2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三下学期4月月考数学试题含答案

  杭州二中2022学年第二学期高三年级4月月考

数学  试题卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则

A． B． C． D．

2．已知平面、，直线，满足，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．某公司在年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为

则当关于的表达式取到最小值时，

A．5       B．13     C．8059     D．8077

4．已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为

A． B．  C． D．

5．已知等比数列公比不为1，为其前项和，满足，则下列等式成立的是

A． B． C． D．

6．已知复数满足且有，则

A．     B．         C．    D．

7．设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）．关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为

A．     B．      C．           D．

8．已知，则下列有关的大小关系比较正确的是

A． B． C． D．

二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则

A．与为互斥事件   B．与为对立事件

C．与为互斥事件   D．与为对立事件

10．在二项式的展开式中，下列说法正确的是

A．常数项是  B．各项系数和为 

C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为32

11．若对于一个角，存在角满足，则称为的“伴侣角”。下列有关“伴侣角”的说法正确的是

A．若，则是的“伴侣角”

B．若存在“伴侣角”，则有且仅有一个为其“伴侣角”

C．对任意，必存在为其“伴侣角”

D．若存在“伴侣角”，则

12．当我们将导数的概念及定义推广至方程时，有时会无法解出。为此，数学家提出了一种新的方法，使得对于任意方程，都能够对其中一个变量求导。

例如，对于方程，对求导：

将视作的函数，两边同时对求导，得：，即。

从而解得

下列说法正确的是

A．对于方程

B．对于方程

C．对于方程

D．对于方程

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则   ▲   ．

14．在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有   ▲   种．

15．若,，点在线段（含端点）上移动，则的最小值为   ▲   ．

16．设是定义在上的函数，且有唯一解或无解，且对任意,均有，请写出一个符合条件的   ▲   ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）在锐角△中，角所对的边分别为，

已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求△内切圆半径的取值范围．

18．（本题满分12分）已知数列为等差数列，其中，，前n项和为，

数列满足，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（IⅠ）求证：数列中的任意三项均不能构成等比数列．

19．（本题满分12分）如图，为圆柱的一条母线，且．过点且不与圆柱底面平行的平面与平面垂直，轴与交于点，平面截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面的另一交点为．已知该截线为一椭圆，且和分别为其长轴和短轴，为其中心．为在上底面内的射影．记椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求的取值范围；

（IⅠ）当时，求直线与平面所成的角的正弦值．

20．（本题满分12分）七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型。为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型。有数组和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”。设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数。

 （I）请直接写出的值

 （II）已知

（i）对和进行随机配对，记为“正确配对”的个数。请写出的分布列并求；

（ii）试给出的证明.

21．（本题满分12分）已知抛物线，焦点为。过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：

（i）是与的等比中项；

（ii）平分.

22．（本题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）证明：

（i）；     

（ii）（，且）

数学（一）参考答案

一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C

二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．CD   10．BD   11．ACD   12．BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   14．14   15．  16．或

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】

（Ⅰ）因为，

 故

（Ⅱ）由正弦定理：

 故

因为在锐角△中，所以得，所以．

18．【解析】

（I）因为等差数列满足，，所以，所以，所以，所以

（II）设数列中任意三项，，

则，假设成等比数列，则

即

因为，所以，所以，即，与矛盾，

所以数列中的任意三项均不能构成等比数列．

19．【解析】（i）设上下底面圆的半径为，椭圆短轴，当移至下底面端点时，

，长轴的最大值，所以长轴的取值范围，则，，所以椭圆离心率的取值范围是；

（ii）当离心率时，即，得，

则，即，即点是母线的中点，

如图建立空间直角坐标系，设，则，

,,,,,

,,,设平面的法向量，

则，令，得，，所以，

设直线与平面所成角为，则.

20．【解析】

（I）

（II）(i)

(ii)分三类情况，和全错配

和配对，余下和（或）。余下部分属于n个时的错配，故总共

和配对，且与配对。此时余下部分属于n-1个时的错配，故总共

和配对，且与不配对。此时可将等效为，则余下部分属于n个时的错配，故总共

综上：

21．【解析】

22．【解析】

（I）由题：。故易得

 有极小值，无极大值

（II）（i）要证原式，即证.令

∵  。

∴  时，，即在区间上为增函数。

∴  .原命题得证。      

（ii）解法一：

时，显然成立，假设时若成立

则时，（1），则需证（2）

即证，

由于

即证。显然，时，（2）式证毕

由（1）（2）两式可得时，成立

综上，由数学归纳法：在恒成立

解法二：

由（i）知，对任意的实数，恒成立。

∴  对任意的正整数，，即恒成立。

∴  ，，……，。

∴  。

∴  。

∴  ，且时，。 

又由柯西不等式知，

。

故当，且时，。