2023届新疆新和县实验中学高三素养调研第一次模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届新疆新和县实验中学高三素养调研第一次模拟考试数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集定义进行运算即可.
【详解】∵集合，集合，
∴.
故选：B.
2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可
【详解】因为，
所以
故选：B
3．已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.
【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，
则解得所以．
圆锥的体积
故选：C
4．若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知可推得，即可求出答案.
【详解】由题意可知，，所以.
又，所以，所以.
故选：B.
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以.
故选：D
6．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来构造无理数，，，…，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用锐角三角函数求出，，，，再利用两角和的余弦公式计算可得；
【详解】由图可知，，，，
所以
故选：B
7．如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快
B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长
C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元
D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及
【答案】D
【分析】根据统计图读取相关数据，再逐项判断各选项即可.
【详解】对于A，由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%，
2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%，
2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%，
2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%，
2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%，A正确；
由统计图(1) 2016-2021年，我国R&D经费总量（单位：亿元）依次为，
所以2016-2021年期间，我国R&D经费总量逐年增加，
由统计图(2) 2016-2021年，我国基础研究经费（单位：亿元）依次为
，
所以2016-2021年期间，我国基础研究经费逐年增加，B正确；
所以2016-2021年，我国R&D经费总量的平均值为（亿元），
所以2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元，C正确；
由图(2) 2016-2021年我国基础研究经费的中位数为（亿元），
2016-2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为，D错误；
故选：D.
8．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故选：C.
9．在中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出的值.
【详解】
,,,
则，
，
,
,
,
,
,
,即.
故选：D.
10．若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【详解】，
由导数的几何意义可知，.
故选：A
11．已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出点P的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可.
【详解】设点，显然圆与x轴相离，即点不共线，于是是锐角当且仅当，
而，依题意，，即恒成立，
表示点到原点的距离，又点是圆上任意一点，其圆心为，半径为1，
因此，从而，又，解得，
所以的取值范围为.
故选：B
12．四棱锥中，，其余各条棱长均为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设四边形的半径为，求得和，进而求得，在中，由余弦定理可得，设，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】如图（1）所示，四棱锥中，，其余各条棱长均为1，
所以点在底面内的射影为底面四边形的外接圆的圆心，
即四边形为圆内接四边形，如图（2）所示
根据四边形的对称性，可得为外接圆的直径，所以，
设四边形的半径为，
在直角中，可得，
设，可得，
所以，
可得，
在中，由余弦定理可得，
设，且，
可得，，
则，
设异面直线与直线所成角的范围为，其中，所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：C.

二、填空题
13．若函数为偶函数，则__________.
【答案】2
【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.
【详解】∵函数为偶函数
∴
即
又∵∴
故答案为：
14．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到轴的距离为__________.
【答案】##
【分析】由题意求得直线，得出两点的横坐标关系为：，再由抛物线的定义可得结果.
【详解】易知：抛物线的焦点且准线，
如图所示：设中点为过分别向准线作垂线，垂足分别为，设与y轴交于D，
∴直线，与抛物线方程联立可得,，
由梯形中位线可知：，则.
故答案为：
15．已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值.
【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
16．已知函数，给出以下说法：
①当时，有三个零点：②过的直线与和都相切，则；
③若，则；④的图象的对称中心为．
其中说法正确的有________．（填写所有正确说法的序号）
【答案】③④
【分析】①求导后，通过极大值和极小值的正负情况进行辨析；
②先求出过的切线，再令其与曲线相切即可；
③将极大值与极小值相加求解即可；
④判断是否有成立即可.
【详解】∵，∴，令，解得或，
∴当变化时，，变化如下表，
当时，取极大值，极大值为，
当时，取极小值，极小值为，
对于①，当时，极大值，极小值，
结合的单调性可知，不一定有三个零点（如当时，极小值，没有三个零点），故①错误；
对于②，设过直线与切于点，则，
∴切线方程为，
又∵点在切线上，∴，解得，
∴切线方程为，
由①的判断过程知，当或时，，
即在或处切线斜率为，
∴当或即或时，与相切，故②错误；
对于③，由①的判断过程知，，
∴若，则，，故③正确；
对于④，，
∴，
，
∴，
∴的图象关于点对称，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】易错点睛：在使用导数的几何意义求解切线问题时，需要注意曲线过某点的切线和在某点的切线的区别，过某点的斜线，需要通过设切点进行求解.
三、解答题
17．根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整．其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：
(1)估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？
附：（参考公式：，其中）
【答案】(1)
(2)没有
【分析】（1）利用样本估计总体；
（2）利用独立性检验的方法求解.
【详解】（1）.
（2）
没有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点．
(1)求证：平面PAB；
(2)求点C到平面PMN的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行，证明线面平行.
（2）利用等体积法，即可求点面距离.
【详解】（1）在上取一点E，使得
，，
四边形BCME为平行四边形，
，
又平面，平面PAB，
直线平面PAB；
（2）取AQ的中点T，连接AN，DN，TN
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
因为，，所以，因为，所以
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
．
设点C到平面PMN的距离为d，则
即，解得
19．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；
（2）利用裂项法求和即可.
【详解】（1）
，解得，或（舍）
（2）
20．在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设动点，则的中点，根据坐标转化与直线斜率与坐标的关系，整理运算即可得动点的轨迹的方程；
（2）设直线，设，联立直线与椭圆方程即可得交点坐标关系，再根据垂直平分线与轴交于点的横坐标得的范围，从而可求弦长的取值范围.
【详解】（1）设动点，则的中点，所以
则，依题意，，
整理得，又，
故动点的轨迹方程为；
（2）设直线，设，
联立直线与椭圆方程，得，
则恒成立，
所以由韦达定理可得，
可得的中点的纵坐标
的中点为，
线段的垂直平分线方程为，
，由已知条件得：，解得，
，
，，所以.
21．设函数．
(1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数在其定义域内单调递增得，得导函数大于等于0恒成立，参变分离得，求出函数的最小值即可求解；
（2）由化简得，要证，
只需证，构造函数，对求导，得到的单调性，根据函数最值符号即可证明.
【详解】（1）依题意：，
在上递增，对恒成立，
即对恒成立，只需
，，当且仅当时取等号，，
的取值范围是；
（2）证明：由己知得，即，
两式相减得：，即，
由，得
，
令，则令，
则，是上的减函数，，
所以，又，，.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.
(1)求直线和曲线的普通方程；
(2)设点，若直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线的参数方程消去参数,能求出直线的普通方程；曲线的极坐标根据，由此能求出曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标系方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数）.
则消得，所以直线普通方程为.
因为，所以曲线普通方程为；
（2）将直线的参数方程代入得：,
∵,异号，
.
23．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，都有，求正整数的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况即可求解；
（2）利用绝对值三角不等式转化为，接着解不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，
∴当时，不等式化为，即；
当时，不等式化为，此时不等式解集为；
当时，不等式化为，即；
综上，当时，求不等式的解集为；
（2）∵，
∴转化为，解得或
∴正整数最小值3.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
性别
接种情况
男
女
未接种
20
10
已接种
230
240