2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷

这是一份2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷，共52页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2019•临沂）计算﹣a﹣1的正确结果是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（4分）（2023•镇海区校级一模）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
3．（4分）（2023•镇海区校级一模）已知9m＝2，9﹣n＝5，则34m﹣2n的值是（　　）
A． B．20 C．10 D．50
4．（4分）（2023•镇海区校级一模）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）（2023•镇海区校级一模）若x2+y2＝1，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（4分）（2023•镇海区校级一模）如果x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除，则的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．（4分）（2023•镇海区校级一模）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．（4分）（2023•镇海区校级一模）y＝x与y＝交于A、B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC延长线交双曲线于点D，若BD＝5，则AD为（　　）

A．2 B．3 C． D．
9．（4分）（2023•镇海区校级一模）AB＝，AC＝1，以BC为边作正方形BCED，当线段AC绕点A任意旋转时，正方形BCED也随之旋转，若x＝AD+AE，则x的取值范围是（　　）

A．1≤x≤2+3 B．1≤x≤3+2 C．1≤x≤3+3 D．1≤x≤2+2
10．（4分）（2023•镇海区校级一模）如图，⊙O直径AB，DC⊥平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且EF＝OA．弦DH交OC于G，满足GD2＝GO×GE，S△DHF﹣S△DCE＝2，AC长为（　　）

A． B． C．2 D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）（2023•镇海区校级一模）已知（a2+b2）2﹣a2﹣b2﹣6＝0，求a2+b2的值为 　 　．
12．（5分）（2023•镇海区校级一模）燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱．而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为　 　．
13．（5分）（2023•镇海区校级一模）△ABC，D为AC中点，BA＝BD，DE⊥AC交BC于E，EA交BD于F，tan∠EAB＝，FD＝5，则AF＝　 　．

14．（5分）（2023•镇海区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D、E分别在直线AC，AB上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A对应点A′．当A′D⊥AC，且CA′∥AB时，AE＝　 　，AD＝　 　．

15．（5分）（2023•镇海区校级一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连结EF交OB于点P，那么＝　 　．

16．（5分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝12，Rt△ADE中，AD＝AE＝6，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（10分）（2023•镇海区校级一模）解方程：
（1）；
（2）．
18．（10分）（2023•镇海区校级一模）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点．如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：

（1）AC＝AB（画在图①中）；
（2）△ABC的面积为5（画在图②中）；
（3）使△ABC的面积最大（画在图③中）．

19．（10分）（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
20．（10分）（2018•镇江）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；
（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为　 　．

21．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC中，，D，M，N分别在直线AB，直线AC，直线BC上．
（1）若D是AB中点，∠MDN＝∠A+∠B，求；
（2）若点D，M，N分别在AB，CA，CB的延长线上，且，∠MDN＝∠ACB，求．

22．（10分）（2023•镇海区校级一模）点A，B在半径为4的⊙O上，∠AOB＝90°，点C在劣弧AB上且为中点，AC、OB延长线交于点D，连结BC．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若AC＝x，BD＝y，求y与x的关系式；
（3），以M为圆心的圆经过点A，C．当时，求⊙M的半径．

23．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且使∠OCA＝∠OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且EG为⊙O的直径．
（1）延长OF，EB交于点P，若BE＝1，∠EBF＝2∠OPC，求图中阴影部分的面积；
（2）连结BG，与OF交于点M，若BE＝1，OE＝2，求的值．


2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2019•临沂）计算﹣a﹣1的正确结果是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．
2．（4分）（2023•镇海区校级一模）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；
B、32+（）2＝42，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
C、62+82≠92，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；
D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（4分）（2023•镇海区校级一模）已知9m＝2，9﹣n＝5，则34m﹣2n的值是（　　）
A． B．20 C．10 D．50
【考点】同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则计算出34m和32n的值，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：∵9m＝2，9﹣n＝5，
∴32m＝2，3﹣2n＝5，
∴34m＝4，
∴34m﹣2n＝34m•3﹣2n＝4×5＝20．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
4．（4分）（2023•镇海区校级一模）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有
【专题】计算题；换元法；一次方程（组）及应用．
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
【解答】解：由题意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．
5．（4分）（2023•镇海区校级一模）若x2+y2＝1，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到xy﹣3x+y﹣3≥0，则利用分组分解得到（x+1）（y﹣3）≥0，再转化为不等式组，解得或，由于x2+y2＝1，则x≥﹣1，y≥3不满足条件；只有x＝﹣1，y＝0时，满足x2+y2＝1，从而可得到计算代数式的值．
【解答】解：根据题意得xy﹣3x+y﹣3≥0，
即（x+1）（y﹣3）≥0，
∴或，
解得或，
∵x2+y2＝1，
∴x≥﹣1，y≥3不满足条件；
只有x＝﹣1，y＝0时，满足x2+y2＝1，
∴当x＝﹣1，y＝0时，原式＝+
＝|x﹣2|+0
＝|﹣1﹣2|
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用二次根式有意义的条件确定x、y的范围是解决问题的关键．
6．（4分）（2023•镇海区校级一模）如果x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除，则的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【考点】因式分解的应用；整式的除法．菁优网版权所有
【分析】根据x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除得到x3+ax2+bx+8＝（x2+3x+2）（x+m）＝x3+（3+m）x2+（2+3m）x+2m，利用等式的对应项相等可得关于m、a、b的方程组，解方程组求出a，b，m即可．
【解答】解：∵x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除，
∴x3+ax2+bx+8＝（x2+3x+2）（x+m）＝x3+（3+m）x2+（2+3m）x+2m，
∴，
解得，
∴＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的除法，可利用乘法是除法的逆运算计算，其实就是待定系数法．
7．（4分）（2023•镇海区校级一模）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解答】解：∵y＝k（x﹣1），
∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0），
故①④不合题意；
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y＝（k≠0）在一、三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y＝（k≠0）在二、四象限；
故②③符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
8．（4分）（2023•镇海区校级一模）y＝x与y＝交于A、B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC延长线交双曲线于点D，若BD＝5，则AD为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】作BE⊥y轴于点E，根据题意设B（m，m）（m＞0），则A（﹣m，﹣m），k＝，利用勾股定理求得OB＝OA＝2m，通过证得△BOE∽△COA，求得OC＝m，得到C（0，﹣m），利用待定系数法求得直线BD的解析式，与反比例函数解析式联立，求得D点的坐标，由BD＝5，利用勾股定理求得m的值，即可得到A、D的坐标，利用勾股定理即可求得AD．
【解答】解：作BE⊥y轴于点E，
∵y＝x与y＝交于A、B两点，
∴设B（m，m）（m＞0），则A（﹣m，﹣m），k＝，
∴OB＝OA＝＝2m，
∵∠BOE＝∠AOC，∠BEO＝∠OAC＝90°，
∴△BOE∽△COA，
∴，即，
∴OC＝m，
∴C（0，﹣m），
设直线BD的解析式为y＝ax﹣m，
代入B（m，）得，＝am﹣，
解得a＝，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣m，
由解得或，
∴D（﹣，﹣m），
∵BD＝5，
∴＝5，
解得m＝（负数舍去），
∴A（﹣，﹣），D（﹣，﹣），
∴AD＝＝2，
故选：A．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似的判断和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
9．（4分）（2023•镇海区校级一模）AB＝，AC＝1，以BC为边作正方形BCED，当线段AC绕点A任意旋转时，正方形BCED也随之旋转，若x＝AD+AE，则x的取值范围是（　　）

A．1≤x≤2+3 B．1≤x≤3+2 C．1≤x≤3+3 D．1≤x≤2+2
【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】先分别求出AD，AE的取值范围，即可求解．
【解答】解：将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△NCB，将△ABD绕点B逆时针旋转90°得到△HBC，连接AH，AN，
∴△ACE≌△NCB，△ABD≌△HBC，∠ABH＝∠ACN＝90°，
∴AB＝BH＝，AC＝CN＝1，AE＝BN，HC＝AD，
∴AH＝2，AN＝，
在△ABN中，AB﹣AN＜BN＜AB+AN，
∴0＜BN＜2，
∴当点B，点A，点N共线时，BN的最大值为2，最小值为0，
∴0≤BN＝AE≤2，
同理可得1≤HC＝AD≤3，
∵x＝AD+AE，
∴1≤x≤3+2，
故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质作出辅助线是解题的关键．
10．（4分）（2023•镇海区校级一模）如图，⊙O直径AB，DC⊥平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且EF＝OA．弦DH交OC于G，满足GD2＝GO×GE，S△DHF﹣S△DCE＝2，AC长为（　　）

A． B． C．2 D．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，利用线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定得到△OAD为等边三角形，设AC＝x，则OC＝x，OD＝OH＝OF＝OA＝EF＝2x，利用相似三角形的判定得到△GDO∽△GED，进而得到∠ODG＝∠E，∠GOD＝∠GDE＝60°；利用圆周角定理得到∠HOM＝∠HOF＝60°，利用等腰三角形的性质得到OM＝，HM＝x，HF＝2HM＝2；利用全等三角形的判定与性质得到S△ODH＝S△FOE，从而S△DHF﹣S△DCE＝S△OHF﹣S△ODC＝2，最后利用三角形的面积公式得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，如图，
∵DC⊥平分OA，
∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠A＝∠AOD＝60°．
设AC＝x，则OC＝x，OD＝OH＝OF＝OA＝EF＝2x，
∴CD＝x．
∵GD2＝GO×GE，
∴，
∵∠DGO＝∠EGD，
∴△GDO∽△GED，
∴∠ODG＝∠E，∠GOD＝∠GDE＝60°．
∴∠HOF＝2∠HDF＝120°．
∵OH＝OF，OM⊥HF，
∴∠HOM＝∠HOF＝60°，
∴OM＝，HM＝x．
∴HF＝2HM＝2．
∵OA＝EF，OF＝OA，
∴OF＝EF，
∴∠FOE＝∠E，
∴∠E＝∠FOE＝∠ODH．
∵OD＝OH，
∴∠ODH＝∠OHD，
∴∠∠OHD＝∠E＝∠FOE．
在△ODH和△FOE中，
，
∴△ODH≌△FOE（AAS），
∴S△ODH＝S△FOE．
∵S△DHF＝S△DOH+S△ODF+S△OHF，S△DCE＝S△FOE+S△ODF+S△OCD，
∴S△DHF﹣S△DCE＝S△OHF﹣S△ODC．
∵S△DHF﹣S△DCE＝2，
∴S△OHF﹣S△ODC＝2．
∴HF•OM﹣OC•CD＝2．
∴2x•x﹣x•x＝2，
∵x＞0，
∴x＝2．
∴AC＝2．
故选：C．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）（2023•镇海区校级一模）已知（a2+b2）2﹣a2﹣b2﹣6＝0，求a2+b2的值为 　3　．
【考点】换元法解一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设a2+b2为x，利用换元法解答即可．
【解答】解：设a2+b2为x，可得：x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝6，
解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意舍去），
所以a2+b2的值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了换元法解方程问题，掌握把未知数看作一个整体进行解答是关键．
12．（5分）（2023•镇海区校级一模）燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱．而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为　10　．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】销售问题．
【分析】根据等量关系：2014年销售利润仅为2013年当天利润的50%列出关系式，解方程即可确定出a的值．
【解答】解：根据题意得：40（1﹣4a%）×[250（1+a%）﹣（1+50%）×100]＝40×（250﹣100）×50%，
整理得：（1﹣4a%）（100+2.5a）＝75，即（a+25）（a﹣10）＝0，
解得：a＝﹣25（舍去）或a＝10，
则a的值为10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
13．（5分）（2023•镇海区校级一模）△ABC，D为AC中点，BA＝BD，DE⊥AC交BC于E，EA交BD于F，tan∠EAB＝，FD＝5，则AF＝　3或5　．

【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】如图作BN⊥AC于N，DH⊥BC于H，连接DM．首先证明四边形BMDE是平行四边形，设EF＝FM＝a，则EA＝EC＝4a，再证明△EBF∽△EAB，推出BE＝2a，在Rt△NDH中，利用勾股定理，求出DH，BH，再利用△DHE∽△CHD，列出方程解决问题．
【解答】解：如图作BN⊥AC于N，DH⊥BC于H，连接DM．
∵BA＝BD，BN⊥AD，
∴AN＝ND，∠BAD＝∠BDA，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DBC+∠C，
∵DA＝DC，ED⊥AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠BAE＝∠DBC，
∵BN⊥AC，ED⊥AC，
∴NM∥DE，
∴AM＝EM，
∵DM∥BE，BM∥DE，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴EF＝FM，BF＝DF＝5，设EF＝FM＝a，则EA＝EC＝4a，
∵∠BEF＝∠BEA，∠EBF＝∠BAE，
∴△EBF∽△EAB，
∴＝，
∴BE2＝EF•EA＝4a2，
∴BE＝2a，
∵tan∠BAE＝tan∠DBH＝＝，设DH＝b，BH＝2b，
∴5b2＝100，
∴b＝2，
∴BH＝4，
∵∠DEH＝∠CDH，∠DHE＝∠DHC＝90°，
∴△DHE∽△CHD，
∴＝，
∴DH2＝EH•HC，
∴（2）2＝（4﹣2a）（4a﹣4+2a），
解得a＝或，
∴AF＝3a＝3或5．
故答案为：3或5．

【点评】本题考查解直角三角形、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（5分）（2023•镇海区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D、E分别在直线AC，AB上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A对应点A′．当A′D⊥AC，且CA′∥AB时，AE＝　　，AD＝　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【分析】BE与BC交于点O，连接A′C，过点D作DF∥AB交BC于点F，则A′C∥DF∥AB，根据平行线的性质得∠A＝∠A′CD，由A′D⊥AC得∠A′DC＝∠ACB＝90°，A′D∥BC，以此可证明△CA′D～△ABC，根据折叠的性质可得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，设AD＝A′D＝x，则CD＝4﹣x，根据相似三角形的性质列出方程，求得AD＝A′D＝，CD＝，A′C＝，再证明四边形DA′CF为平行四边形，得到A′D＝CF＝，A′C＝DF＝，由∠ADE+∠A′DE＝270°得到∠CDO＝45°，则CD＝CO＝，再算出BO、FO，易证明△BOE∽△FOD，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，BE与BC交于点O，连接A′C，过点D作DF∥AB交BC于点F，

∵CA′∥AB，
∴A′C∥DF∥AB，
∴∠A＝∠A′CD，
∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC＝∠ACB＝90°，A′D∥BC，
∴△CA′D～△ABC，
∴，
根据折叠的性质可得，∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，
∴＝5，
设AD＝A′D＝x，则CD＝4﹣x，
∴，
解得：，
∴AD＝A′D＝，CD＝，
∴A′C＝＝，
∵A′D∥CF，A′C∥DF，
∴四边形DA′CF为平行四边形，
∴A′D＝CF＝，A′C＝DF＝，
∵∠ADE+∠A′DE＝270°，
∴∠ADE＝∠A′DE＝135°，
∴∠CDO＝180﹣∠ADE＝45°，
∴CD＝CO＝，
∴BO＝BC﹣CO＝，FO＝CO﹣CF＝，
∵DF∥AE，
∴△BOE∽△FOD，
∴，即，
∴BE＝，
∴AE＝AB+BE＝．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线，利用相似三角形的性质解决问题是解题关键．
15．（5分）（2023•镇海区校级一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连结EF交OB于点P，那么＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】通过证明△OFP∽△HEP，可求OP＝PH＝OH，即可求解．
【解答】解：取OB的中点H，连接EH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥AB，点H是OB的中点，
∴EH＝OH＝BH，AE＝BE，
∴EH∥AC，
∴△OFP∽△HEP，
∴＝，
∵点F是OC的中点，
∴OF＝OC＝OB＝EH，
∴OP＝PH＝OH，
∴PB＝3OP，
∴＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16．（5分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝12，Rt△ADE中，AD＝AE＝6，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 　3+3　．

【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，取BC的中点O，连接OP交AB于点J，设AB交PC于点K．证明∠BPC＝90°，推出点P在以BC为直径的圆上运动，如图2中，当AD⊥PB时，点P到AN的距离PT的值最大．
【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OP交AB于点J，设AB交PC于点K．

∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE．AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠DBA＝∠ACE，
∵∠AKC＝∠BKP，
∴∠BPK＝∠CAK＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，
如图，当AD⊥PB时，点P到AN的距离PT的值最大．

∵AB＝AC＝12，AD＝6
∵AB＝2AD，
∴∠ABD＝30°，
∴PT＝PB，
∵BD＝AD＝6，DP＝AD＝6
∴点P到AB的最大距离为（6+6）＝3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（10分）（2023•镇海区校级一模）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）把方程转化成＝，再方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得出（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘x﹣2，得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即分式方程无解；

（2），
+＝+，
1++1+＝1++1+，
+＝+，
﹣＝﹣，
＝，
＝，
方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），得（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2），
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
18．（10分）（2023•镇海区校级一模）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点．如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：

（1）AC＝AB（画在图①中）；
（2）△ABC的面积为5（画在图②中）；
（3）使△ABC的面积最大（画在图③中）．

【考点】作图—应用与设计作图；三角形的面积；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）作等腰直角三角形ABC即可（AB＝BC，∠ABC＝90°）；
（3）构造腰长为5的等腰三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．（10分）（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【分析】（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案；
（2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，
依题意，得：，
解得：18≤x≤20．
∵x为整数，
∴x＝18，19，20．
∴符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车．
（2）方案1所需费用为：900×18+600×12＝23400（元），
方案2所需费用为：900×19+600×11＝23700（元），
方案3所需费用为：900×20+600×10＝24000（元）．
∵23400＜23700＜24000，
∴方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
20．（10分）（2018•镇江）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；
（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为　（11，3）　．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线表达式；
（2）先求出点E的纵坐标，再确定出直线l的解析式，即可得出结论；
（3）先判断出△ABO∽△EBC，得出，再判断出△BOC∽△CFE，即可求出CF，EF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，
∴，
∴，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6；

（2）如图，设点E到x轴的距离为h，
∵A（﹣9，0），C（2，0），
∴S△ACE＝AC•h＝×11h＝11，
∴h＝2，即点E的纵坐标为2，
记直线l与y轴的交点为D，
∵BC⊥l，
∴∠BCD＝90°＝∠BOC，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCD，
∵∠BOC＝∠COD，
∴△OBC∽△OCD，
∴，
∵B（0，6），C（2，0），
∴OB＝6，OC＝2，
∴，
∴OD＝，
∴D（0，﹣），
∵C（2，0），
∴直线l的解析式为y＝x﹣，
当y＝2时，x﹣＝2，
∴x＝8，
∴E（8，2）；

（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，连接BE，
∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°
∴△ABO∽△EBC，
∴，
∵∠BCE＝90°＝∠BOC，
∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF，
∴∠CBO＝∠ECF，
∵∠BOC＝∠EFC＝90°，
∴△BOC∽△CFE，
∴，
∴，
∴CF＝9，EF＝3，
∴OF＝11，
∴E（11，3）．
故答案为（11，3）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，求出CF＝9，EF＝3是解本题的关键．
21．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC中，，D，M，N分别在直线AB，直线AC，直线BC上．
（1）若D是AB中点，∠MDN＝∠A+∠B，求；
（2）若点D，M，N分别在AB，CA，CB的延长线上，且，∠MDN＝∠ACB，求．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接CD，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，利用等高的三角形的面积比等于底的比，得到，再利用相似三角形的判定得到△DEM∽△DFN，由相似三角形的性质定理即可得出结论；
（2）连接CD，过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G，DF⊥NC于点H，MD与NC交于点K，设BC＝2k，则AC＝3k，利用同高的三角形的面积比等于它们底的比，三角形的面积公式，计算得到，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）连接CD，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，如图，

∵D是AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD．
∴AC•DE＝BC•DF，
∴AC•DE＝BC•DF．
∴．
∵∠MDN＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠MDN＝180°﹣∠C．
∵四边形DECF的内角和为360°，∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣90°×2﹣∠C＝180°﹣∠C，
∴∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DEM＝∠DFN＝90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴．
（2）连接CD，过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G，DF⊥NC于点H，MD与NC交于点K，如图，

∵同高的三角形的面积比等于它们底的比，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴设BC＝2k，则AC＝3k，
∴，
∴．
∵∠MDN＝∠ACB，∠MKC＝∠DKN，
∴∠M＝∠N．
∵∠MGD＝∠DHN＝90°，
∴△MDG∽△NDH，
∴．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积的相关性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，利用三角形的面积公式添加恰当的高线是解题的关键．
22．（10分）（2023•镇海区校级一模）点A，B在半径为4的⊙O上，∠AOB＝90°，点C在劣弧AB上且为中点，AC、OB延长线交于点D，连结BC．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若AC＝x，BD＝y，求y与x的关系式；
（3），以M为圆心的圆经过点A，C．当时，求⊙M的半径．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）在优弧AB上任意取一点E，连接AE、BE，根据圆周角定理得∠E＝∠AOB＝45°，再根据圆内接四边形对角互补可得答案；
（2）作OF⊥AC于F，根据同角的余角相等得，sin∠AOF＝sinD，即可得出y与x的关系式；
（3）根据OA和OD的长，可得∠D＝30°，再根据点M在直线OF上，利用勾股定理即可求出AM的长．
【解答】解：（1）在优弧AB上任意取一点E，连接AE、BE，

则∠E＝∠AOB＝45°，
∵四边形AEBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠E＝180°，
∵∠BCD+∠ACB＝180°，
∴∠BCD＝∠E＝45°；
（2）作OF⊥AC于F，

则∠AOB＝∠AFO＝90°，AF＝，
∴∠FOD+∠D＝∠FOD+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝∠D，
∴sin∠AOF＝sinD，
∴，
化简得，y＝；
（3）∵＝4﹣4，
∴OD＝4，
∴tanD＝，
∴∠D＝30°，
∴OF＝OD＝2，AF＝OA＝2，
∵以M为圆心的圆经过点A，C．

∴点M在直线OF上，
∵OM＝，
∴AM＝＝或AM'＝＝．
∴⊙M的半径为或．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，勾股定理等知识，确定∠D＝30°是解决问题（3）的关键．
23．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且使∠OCA＝∠OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；开放型；推理能力．
【分析】（1）令抛物线中y＝0，可得出A、B的坐标，即可确定OA，OB的长．根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长；
（2）利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标．将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；
（3）先算出抛物线的对称轴，再设点P坐标，最后分两种情况进行讨论，结合等腰三角形的性质，计算出符合条件的点P坐标．
【解答】解：（1）由ax2﹣8ax+12a＝0（a＜0），
得x1＝2，x2＝6，
即：OA＝2，OB＝6，
∵△OCA∽△OBC，
∴OC2＝OA•OB＝2×6．
∴OC＝2（﹣2舍去），
∴线段OC的长为2．

（2）∵△OCA∽△OBC，
∴，
设AC＝k，则BC＝k，
由AC2+BC2＝AB2得：k2+（k）2＝（6﹣2）2，
解得k＝2（﹣2舍去），
∴AC＝2，BC＝2＝OC．
过点C作CD⊥AB于点D，
∴OD＝OB＝3，
∴CD＝，
∴C的坐标为（3，）．
将C点的坐标代入抛物线的解析式得：＝a（3﹣2）（3﹣6），
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2+x﹣4．

（3）∵抛物线为y＝﹣x2+x﹣4，
∴对称轴为直线x＝＝4，
∵P是抛物线的对称轴上的一点，
∴设P（4，t），
∵OB＝6，
∴B（6，0），
∵C（3，），
∴BC＝＝2，
BP＝＝，
PC＝＝，
当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论：
①BC＝BP时，
得2＝，
解得t＝2或﹣2，
∴P为（4，2）或P（4，﹣2），
②BC＝PC时，
得2＝，
解得t＝+或﹣，
∴P（4，+）或P（4，﹣），
综上所述，点P的坐标为（4，2）或（4，﹣2）或（4，+）或（4，﹣）．


【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数点坐标的特征，相似三角形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质等，其中，熟练掌握数形结合思想和分类讨论思想是解本题的关键．
24．（10分）（2023•镇海区校级一模）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且EG为⊙O的直径．
（1）延长OF，EB交于点P，若BE＝1，∠EBF＝2∠OPC，求图中阴影部分的面积；
（2）连结BG，与OF交于点M，若BE＝1，OE＝2，求的值．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）如图1，连接OB、OC，根据切线性质可得：∠OBE＝∠OBF，∠BOE＝∠BOF，∠OCF＝∠OCG，∠COF＝∠COG，直径EG⊥AB，半径OF⊥BC，直径EG⊥CD，结合∠EBF＝2∠OPC，可得∠COF＝∠OPC，推出CP＝CO，利用三角函数定义可得sin∠OPE＝＝，即∠OPE＝30°＝∠BOE，进而可得OE＝OF＝OG＝，再利用解直角三角形求得CG＝3，即可得出S四边形CFOG＝S△COF+S△COG＝3，再运用扇形面积公式求得S扇形OFG＝＝π，利用S阴影＝S四边形CFOG﹣S扇形OFG，即可求得答案；
（2）如图2，连接OB，OC，过点B作BH⊥DC于点H，交OF于点P，设CF＝CG＝x，由四边形BEGH是矩形，可得：BH＝EG＝2OE＝4，GH＝BE＝1，CH＝CG﹣GH＝x﹣1，利用勾股定理可得：CH＝4﹣1＝3，BC＝x+1＝4+1＝5，再由△PBF∽△CBH，△MOG∽△MPB，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，

∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBE＝∠OBF，∠BOE＝∠BOF，∠OCF＝∠OCG，∠COF＝∠COG，
直径EG⊥AB，半径OF⊥BC，直径EG⊥CD，
∴AB∥CD，∠OBE+∠BOE＝90°，∠OBF+∠BOF＝90°，∠OCF+∠COF＝90°，∠OCG+∠COG＝90°，
∵∠BOE+∠BOF+∠COF+∠COG＝180°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠COF＝∠COG，
∴∠EBF＝2∠OBF＝2∠COF，
∵∠EBF＝2∠OPC，
∴∠COF＝∠OPC，
∴CP＝CO，
∵OF⊥BC，
∴OP＝2OF＝2OE，
∴sin∠OPE＝＝，
∴∠OPE＝30°，
∴∠POE＝60°，
∴∠BOE＝30°，
在Rt△OBE中，＝tan∠BOE，
∴OE＝＝＝，
∴OF＝OG＝，
∵∠COF+∠COG＝∠FOG＝180°﹣60°＝120°，∠COF＝∠COG，
∴∠COF＝∠COG＝60°，
在Rt△COG中，tan∠COG＝，
∴CG＝OG•tan∠COG＝tan60°＝3，
∴S△COG＝OG•CG＝××3＝，
在△COF和△COG中，
，
∴△COF≌△COG（ASA），
∴S△COF＝S△COG＝，
∴S四边形CFOG＝S△COF+S△COG＝+＝3，
∵S扇形OFG＝＝π，
∴S阴影＝S四边形CFOG﹣S扇形OFG＝3﹣π；
（2）如图2，连接OB，OC，过点B作BH⊥DC于点H，交OF于点P，
则∠BHG＝∠BHC＝90°，

由（1）知：∠OEB＝∠OFB＝∠OFC＝∠OGC＝90°，OE＝OF＝OG，
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴BE＝BF＝1，CF＝CG，
设CF＝CG＝x，
∵∠GEB＝∠EGH＝∠BHG＝90°，
∴四边形BEGH是矩形，
∴BH＝EG＝2OE＝4，GH＝BE＝1，
∴CH＝CG﹣GH＝x﹣1，
在Rt△BHC中，BH2+CH2＝BC2，
∴42+（x﹣1）2＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴CH＝4﹣1＝3，BC＝x+1＝4+1＝5，
∵∠PFB＝∠BHC＝90°，∠PBF＝∠CBH，
∴△PBF∽△CBH，
∴＝，
∴BP＝＝＝，
∵EG∥BH，
∴∠MOG＝∠MPB，∠MGO＝∠MBP，
∴△MOG∽△MPB，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了圆的性质，切线的性质，切线长定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，涉及知识点较多，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．

考点卡片
1．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
2．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
3．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
8．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
9．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
19．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
25．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

26．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
27．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
28．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
29．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
30．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
31．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
32．圆的综合题
圆的综合题．
33．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
37．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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