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    重庆缙云教育联盟2023年高考第二次诊断性检测 数学试题及答案

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    重庆缙云教育联盟2023年高考第二次诊断性检测 数学试题及答案

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    重 庆 缙 云 教 育 联 盟
    2023年高考第二次诊断性检测
    数学参考答案及评分标准
    1-8AAABDCAC
    【7题解析】已知向量的夹角为60°,,则,所以,所以对任意的、,且,,则,所以,即,设,即在上单调递减,又时,,解得,所以,,在上单调递增;,,在上单调递减,所以.故选:A.
    【8题解析】由,可得,两边同除得:,可设函数,,当时,,故单调递增,当时,,故单调递减,图像如上图所示,因为,,故由可得,所以,整理得得.
    9.ACD10.AB11.AC12.BCD
    【11题解析】对于A中,例如,则,
    可得,所以A错误;对于B中,由,所以,所以,所以,所以B正确;对于C中,因为,可得,当时,可得,即函数的值域为,所以集合的子集个数为,所以C正确;对于D中,设,若,可得,所以,,则,所以的周期为,又当时,可得,此时;,此时;
    ,此时;,此时,所以,结合周期为,即恒为,所以D正确.
    【12题解析】结合特例,可判定A错误;结合,可判定B正确;结合正弦、余弦函数的值域,得到的值域为,可判定C正确;设,得到的周期为,证得恒为,可判定D正确.
    13.45
    14.
    15.
    16.
    【15题解析】由,①得,即,②
    得:,所以,令,则,所以.
    【16题解析】作出的可行域,如图所示,该区域为一个等腰三角形,其中轴上的格点有个,轴上的格点有个,则坐标轴上的格点有个,在第一象限内,直线上的点,由格点的定义,设,则,故第一象限内,时,格点有个,设,则由可行域,已经格点的定义可知,第一象限内,时,格点有个,所以第一象限内的格点一共有,根据可行域的对称性可知,第四象限的格点数也为,故可行域内格点数 又∵,,即
    17. (1)由题可知,等额本金还货方式中,每月的还贷额构成一个等差数列,表示数列的前项和.
    则,故.
    故王先生该笔贷款的总利息为:1290000-1000000=290000元.
    (2)设王先生每月还货额为元,则有

    即,
    故.
    因为,故王先生该笔贷款能够获批.
    18. (1)由题意知 ,
    故,
    所以 ,
    所以线性回归方程为: ,
    所以,估计时,.
    (2)由题意知:,,,,
    则X的取值可能为,
    记“含红球的行数为k”为事件,记“每列都有白球”为事件B,
    所以 ,


    所以X的分布列为:
    所以数学期望为.
    (3)证明:因为每一列至少一个红球的概率为 ,
    记“不是每一列都至少一个红球”为事件A,所以,
    记“每一行都至少一个白球”为事件B,所以,
    显然, ,所以 ,
    即,所以.
    19. (1)由题意得,,则的最大值为;
    (2)由题意知,,
    整理得,
    即,则,解得;
    (3)由题意得,

    又,则,当时,取得最大值,
    则,整理得,即,解得,
    又,则,取即满足题意,则(答案不唯一).
    20. (1)由题意,,当直线斜率不存在时,,,所以,不符合题意.当直线斜率存在时,设直线为,,,
    联立,得,所以
    所以,解得,直线的方程为
    (2)抛物线的准线为,与轴交于点
    设点,由题意,则,
    化简得,方程表示一条除去了两点的抛物线.
    21. (1)如图,连接.因为在圆台中,上、下底面直径分别为,且,所以为圆台母线且交于一点P,所以四点共面.在圆台中,平面平面,由平面平面,平面平面,得.又,所以,所以,即为中点.在中,又M为的中点,所以.因为平面,平面,所以平面;
    (2)以为坐标原点,分别为轴,过O且垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以.则.因为,所以.所以,所以.设平面的法向量为,所以,所以,令,则,所以,又,设平面的法向量为,所以,所以,令,则,所以,所以.设二面角的大小为,则,所以.所以二面角的正弦值为.
    .
    22. (1)由题易知,,
    ①当,函数定义域为,
    ,不合题意,舍去;
    ②当,函数定义域为,由,解得,
    当,,即在区间单调递增,
    当,,即在区间单调递减,
    ,即,
    设函数,,
    ,即在单调递增,
    又因为,故时,成立,即成立,
    故的取值范围是.
    (2)当,,
    设函数,,,
    易知,,单调递增,
    ,,单调递减,
    不妨令,
    由,即,
    又因为,,
    故,即,
    由函数单调性可知,方程至多有两解,
    故不妨令,,两式相减得,
    由,得,
    故,问题得证.
    0
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