浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
展开2022学年第二学期台州八校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A.22 B.24 C.66 D.68
3.已知随机变量X的分布列如下表，若，则（ ）
X | 3 | a |
P | b |
A.4 B.5 C.6 D.7
4.一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A.540种 B.180种 C.360种 D.630种
6.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C.1 D.4
7.设常数，展开式中的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在的展开式中，下列结论正确的有（ ）
A.二项式系数之和为64 B.所有项的系数之和为1
C.常数项为160 D.所有项系数的绝对值之和为729
10.已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件A包含78个样本点 B.
C. D.
12.对于三次函数，给出定义，设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则（ ）
A.一定有两个极值点
B.函数在R上单调递增
C.过点可以作曲线的2条切线
D.当时，
非选择题部分
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________.
14.函数的单调递减区间为___________.
15.如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成___________个无重复数字的凹数.
16.已知函数，对值成立，则实数m的取值范围为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
（Ⅰ）求方程中x的值（其中）：；
（Ⅱ）已知，求的值.
18.（本题满分12分）
已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求在区间上的单调区间和最值.
19.（本题满分12分）
有4名男生、3名女生，全体排成一行，间下列情形各有多少种不同的排法：
（Ⅰ）甲、乙两人必须排在两端；
（Ⅱ）男女相同；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
20.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若恰有两个零点，求a的取值范围.
21.（本题满分12分）
某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛，每个班级有5名选手，现分别从两个班级的5名选手中各随机抽取3人回答这道问题.已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人答题都相互独立.
（Ⅰ）求从甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；
（Ⅱ）设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求k的最大值.
2022学年第二学期台州八校联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1-8 BACD ADBD
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ABD 10.BD 11.AB 12.BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15.40 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
解（Ⅰ）因为，所以，解得.
（Ⅱ）令，则令，得则
18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）则所以.
（Ⅱ）令，或（舍去）
当x变化时，，的变化情况如下：
x | 0 | 2 | |||
| - | 0 | + |
| |
0 | 单调递减 | 单调递增 | 18 |
，.
19.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）先排甲、乙，再排其余5人，
根据分步计数原理，共有种排法.
（Ⅱ）先排4名男生有种方法，
再将3名女生插在男生形成的3个空上有种方法，根据分步计数原理，共有种排法.
（Ⅲ）法一：7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法.
法二：先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置就坐有，再排甲、乙、丙有1种，则共有种排法
20.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，
当时，，则，
，则
又，即切点为，
∴所求切线方程为.
（Ⅱ）
，令，得，
在单调递减，在单调递增，
有两个零点，，即
综上a的取值范围是.
21.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A，由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目，所以事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为：①甲班1人回答正确，其他5人回答错误；②甲班2人回答正确，其他4人回答错误；③甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误.
因为，
所以.
（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
X | 1 | 2 | 3 |
P |
所以，
因为乙班能正确回答题目的人数，所以，
于是.
又因为，
，得，
所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，故选择甲班代表学校参加比赛更好.
22.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为
令，得；令，得；
所以的递增区间为，的递减区间为.
所以当时，函数取极小值，极小值为，无极大值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立.
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增.
因为，，
所以方程在上存在唯一实根，
当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以.
故整数k的最大值是3.
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