2022-2023学年湖南省常德市高三下学期二模数学试题含解析

  2023年湖南省常德市高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位

3. 已知向量、满足，且，，则向量与夹角为（    ）

A  B.  C.  D.

4. 某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则焦点在轴上的椭圆的离心率的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知是周期为奇函数，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法不正确的是（    ）

A. 回归分析中，的值越大，说明残差平方和越小

B. 若一组观测、、满足，若恒为，则

C. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

D. 画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

8. 已知A，B，C，D，E为抛物线上不同的五点，抛物线焦点为F，满足，则（    ）

A. 5 B. 10 C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知圆：与圆：外切，则的值可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题中为真命题的是（    ）

A. “”的充要条件是“”

B. “”是“”的既不充分也不必要条件

C. 命题“，”否定是“，”

D. “，”是“”的充分条件

11. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题中正确的是（ ）

A. 若则 B. 若则

C. 若，则 D. 若则

12. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（    ）

A. 数列是公比为的等比数列 B.

C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前项和

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知为曲线在处的切线，当直线与坐标轴围成的三角形面积为时，实数的值为______.

14. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有_____种．

15. 已知函数.如果存在实数使函数，在处取得最小值，则实数的最大值为__．

16. 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，，，边中线.

（1）求的值；

（2）求的面积．

18. 已知数列的前项和为，且满足

（1）的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19. 某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有，，三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

（1）从这人中随机抽取人，求这人恰好来自同一班级的概率；

（2）从这名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选，两款软件学习的概率都是，且他们选择，，任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件的人数为，求的分布列和数学期望．

20. 已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；

（2）在（1）条件下，如果，求的面积；

（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

21. 已知函数．

（1）若在处取极值，求在点处的切线方程；

（2）当时，若有唯一的零点，求

注表示不超过的最大整数，如

参考数据：