2023届陕西省西安市东方中学高三一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省西安市东方中学高三一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别解一元二次不等式与根式型不等式，两个集合取并集即可.

【详解】由题意知，，，

∴

故选：A.

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．125

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算求得复数，即可求得的值.

【详解】解：因为，所以.

故选：B.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用和差公式计算得到答案.

【详解】，

故选：C

4．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）

A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势

B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和

C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大

D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢

【答案】B

【分析】由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误.

【详解】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；

从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，

而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，

故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；

因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，

，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；

2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，

故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.

故选：B

5．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】函数为定义在上的奇函数，则，，计算得到答案.

【详解】函数为定义在上的奇函数，则，，

故

故选：A

6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.

【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，

如图，过作于，

由抛物线的定义可知，所以

则当三点共线时，最小为.

所以的最小值为.

故选：C.

7．已知的内角所对的边分别为，则的面积为（    ）

A． B． C．27 D．36

【答案】C

【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.

【详解】由余弦定理得：

即即，即

所以，又因为，所以

所以的面积为

故选：C

8．如图，在正三棱柱中，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取中点为E，连接，则与所成角就是与所成角.

【详解】如图，取中点为E，连接.又因D为的中点，则，故与所成角就是与所成角.

由题为正三角形，则.又因几何体为正三棱柱，

则，

得，

，.

则在中，，，，得为直角三角形，

则与所成角的余弦值为：.

故选：D.

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以.

故选：A.

10．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象可确定函数解析式，根据三角函数图像的平移变换规律可得，结合为奇函数，可求得，即可确定答案.

【详解】由函数图象可得，函数的最小正周期为,

将代入，可得，

则,因为，故，

所以，由题意可得，

若为奇函数，则,

当时，的值为，无论k取何整数，a的值都不可能为，，，

故选：B

11．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，设正三棱柱边长为，分别求出正三棱柱、水以及剩下的容积，可得出图2中的与正三棱柱的容积的比例，从而可得，再由相似三角形性质可得的比例，从而得出答案.

【详解】设正三棱柱边长为，记水的容积为，该正三棱柱的容积为，则

，，

，

故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为，

即，由,得，又，所以有.

故选：D.

12．已知定义在上的函数，对任意两个不相等的实数满足不等式，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对任意两个不相等的实数，由，得，结合条件构造新函数，说明在上单调递增，从而可得在上恒成立，然后分离参数，求出参数的取值范围即可得最值.

【详解】对任意两个不相等的实数，

满足不等式，

即，

对任意两个不相等的实数恒成立，

令，

则对任意两个不相等的实数，

当时，有

则有在上单调递增，

则在上恒成立，

由，

所以在上恒成立，

因为，所以问题等价于在上恒成立，

即求解在上的最大值，

由，

当时，，此时在上单调递增，

当时，，此时在上单调递减，

所以，

所以，

故实数的最小值为，

故选：B.

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最大值为________．

【答案】

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

若取得最大值，则在轴截距取得最小值，

由图象可知：当过点时，在轴截距最小，

由得：，即，.

故答案为：.

14．已知,则与的夹角为__________．

【答案】

【分析】根据,可求,根据及,可求得,根据向量数量积的计算公式即可求得与夹角的余弦值,进而求得与的夹角.

【详解】解:由题知,

,

,

,

即,

,

,

与的夹角为.

故答案为:

15．已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为________．

【答案】

【分析】先根据方程，得到一个顶点和一条渐近线方程，再由顶点到一条渐近线的距离为实轴长的求解.

【详解】解：双曲线：的一个顶点为（a,0）,一条渐近线方程为，

所以顶点到渐近线的距离为，

即，，

所以，解得，

所以离心率为，

故答案为：

16．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________

【答案】##0.6

【分析】先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过互斥事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被选中的概率.

【详解】6名专家随机选取2人的情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为

故答案为：

三、解答题

17．2022年11月15日9时38分,长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射,大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程.为了解大家是否关注航空航天技术,该平台随机抽取了100名用户进行调查,相关数据如下表.

附：，

(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率;

(2)能否有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关?

【答案】(1)列联表见解析;男性:;女性:

(2)没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关

【分析】(1)根据题意补充完整列联表,依据表中的数据分别进行求解即可;

(2)由列联表,依据公式计算,最后比较临界值,判断结果.

【详解】（1）根据题意补充完整的列联表如下:

由图中表格可知,50名男性用户中关注航空航天技术有35人,50名女性用户中关注航空航天技术有20人,

所以估计男性用户关注航空航天技术的概率为;

估计女性用户关注航空航天技术的概率为.

（2）根据列联表,

,

参考临界值表可知,没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关.

18．已知数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求数列的前项和．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）利用累加法即可求得答案；

（2）由（1）的结果可得,从而求得，即而得的表达式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意数列满足，

则

.

（2）由（1）可得，

故，

所以，

故.

19．已知函数．

(1)求在上的极值；

(2)若过点作曲线的切线，求切线方程．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，根据单调性确定极值点后即可求得极值；

（2）设切点为，利用导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程，代入切点坐标即可构造方程求得的值，进而得到切线方程.

【详解】（1），

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为，无极大值.

（2）设切点坐标为，

由（1）知：，，

切线方程为：，，即，解得：，

切线方程为：，即.

20．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，，分别是棱，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有∥，故而得证；

(2) 过点作于，连接，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.

【详解】（1）取的中点，连接，，

因为，分别是棱，的中点，

则∥∥，，

四边形为平行四边形， ，

平面，平面，

∥平面；

（2）在平面中过点作于，连接，

平面平面，平面平面，

平面，

又因为，

所以,,

因为点为的中点，，

故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

所以,,,

设平面的法向量为，

则有，令，则可得，

所以，

设点到平面的距离为，

则，

即点到平面的距离.

21．已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或,

【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；

（2）根据题意可设直线AC的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，

根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，

结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.

【详解】（1）由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，

解得，所以，所以．

因为椭圆W的离心率，所以．

因为，所以，，故椭圆W的方程为．

（2）由(1)知,由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，

联立方程组消去x并整理得，

所以，，

所以

．

因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，

所以点B到直线AC的距离为2d，

所以．

由，解得所以，

故直线AC的方程为,即或.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若曲线与曲线交于两点，的直角坐标为，求．

【答案】(1)：，：.

(2)

【分析】（1）根据消参法消去参数即可求解的普通方程，根据直角坐标与极坐标之间的互换即可得的直角方程，

（2）根据直线的标准参数方程以及参数的几何意义即可求解.

【详解】（1）由消去得，即，

由得，即

（2）直线经过点，且倾斜角为 ，所以的方程写成标准参数方程为 （为参数），将其代入：得，

设所对应的参数分别为，则 故，

因此，

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论求解不等式即可.

（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】（1）由题知：，

所以，

，

.

综上：，

所以的解集为.

（2），所以.

所以.

所以，

当且仅当，即等号成立.

所以的最小值为.