A．
48．【答案】–7
【解析】把x=1代入方程得2+a+5=0，
解得a=–7，
故答案为：–7．
49．【答案】
【解析】根据等式的性质：两边都加1，+1=+1，
则=，故答案为：．