2023届广西南宁市高三二模数学（理）试题含解析

2023届广西南宁市高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则z的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】计算得到，得到答案.

【详解】，虚部为.

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据根号下大于等于0求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意得，解得，故，

因为，

故.

故选：B.

3．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）

A．支出最高值与支出最低值的比是6：1

B．利润最高的月份是2月份

C．第三季度平均收入为50万元

D．1~2月份的支出的变化率与10~11月份的支出的变化率相同

【答案】B

【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.

【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是，A选项正确；

2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；

7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C选项正确；

1~2月份的支出变化率为 ，10~11月份的支出变化率为 ，故变化率相同，故选项D正确.

故选：B

4．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据倍角公式，把题中等式转化为，解得后，再由二倍角公式计算.

【详解】由得，

化简得：，

解得或，

因为，所以.

.

.

故选：B.

5．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据正视图，想象它可能是什么组合体，然后再确定俯视图的可能形状．

【详解】由正视图，如果原几何体上面是一个球，下面是一个圆柱，则俯视图是A；

如果原几何体上面是一个球，下面是一个正方体或底面是正方形的长方体，则俯视图是B，

如果原几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体，则俯视图是D，

只有C不可能，（如果俯视图是C，则正视图不能仅仅是长方形（或正方形），中间还应有其它虚线）．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查三视图，考查空间想象能力，解题关键是掌握基本几何体的三视图．方法：由正视图想象可能是什么组合体，再想象其俯视图的可能形状，判断各选项得出结论．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．.

【答案】C

【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.

【详解】，函数定义域为，

，函数为奇函数，排除BD；

，，故，排除A.

故选：C

7．现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】合理设出事件，利用条件概率公式进行求解.

【详解】设选出的3人中，至少有1个女生为事件，则，

设选出的3人中，有1人是女生，2人是男生为事件，则，

则在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为

故选：A

8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（   ）

A．10m B．30m C． D．

【答案】B

【分析】先根据正弦定理求出，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.

【详解】如图，由题可知：在中，，

，所以．

根据正弦定理得，，

所以，

在中，．

故选：B

9．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得.

【详解】由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，

所以，

因为双曲线的离心率，

所以，，所以双曲线的方程为.

如图：

根据双曲线的定义知

由余弦定理，

得，又因，

得，.

根据椭圆的定义知：，所以，

，所以椭圆的方程为.

故选：A.

10．已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）

A． B． C．b D．4

【答案】D

【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.

【详解】，，，

所以，解得：，，

所以，得，时，，，，

所以是函数的极小值点，.

故选：D

11．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　）

A． B． C． D．大小关系不能确定

【答案】B

【分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．

【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，

于是此点取自阴影部分的概率为．

又，故．

故选B．

【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．

12．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论．

【详解】因为，所以，所以，，可得.

构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，，

所以，可知，即，

又，，又，所以，

设函数，则，

当时，，在上单调递减，

则，可知，所以.

综上，.

故选：D．

【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法：

（1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较；

（2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较；

（3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小．

二、填空题

13．已知向量，，且满足，则_______.

【答案】4

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】由已知，又，

所以，．

故答案为：4.

14．已知圆和直线，则与直线l平行且与圆C相切的直线方程为_______.

【答案】或

【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式求解作答.

【详解】圆的圆心，半径，

依题意，设所求直线的方程为：，由于该直线与圆C相切，

因此，解得或，

所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为或.

故答案为：或

15．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为_______.

【答案】

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.

【详解】取的中点，连接，

因为，所以且，

故，

因为，所以，

故，

在上取点，使得，则点为等边的中心，则，

设点为三棱锥的外接球球心，则平面，

连接，设外接球半径为，则，

过点作⊥，交延长线于点，则，

由于在平面中，故，故平面，

过点作⊥于点，则，

，，，

故，设，则，

由勾股定理得，，

故，解得，

故，

故该“鞠”的表面积为.

故答案为：

16．已知当时，有，若对任意的都有，则______.

【答案】228

【分析】由得到，则可把化为，由为展开式中的系数即可求出.

【详解】当时，有，

所以，

则，

则为展开式中的系数，

因为，所以.

故答案为：228

三、解答题

17．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；

（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.

【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，

因为，，成等差数列，则，即②，

因为，所以由②式可得，解得或（舍），

代入①式可得，

（2）由得，

则③，

所以④

③④得

18．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（l）由线线平行或面面平行证明线面平行；

（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决.

【详解】（1）.

解法一

证明：取中点E，连接和.

C为中点，且，

且，且，

四边形为平行四边形，则，

面，面，面.

解法二：

如图所示，取的中点Q，连接，，

在，C为中点，Q为中点，，

平面， 平面，平面，

在四边形中，，，Q为中点，

，，

四边形为平行四边形，，

平面， 平面，平面

又，平面，平面平面，

由平面，平面

（2）解法一：

取中点O，连接，则等边中.

面面，面面，面，

面，面，可得.

又，，面，面，

以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，

，，，，，

设，则，

，

依题意可得平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，令，则，

即，

二面角为，则，

，（舍），

，则.

解法二：

取中点O，连接，则等边中.

面面，面面，面，

面，面，可得.

又，，面，面

取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

，，，

由已知是平面的一个法向量，记为，

假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且，

设，有，，

，，，即，，

设平面的一个法向量为，

则， 取，

由已知得，

整理得，即化简得，

解得，（舍去），

线段上存在点F，当时，已知条件成立，

则有， ，.

求平面的一个法向量的另一种解法：

，

平面的一个法向量可取

解法三：几何法

作，

，，，平面，平面，

平面，，

为二面角的平面角,

设，在中，，，

在中，由得，

由已知得，

在直角三角形中，，，

在直角三角形中，，

所以在中，由,得.

19．随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量（单位：万部）统计表.

并计算求得

(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程；

(2)预测2023年该市手机总体出货量.

附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)2.81万部

【分析】（1）根据公式求出，，得到线性回归方程；

（2）代入，估计2023年该市手机总体出货量.

【详解】（1）由题中统计表得，，

，

由题意得，

，

所以y关于x的线性回归方程为

（2）由题意得2023年对应的年份代码，

代入，得，

所以预测2023年该市手机总体出货量为2.81万部.

20．已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线交y轴于M，直线变y轴于N.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)证明：存在定点T，使得，且.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出抛物线方程，然后和直线l联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；

（2）设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点T.

【详解】（1）解法1：将代入抛物线得，.

依题意可设，，直线，

联立直线l与抛物线得：，

则，

由得且，

又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，

且，

综上.

解法2：将代入抛物线得，.

依题意可设，，直线，

由得：，

则解得且

又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，

且，

综上.

（2）设点，，由，，，

则可设，，

，，

故

同理：，

，

直线，

令得，

同理，

，，

，

又，.

所以存在点满足题意.

21．已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；

（2）设，先确定，根据，可得，即，令，，则.令，求导后根据单调性可得，从而得到化简后即可证明.

【详解】（1）解法一：，

令，则.

因有两个极值点，，故有两个零点，

若，则，单调递增，不可能有两个零点，

所以，令得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以

因为有两个零点，所以，则.

又，，

故实数a的取值范围为.

解法二：

由题意知，有两个根，即 ，

设，

即函数与有两个不同交点，

设过点的直线与相切的切点为 ，

，则有 ，

解得：，此时切线斜率为：，

当斜率大于时，与有两个交点，

则, 故有，

故实数a的取值范围为.

解法三：

，

因力有两个极侑点 ，

则有两个零点.

即，

转化为与有2个交点，

时，.

，

当时，，

当时，，

当时，，

在递减，在递增，

要使与有2个交点，即

故实数a的取值范围为.

（2）设，因为，，则，

因为，所以，，

则，取对数得.

令，，则.

令

则，在上单调递增.

则，

则

两边约去后化简整理

得，即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；

（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；

(2)点P在直线l上，射线交曲线C于点R，点Q在射线上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.

【答案】(1)曲线C的极坐标方程，直线l的极坐标方程.

(2)

【分析】（1）把曲线C和直线l的参数方程化为普通方程，再利用，化为极坐标方程.

（2）设点Q的极坐标为，代入，点Q的轨迹方程，化为直角坐标方程即可.

【详解】（1）因为曲线（为参数），消参得曲线C的普通方程为，

因为，，

所以曲线C的极坐标方程为，即；

因为直线（t为参数），消参得普通方程为，

直线l的极坐标方程为.

（2）设点Q的极坐标为，

则，，

代入得，

即，则，

所以点Q轨迹直角坐标方程为.

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)若，则；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由基本不等式证明；

（2）用柯西不等式证明．

【详解】（1），，，

，

当且仅当，时取等号，

，即；

（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，

，

，

，当且仅当时取等号．