2023届新疆新和县实验中学高三素养调研第一次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届新疆新和县实验中学高三素养调研第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则的子集个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解对数不等式可求得集合，由交集定义可求得的元素个数，由此可确定子集个数.

【详解】由得：，即，又，

，的子集个数为个.

故选：C.

2．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数几何意义可确定，由复数乘法运算可求得结果.

【详解】对应的点为，对应的点为，即，

.

故选：B.

3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数定义可得，代入解析式求解即可.

【详解】为定义在上的奇函数，.

故选：B.

4．名男生和名女生站一排照相，则名女生互不相邻且都不站两端的站法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】采用插空法，根据分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】第一步：名男生任意站好，共有种站法，共形成个空；

第二步：左右两侧的空不能站人，则有个空可插入名女生，即可保证女生互不相邻，共有种站法；

名女生互不相邻且都不站两端的站法有种.

故选：B.

5．已知焦点在轴上的双曲线，焦距长为，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的倍，则双曲线的实轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据焦距可得；由双曲线渐近线倾斜角互补可求得渐近线斜率，结合双曲线关系可求得的值，进而得到实轴长.

【详解】由题意可设双曲线方程为：，

双曲线焦距，；

设倾斜角较小的渐近线的倾斜角为，

双曲线两条渐近线的倾斜角互补，，解得：，，

，，解得：，实轴长.

故选：A.

6．已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】D

【分析】取，，的中点，，，可得，，，由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，从而求出截面是六边形.

【详解】如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，.

，.

同理可得，.

由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，

所以平面截正方体所得的截面是六边形.

故选：D.

7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（    ）

A．172 B．183 C．191 D．211

【答案】C

【分析】由题意列出数列递推式，利用累加法求得数列通项公式，即可求得答案.

【详解】设该数列为，则，

故

，

也适合该式，

故第18项为，

故选：C

8．长方体中，棱，且其外接球的体积为，则此长方体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由球的体积可求得外接球的半径，由此可构造方程求得，结合棱柱体积公式和基本不等式可求得结果.

【详解】

设，，长方体外接球半径为，

长方体外接球体积为，，解得：，

，解得：，

长方体体积（当且仅当时取等号），

长方体体积的最大值为.

故选：B.

9．已知函数的部分图象如图所示，则满足的正整数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据图象可求得的解析式，进而将所求不等式化为，结合正弦函数性质可求得的范围，进而确定最小正整数的取值.

【详解】由图象可得：的最小正周期，，

，，解得：，

又，，，

，，

则，或；

令，即，

，解得：，

此时最小正整数；

令，即，

，解得：，

此时最小正整数；

综上所述：正整数的最小值为.

故选：B.

10．若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为判断各选项中的函数的值域是否是其导函数值域的子集，由此依次求解各选项中函数和其导函数的值域即可.

【详解】若对，，使得成立，则的值域是值域的子集；

对于A，由二次函数性质知：的值域为；

，的值域为，则，A满足性质；

对于B，，的值域为；

，又，的值域为，

则，B满足性质；

对于C，，的值域为；

，的值域为；

则的值域不是值域的子集，C不满足性质；

对于D，，的值域为；

，的值域为，则，D满足性质.

故选：C.

11．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得点坐标和点坐标，确定，的值，由此可构造方程组求得，进而得到离心率.

【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

由题意知：，，，，

则直线，即，

设，则，

点到直线的距离，解得：，

，即；

设直线，即，

点到直线的距离，解得：或，

又直线，，即直线，

令，解得：，即，

，即；

由得：，椭圆离心率.

故选：D.

12．设函数，，，．记，，则，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．，的大小无法确定

【答案】A

【分析】判断函数和的单调性，结合数列的单调性，化简，关系式，去绝对值，然后将值代入函数解析式计算，的值，比较大小即可.

【详解】因为函数在上单调递增，

数列为单调递增数列，

所以

所以.

令，则，因为函数在上单调递增，

在上单调递减，函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以

因为，所以

所以.

故选：A

【点睛】关键点睛：求解本题的关键是利用函数和的单调性与数列的单调性，对化简、去绝对值，然后再代值计算.

二、填空题

13．若实数满足约束条件则的最大值是___________.

【答案】

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时在上的截距最大，

此时目标函数取得最大值，此时，

所以目标函数的最大值为，

故答案为：4

14．已知向量，，若与共线且方向相反，则__________．

【答案】##

【分析】根据向量共线且方向相反可构造方程求得，利用向量模长的坐标运算可求得结果.

【详解】共线，，解得：或；

又方向相反，，即，，，

，.

故答案为：.

15．某医药厂对一台口罩机生产的口罩标准尺寸进行统计，发现口罩的尺寸误差近似服从正态分布（误差单位：），已知尺寸误差的绝对值在内的口罩都是合格口罩．若该口罩机在某一天共生产了15000个口罩，则其中合格的口罩总数约为__________．

附：随机变量服从正态分布，则，．

【答案】

【分析】计算出的概率，再乘以即可得解.

【详解】由已知条件可得，，，

因此，合格的零件总数为.

故答案为：.

16．在如图所示的平面四边形中，，，记，的面积分别为，则的最大值为__________．

【答案】

【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公式中，可得，由二次函数性质可求得最大值.

【详解】在中，由余弦定理得：；

在中，由余弦定理得：；

，整理可得：；

，，

，

则当时，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够将所求面积平方和表示为关于变量的二次函数的形式，进而利用二次函数最值的求法来求得最大值.

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得，进而得到；根据通项与前项和之间关系可求得；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由此可解不等式求得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，

；

，

当时，；

当时，，

经检验：满足，.

（2）由（1）得：，

，

由得：，解得：，

使得成立的最小正整数.

18．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；

(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；数学期望

(3)

【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；

（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；

（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.

【详解】（1），.

（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；

则，

若最大，则最大，当时，取得最大值.

19．如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱．

(1)若点在棱上，且，证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）在图乙中，过作，交于，连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用两个法向量所成角的余弦值求得结果.

【详解】（1）证明：在图乙中，过作，交于，连接，

则，∴共面且平面交平面于，

图甲中，∵，，

∴，又为正方形，

，，由，有，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，

∴平面．

（2）由（1），，∴．

由题图知，，，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，

则

令，得，

则，，，

设平面的法向量为，

则

令，得，

，

平面与平面夹角的余弦值为．

20．已知动圆过定点，且与直线相切．

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)过点且斜率为的两条直线分别交曲线于点，点分别是线段的中点，若，求点到直线的距离的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线定义可知所求轨迹为抛物线，进而确定轨迹方程；

（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，进而用表示出点坐标，同理可得点坐标，由此可求得直线方程，整理化简得到直线恒过点，得到所求距离最大值为.

【详解】（1）由题意知：动圆圆心到定点的距离与到直线的距离相等，

动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

动圆圆心的轨迹的方程为：.

（2）设直线，，，

由得：，则，

，，

，同理可得：，

直线，

又，直线，

直线恒过定点，

点到直线距离的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，本题求解点到动直线距离最大值的关键是能够通过求解直线方程，求得直线所经过的定点的坐标，进而确定所求最大值即为点到该定点的距离.

21．已知．

(1)求证：当时，；

(2)若对于，恒成立．

①求的最大值；

②当取最大值肘，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）．

【答案】(1)证明见解析

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）令，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论；

（2）①分离变量得到，令，利用导数可求得单调性，得到，由此可求得的最大值；

②将所证不等式转化为证明在上单调递增，利用导数可求得的单调性，并确定在上恒成立，由此可得结论.

【详解】（1）当时，，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即.

（2）①由题意知：对于，恒成立，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

，，即的最大值为；

②由①得：，

要证对于，，恒有，

只需证：当时，，

即证：

令，

则只需证：在上单调递增；

，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

，，即，

在上恒成立，在上单调递增，

对于，，恒有.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解；本题第二问证明不等式的关键是能够将问题转化为证明函数的单调性的问题，从而利用导数求得函数单调性，使得问题得解.

22．在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)将圆的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若是直线上任意一点，过作的切线，切点为，求四边形面积的最小值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）结合，消去参数，得到圆C的普通方程；结合，代入，得到直线的直角坐标方程．

（2）计算圆心C到该直线的距离，计算四边形AMBC的面积，计算最小值，即可．

【详解】（1）由消去参数得，

即圆的普通方程.

因为，直线的极坐标方程为，

所以的直角坐标方程为.

（2）圆心到直线的距离，

因为点是直线上任意一点，所以，

所以四边形面积

即当时四边形面积取得最小值为.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若对于，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据零点分段法将函数取绝对值，然后分段解不等式即可求解；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，然后解不等式即可求解.

【详解】（1）因为，

由，

得或或，

解得或或，

故所求不等式的解集为.

（2）因为，

当且仅当时等号成立，即或时等号成立，

所以，则的取值范围为或.