湖南省永州市2023届高考第三次适应性考试数学试题（含答案）

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永州市2023年高考第三次适应性考试试卷数学命题人：陈全伟（东安一中）  刘魁（永州四中）刘广奇（祁阳一中）  蒋昌龙（道县一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则复数的虚部为A.   B.   C.   D.2.设集合，，则的元素个数是A.1   B.2   C.3   D.43.已知，，则A.   B.   C.0   D.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为A.-1   B.-2   C.1   D.25.在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为A.种   B.种   C.种   D.种6.若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是A.   B.   C.   D.7.已知正项数列满足，，其前200项和为，则A.   B.C.   D.8.已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为A.   B.   C.   D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知，下列命题为真命题的是A.若，则   B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则A.线段MN的长度为1      B.周长的最小值为C.的余弦值的取值范围为  D.直线FG与直线CD互为异面直线11.已知抛物线：的焦点为F，直线与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是A.若，则直线的倾斜角为B.点M到准线距离为C.若直线经过焦点F且，则D.若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为12.若，时，函数（是实常数）有奇数个零点，记为，且，则A.的最小正周期是B.的对称轴方程为C.D.对任意的，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列，其前项和为，若，，则________.14.现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.15.已知双曲线：，圆：与x轴交于A、B两点，M、N是圆О与双曲线在x轴上方的两个交点，点A、M在y轴的同侧，且AM交BN于点C.若，则双曲线的离心率为_________.16.在棱长为1的正方体中，动点Р在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点Q到点Р到的距离记为PQ，当平面PAD与平面，夹角的正切值为时，则PQ的最大值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）记正项数列的前项积为，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）记，求数列的前项和.18.（本题满分12分）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c且.（1）求C的值；（2）若AB边上的点M满足，，，求的周长.19.（本题满分12分）已知底面为菱形的平行六面体中，，四边形为正方形，交于点M.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.20.（本题满分12分）为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）男性女性（1）当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性剔采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2〉定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题：（i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；（ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车?附：0.10.0250.0052.7065.0247.87921.（本题满分12分）已知椭圆：，其右焦点为F，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点，，.（1）求证：为定值.（2）若点Р不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点О的对称点，试求面积的最小值.22.（本题满分12分）已知函数，.（1）若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.（2）英国数学家泰勒发现了如下公式：这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知，利用上述知识，试求的值.永州市2023年高考第三次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案BCBDABCA二、多项选择题题号9101112答案BDABACDBC三、填空题13．4或16   14．0.0315   15．   16．部分小题答案:7.解析：令，则可得，故，将两边倒数得，所以为递减数列. 所以.可得，所以，所以，所以，根据等比数列求和公式得，综上，8.解析：两边同时除以得，令，原不等式等价于：，设，，对求导并画出函数图像，当直线与曲线相切时，解得，选D11.解析：A选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点.当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，A正确；B选项，当直线不经过焦点时，设，，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知：，即，B不正确；C选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以 ，解得：，C正确；D选项，设，过点作准线于点，过点作准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，D正确；故选：ACD12.解析：由题设，所以，故，A选项由的最小正周期为，知的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A不正确；对于，令，则对称轴方程为且，B正确；由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、、、，，，，所以C正确.对任意有，，且满足且，而的图象如下：所以，即，D错误；故选：BC16.解析：设，连接，，且，所以平面，设正方体的棱长为1，则可知为棱长为的正四面体，所以为等边三角形的中心，由题可得，得，所以，又与平面所成角为，则，可求得，即在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，由平面，又平面，平面平面，且两个平面的交线为AO，把两个平面抽象出来，如图：作于点，过点作交AD于N点，连接，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，，又，MN与PM为平面PMN中两相交直线，故平面PMN，平面PMN，，为二面角的平面角，即为角，设，当M与点不重合时，在中，可得，若M与点重合时，即当时，可求得，也符合上式，故，，，，解得：，再取的中点，连接，在和中利用勾股定理得所以PQ的最大值为四、解答题17．（本题满分10分）解：（1）证明：由题意得，因为，所以，.即，所以．当时，，所以，解得，故是以5为首项，4为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，所以18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理得：在三角形中，，  （2），由余弦定理得则①又由于  则②①×7=②即  亦即则或当时，代入①得，周长当时，代入①得，周长19．（本题满分12分）解：（1）连接交于点O，连接OM四边形为菱形，为中点，四边形为正方形，平面 平面（2）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，得，．，，由（1）知，平面平面，，是等边三角形点M作NH垂直OC于点H，在中，，，可得CM边上的高为，由等面积法可得OC边上的高，由勾股定理可得，故，，，，设平面的法向量为，则，即，取，平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的余弦值20．（本题满分12分）解：（1）当=0时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.由题意可知，X的可能取值为1，2，3.X的分布列如下表X123（2）（i）零假设为：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当=0时，，，∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.（ii）由题意可知，整理得，，所以的最大值为4，又，至少有76名男性购买新能源汽车21．（本题满分12分）解：（1）证明：如图所示，设.由，得.又点在椭圆上，故整理得由，同理可得由于不重合，即因此的两个根，所以为定值.（2）直线的方程为即将代入得于是，从而若点不在椭圆的内部，则，即，所以的最小值为，故面积的最小值为.22．（本题满分12分）解：（1）由题意得：，因为为函数的极值点，所以，，知：，，，（i）当时，由，，，，得，所以在上单调递减，，所以在区间上不存在零点；（ii）当时，设，则.①若，令，则，所以在上单调递减，因为，，所以存在，满足，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；②若，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，又因为，所以，在上单调递减；③若，则，在上单调递减.由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，因为，，所以存在使得，所以，当时，，在上单调递增，，当时，，在上单调递减，因为，，所以在区间上有且只有一个零点.综上，在区间上的零点个数为个；（2）因为，（*）对，两边求导得：，，所以，（**）比较（*）（**）式中的系数，得所以.