2023年中考第一次模拟考试数学卷（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．的绝对值是（    ）

A． B．8 C． D．

【答案】B

【详解】【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可.

【详解】数轴上表示数-8的点到原点的距离是8，

所以-8的绝对值是8，

故选B.

【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.

2．下列运算中，正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：A．与不是同类项，不能合并，故错误；

B．，故错误；

C．，故错误；

D．正确；

故选D．

考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．

3．据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将万写成，保留1位整数，写成的形式即可，n为正整数．

【详解】解：万，保留1位整数为，小数点向左移动7位，

因此，

故选：C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握中a的取值范围和n的取值方法是解题的关键．

4．在反比例函数图象上有两点A（，）B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ）

A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤

【答案】B

【详解】对于反比例函数y=，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．

本题根据题意可得：k＞0，即1－3m＞0，

解得：m＜．

故选：B．

【点睛】考点：反比例函数的性质．

5．某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法正确的是（　　）

A．总体是该校4000名学生的体重 B．个体是每一个学生

C．样本是抽取的400名学生 D．样本容量是400名学生

【答案】A

【分析】我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】解：A．总体是该校4000名学生的体重，说法正确，故A符合题意；

B．个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B不符合题意；

C．样本是抽取的400名学生的体重，说法错误，故C不符合题意；

D．样本容量是400，说法错误，故D不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是正确记忆各自的概念．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．

6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．

【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

7．不等式的解集为________．

【答案】

【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．

【详解】解：

去分母，得x-3≥2，

移项，得x≥2+3，

合并同类项，系数化1，得，x≥5，

故答案为：x≥5．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．

8．函数中自变量x的取值范围是________．

【答案】且

【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．

【详解】解：由题意可知：，解得：且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．

【答案】2

【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，

【详解】解：由题意可知：

，，

，

∴，

解得：．

 故答案为：2．

【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．

10．分解因式：_____．

【答案】

【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：

原式，

故答案为：．

11．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．

【答案】5x+45=7x-3

【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．

【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．

故答案为：5x+45=7x-3．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．

12．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．

【答案】且

【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．

【详解】解：由得，

关于x的方程的解为负数，

，即，解得，即且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．

13．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．

【答案】##

【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．

【详解】解：过点D作交于点E，如图：

则四边形BCED是矩形，

∴BC=DE，BD=CE，

由题意可知：，，

在中，，

∴，

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

14．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．

【答案】3

【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．

【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，

，

，

故答案为3．

【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．

15．已知第一组数据：，，，的方差为；第二组数据：，，，的方差为；第三组数据：，，，的方差为，则，， 的大小关系是_______________（填“”，“”或“”）

【答案】         

【分析】根据方差是反映数据波动情况的量进行判断即可．

【详解】解：第一组和第二组数据都是间隔为2的偶数，

两组数据波动情况相同，

即：，

第三组数据是相差为1的整数，

方差最小，

即：，

故答案为：，．

【点睛】考查了方差的知识，解题时可以直接根据波动情况判断，也可以利用方差公式计算后确定答案，难度不大．

16．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为_________丈．

【答案】

【分析】如图，先根据正方形的性质得出，再解直角三角形求出AO的长度，则．

【详解】解：如图，

设⊙与AD边的切点为点C，连接OC，

则（丈），，

由正方形的性质知，对角线AB平分，

∴，

∴（丈），

∴（丈），

∴（丈），

故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，解直角三角形等，通过解直角三角形求出AO的长度是解题的关键．

17．如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．

【答案】48

【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出

【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角

∴

在中：

故答案为：48

【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°

18．如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．

【答案】10

【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．

【详解】解：如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，

，

四边形是平行四边形，

，

，

又， ，

，

，

，

四边形是平行四边形，

垂直平分，

，

四边形是菱形，

，，

，

，

为的中点，

中， ，，

，

，

四边形AECF的周长为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．

三、解答题（本大题共7题，其中19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分）

19．计算：．

【答案】9

【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简法则计算即可．

【详解】

=

=9．

【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】，数轴见解析

【分析】首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，即可求得该不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．

【详解】解：由得：，

解得，

由得：，

解得，

故原不等式组的解集为，

把解集在数轴上表示出来，如下图：

【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

21．小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)这5期的集训共有多少天？

(2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？

(3)根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法．

【答案】(1)55天

(2)第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒

(3)个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可）

【分析】（1）根据图中的信息可知这5期的集训各有多少天，求出它们的和即可；

（2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步时间可由折线统计图计算；

（3）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．

【详解】（1）∵（天）．

∴这5期的集训共有55天．

（2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，

进步了（秒），

∴第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．

（3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可）

【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．某文教用品商店欲购进两种笔记本，若购进本种笔记本与本种笔记本花元；若购进本种笔记本与本种笔记本花元．

(1)求两种笔记本每本的进价分别为多少元？

(2)若该商店种笔记本每本售价元，种笔记本每本售价元，准备购进两种笔记本共本，且这两种笔记本全部售出后总获利超过元，则最多购进种笔记本多少本？

【答案】(1)种笔记本进价为元，种笔记本进价为元

(2)本

【分析】（1）设种笔记本进价为元，种笔记本进价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）设购进种笔记本本，根据题意列出一元一次不等式求解即可.

【详解】（1）解：设种笔记本进价为元，种笔记本进价为元，根据题意，得

，

解得：，

答：种笔记本进价为元，种笔记本进价为元；

（2）解：设购进种笔记本本，则

，

解得：，

∵为正整数，

∴，

答：最多购进种笔记本本.

【点睛】本题考查了实际问题与二元一次方程，实际问题与一元一次不等式等相关知识点，审清题意是解题的关键．

23．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)BC的长为

【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；

（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．

【详解】（1）证明：，，

，

，

在四边形ABCD中，，

四边形ACED是平行四边形；

（2）解：在中，，设，，

在中，，，，

，

，即，解得（舍弃）或，

．

【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24．已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）

(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，，，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将E点坐标代入一次函数解析式中求出m即可；

（2）利用梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可；

（3）先求出直线AQ的解析式，再设出M、N的坐标，构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立方程求解即可．

【详解】（1）解：当时，，

∴，

将代入中得，

∴

∵，

将代入得，

解得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）∵，

∴，，

∴

如图，过Q点作于B，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴

，

即．

（3）当时，，

∴（正值舍去）

当时，，

∴，

设直线AQ的解析式为：，

∴，

∴，

∴，

如图，分别过Q点、N点作x轴的垂线，分别与过A点、M点作的x轴的平行线分别交于点K、点H，过M点作x轴的垂线，垂足为G，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴,

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

设，，

∴，

，

，

，

∴，

∴（负值舍去），

∴，

∴．

【点睛】本题考查了抛物线与一次函数、三角形面积问题等知识，设计到了全等三角形的判定与性质、待定系数法、等腰直角三角形的判定与性质、二元一次方程组等知识，解题关键是理解图形、能构造全等三角形．

25．已知：AB=5，tan∠ABM=，点 C、D、E 为动点，其中点 C、D 在射线 BM 上（点 C在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED，求 ED 的长；

(2)当 EABM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积；

(3)联结 CE，当△ACE 是等腰三角形时，求点 B、C 间的距离．

【答案】(1)

(2)15

(3)3

【分析】(1)如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用

ΔABH≌ΔDBF，得，求出DF即可解决问题．

(2)先证明四边形ADBE是平行四边形，根据=BD·AH，计算即可

(3)由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．

（1）

（1)如图1中，

延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．

在RtΔABH中，

∵∠AHB=90°，

∴sin∠ABH=

∴AH=3， BH==4，

∵AB= AD， AH⊥BD，

在ΔABE和ΔABD中，

∴ΔABD≌ΔABE，

∴BE=BD，

 ∵∠ABE=∠ABD，

∴BF⊥DE， EF=DF，

∵∠ABH= ∠DBF，∠AHB=<BFD，

∴ΔABH≌ΔDBF，

∴,

∴DF=，

∴DE=2DF=．

（2）

如图2中，

作AH⊥BD于H，

∵AC=AD， AB=AE，∠CAD= ∠BAE，

∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，

∵AE//BD，

∴∠AEB+∠EBD=180°，

∴∠EBD+∠ADC=180°，

∴EB∥AD，

∵AE∥BD，

∴四边形ADBE是平行四边形，

∴BD=AE=AB=5，AH=3，

∴=BD·AH=15．

（3）

由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，

∵∠ACD=∠AEB(已证），

∴A、C、B、E四点共圆，

∵AE=EC=AB，

∴，

∴，

∴∠AEC=∠ABC，。

∴AE//BD，

由(2)可知四边形ADBE是平行四边形，

∴AE=BD=AB=5，

∵AH=3，BH=4，

∴DH=BD-BH=1，

∵AC=AD，AH⊥CD，

∴CH=HD=1，BC=BD-CD=3．

【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，第三个问题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，属于中考压轴题．