专题03 《边角边判定三角形全等》重难点题型分类（原卷版+解析版）-【黑马逆袭必刷题】2022-2023学年八年级数学上册拔尖题精选精练（苏科版）

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专题03 《边角边判定三角形全等》重难点题型分类
专题简介：本份资料专攻《边角边判定三角形全等》中“边角边判定三角形全等的条件”、“边角边求角的度数”、“边角边求线段的长度”、“边角边判定三角形全等的实际应用”、“边角边判定三角形全等的证明题”、“边角边判定三角形全等的探究题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：边角边判定三角形全等的条件
方法点拨：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简写成 边角边(SAS)
1．（2021·河南南阳·八年级期中）如图，∠1＝∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是（       ）

A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠C
C．AB＝AC D．BD＝CD
【答案】C
【分析】本题要判定△ABD≌△ACD，已知∠1＝∠2，AD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件：两边和其夹角对应相等，即可得出答案．
【详解】解： 在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解决本题的关键是已知一边，一角对应相等利用SAS，只能选择角的另一条边，注意公共边的利用．
2．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（　）

A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E
【答案】C
【分析】根据题目中给出的条件，，根据全等三角形的判定定理判定即可．
【详解】解：，，
则可通过，得到，
利用SAS证明△ABC≌△ADE，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：，，，．
3．（2022·四川乐山·八年级期末）如图,已知点A D C F在同一直线上,AB=DE,AD=CF,添加下列条件后,仍不能判断△ABC≌△DEF的是 (     )

A．BC=EF B．∠A=∠EDF C．AB∥DE D．∠BCA=∠F
【答案】D
【分析】首先根据等式的性质可得AC=DF，然后利用SSS、SAS、ASA、AAS进行分析即可．
【详解】∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+DC，
∴AC=DF，
A. 添加BC=EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B. 添加∠A=∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C. 添加AB∥DE可证出∠A=∠EDC,可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D. 添加∠BCA=∠F不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选D.
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
4．（2022年湖北省孝感市中考数学试卷）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．

【答案】或或
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：、、、共四种；直角三角形全等的判定有：、、、、共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
5．（2021·河北保定·七年级期末）如图，要想说明，若以SAS为依据,还需添加的一个条件是____________．

【答案】
【分析】根据三角形相似的判定定理，即可求解．
【详解】由题意知：
若说明，以SAS为依据
根据三角形相似的判定定理，
可知BC=EF．
故答案为BC=EF．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，正确掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
考点2：边角边求角的度数
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度和角的度数，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边（或对应角）间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度或角的度数。这类题目的答题思路是：由两个三角形全等找出对应角及对应边，再利用已知条件，结合对顶角、三角形内角和等的性质求解。
1．（2022·江苏南京·二模）如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（       ）

A．68° B．69° C．71° D．72°
【答案】C
【分析】设，则，根据题意证明，可得，即，解方程即可求解．
【详解】 BD平分，
，
与中，
，
，
，
由，
即，
设，则，
又，
，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（       ）

A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
【详解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
3．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（       ）


A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案．
【详解】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
4．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（     ）

A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理可得∠B=∠C=34°，由△EBP≌△PCF可得∠EPB=∠PFC，再由三角形外角的性质便可解答；
【详解】解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，则∠B=∠C=34°，
△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，
∴△EBP≌△PCF（SAS），
∴∠EPB=∠PFC，
∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，
∴∠EPF=∠C=34°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质；掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．
5．（2021·河南·沁阳市教学研究室八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．

（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）求∠DHF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DHF＝60°．
【分析】（1）首先根据∠ACB＝60°，CE平分∠ACM，得出，即可根据SAS证明△ABC≌△EDC；
（2）首先根据SAS证明△CDG≌△CBF，得出∠CBF＝∠CDG，即可求出∠DHF的度数．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝60°，CE平分∠ACM，
∴，
∴，
∵AC＝CE，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG，
∵∠DFH＝∠BFC，
∴∠DHF＝∠BCF＝60°．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
考点3：边角边求线段的长度
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度。
1．（2022·上海·七年级专题练习）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　）
A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6
【答案】D
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝7．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即：2＜2AD＜12，
1＜AD＜6．
故选：D．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法，要注意掌握．
2．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级期中）如图，已知，，，则A，B两点间的距离（       ）

A．大于200m B．等于200m C．小于200m D．无法确定
【答案】B
【分析】只需要证明△AOB≌△DOC得到AB=CD=200m，即可得到答案．
【详解】解：∵AC=DB，AO=DO，
∴AC-AO=DB-DO，即OB=OC，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD=200m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形测距，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3．（2022·山西太原·一模）“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个风筝框架所需这种材料的总长度．
【详解】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF=C△ABC=24cm．
∵CF=3cm，
∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理.
4．（2021·辽宁盘锦·八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（        ）


A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【分析】在AC上截取AE=AN，连接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根据SAS可证△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根据BM+MN=BM+ME≥BE，可得当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时，BM+MN的值最小，从而求得答案.
【详解】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中，
∵
∴△AEM≌△ANM(SAS)，
∴MN=ME，
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时,BM+MN的值最小，
∵点B到AC的距离为2，
∴BM+MN的最小值是2.
故选：C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等三角形把MN转化成ME是解题的关键.
5．（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．

【答案】##
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，



在和中，

∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2022·广东广州·二模）如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．

【答案】
【分析】先证明∠DBM=∠DCN=90°，如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，再证明△DBM≌△DCH（SAS）， 证明△MDN≌△HDN（SAS），可得MN=HN=BM+CN，从而可得答案．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，   
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=×（180°-120°）=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，


∴∠DCH=90°，
∴∠DBM=∠DCH，
在△DBM和△DCH中，，
∴△DBM≌△DCH（SAS），
∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，
∵∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDN+∠CDH=60°，
∴∠MDN=∠HDN，
在△MDN和△HDN中，，
∴△MDN≌△HDN（SAS），
∴MN=HN=BM+CN，
，，，


即等边三角形的边长为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
7．（2021·江苏泰州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD．以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝2cm，求BE的长．

【答案】（1）见解析，（2）4 cm
【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE；
（2）由全等三角形的性质可求BE＝AD＝4cm．
【详解】（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵DB＝AB＝2 cm，
∴AD＝4cm，
∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝4cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
考点4：边角边判定三角形全等的实际应用
方法点拨：利用“SAS”判定两个三角形全等时，必须满足“两边及其它们的夹角”这一条件，书写的时候，按照“边角边”的顺序书写。注意有两边和其中的一角对应相等的两个三角形不一定全等。
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，这里运用了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的依据是（       ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：在△ACB与△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=CD，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．（2022·海南·陵水黎族自治县教研培训中心八年级期末）在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，，则可判定的依据是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法：边角边判定．
【详解】解：AD，BC相较于点O，对顶角相等，即∠AOB=∠DOC，
在△OAB和△ODC中：
两边及其夹角对应相等，
∴（SAS），
故选：A
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法边角边（SAS），有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；熟记判定方法是解题关键．
3．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，将两根钢条AB、CD的中点O连在一起，使AB、CD可以绕点O自由转动，做成一个测量工件，由此可利用全等三角形的性质，量出AC的长即为内槽宽BD，则判定△OBD≌△OAC的理由是（       ）

A．边边边 B．角边角 C．边角边 D．角角边
【答案】C
【分析】因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．
【详解】解：∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，
∴OA=OB，OD=OC，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△OBD≌△OAC（SAS）．
所以BD的长等于内槽宽AC，
用的是SAS的判定定理．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
4．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（       ）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【分析】由已知有，且对顶角相等，则由SAS可判断，从而问题解决．
【详解】由已知
∵
∴(SAS)
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．
5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据SAS即可证明，由此即可解决问题．
【详解】解：在△ACB和△ACD中，，
∴（SAS），
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
考点5：边角边判定三角形全等的证明题
方法点拨：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。这个判定方式是课本上直接给出的，你可以这么记：同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。
1．（2022·陕西·西安铁一中分校三模）如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：．

【答案】见解析
【分析】由，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，证得∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，又由得到△ABD≌△ACE（SAS），即可得到结论．
【详解】解：∵，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADB＝∠AEC，
∴ AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴ ∠1＝∠2．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．

【答案】详见解析
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．
【详解】证明：∵△是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．
3．（2022·广东·珠海市文园中学三模）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．

【答案】见解析
【分析】直接利用SAS判定△ADC≌△BEC全等即可．
【详解】∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴DC＝EC．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握SAS定理．
4．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD

【答案】见解析
【分析】由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】证明：在△ABD和△ACD 中，

∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．（2022·福建泉州·八年级期末）已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE=AC，BE=DC，求证：∠E=∠C．

【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△ABC≌△ADE即可得出结论．
【详解】证明：∵AE=AC，BE=DC，
∴AB=AD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠E=∠C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
6．（2022·重庆渝北·八年级期中）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：

(1)BG＝DE；
(2)BG⊥DE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证△BCG≌△DCE（SAS），即可得出结论；
（2）设BG交CD于点O，由△BCG≌△DCE，得∠GBC＝∠EDC，又因为∠GBC＋∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，所以∠DOG＋∠EDC＝90°，即可得出结论．
(1)证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE．
(2)证明：设BG交CD于点O，

∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC＋∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG＋∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用证三角形全等来证线段相等是解题的关键．
7．（2022·山西太原·二模）如图，点D和点C在线段BE上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质证（SAS）即可求证；
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴（SAS）．
∴
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图，已知ABCD，E、F是AC上两点，且AF=CE，∠EBA=∠FDC．

(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)若AD=6，CD=4，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABCD的周长为20
【分析】（1）利用已知条件证明AE=CF，利用ABCD证明∠BAE=∠DCF，根据AAS即可证出△ABE≌△CDF；
（2）根据已知和已证条件可证AD=BC，AB=DC，则可求出四边形的周长．
(1)∵ABCD，   
∴∠BAE=∠DCF
∵AF=CE，，     
∴AE=CF     
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF (AAS)；
(2)∵ △ABE≌△CDF
∴ BE=DF且∠AEB=∠CFD
由图可知：∠BEC=180°—∠AEB，∠DFA=180°—∠CFD
∵∠AEB=∠CFD
∴∠BEC=∠DFA
∵△BEC和△DFA中

∴△BEC≌△DFA（SAS）       
∵ △ABE≌△CDF且△BEC≌△DFA
∴AB=CD=4，AD=BC=6，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4+6+4+6=20．
【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练运用SSS、AAS、SAS、ASA等不同方法证明两三角形全等是解题的关键．
考点6：边角边判定三角形全等的探究题
方法点拨：“边角边：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。”
1．（2022·全国·八年级）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析
【分析】（1）根据题意，采用截取等长的方法，在上截，构造，再利用等腰三角形的性质求解；
（2）巧妙利用（1）的结论和方法进行延伸，延长，结合等边三角形的性质，同时构造两个全等三角形，进而找到边长关系．
【详解】

解：（1）方法1：在上截，连接，如图，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴．

方法2：延长到点，使得，连接，如图，
∵平分，
∴．
在和中，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）、、之间的数量关系为：，

如图2所示，延长到点，使，连接，
由（1）可知，
∵，
∴为等边三角形．，，
∵，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形、等边三角形关系与性质，关键是要采用截长补短的方法，添加适当的辅助线构造出全等三角形．
2．（2022·上海·八年级专题练习）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析
(2)∠ACB＝45°
【分析】（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
(1)①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD ；
故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
(2)当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC．

【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
3．（2022·山西运城·八年级期中）（1）问题发现：
如图①，若△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：；

（2）拓展探究：
如图②，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线，上，连接BE，则∠AEB的度数为________；线段BE，AE，DE之间的数量关系是________；


（3）解决问题：
如图③，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）60°，AE=BE+DE；（3）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可推出BD=CE；
（2）利用等边三角形的性质证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，AD=BE，即可得到答案；
（3）由（1）及（2）得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC，AD=BE，利用等腰直角三角形的性质得到∠CDE=∠CED=45°，即可求出∠ADC=∠BEC=135°，根据等腰三角形的性质推出DM=EM=CM，进而得到AE=BE+2CM．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=42°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°，
∵AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE，
故答案为：60°，AE=BE+DE；
（3）由（1）及（2）得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=90°，
∵CM⊥DE，
∴DM=EM，
∴DM=EM=CM，
∵AE=AD+DE，
∴AE=BE+2CM．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握类型题：具有公共顶点的同形状的三角形的全等的判定方法是解题的关键．
4．（2022·湖南永州·八年级期末）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．

(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；
(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；
(3)α=60°，证明见解析
【分析】（1）①由△ACB和△DCE是等边三角形知AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，据此即可得证；
②由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=120°，结合∠CED=60°可得∠AEB=60°；
（2）证△ACD≌△BCE得∠CDA=∠CED=60°，由∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED知∠ADB=60°，根据CM⊥BE，且△CDE为等边三角形可得DE=2DM，DE+BD=BE=AD；
（3）同理知△ACD≌△BCE，据此得∠BEC=∠ADC，继而知∠CDF+∠CEF=180°，即∠ECD+∠DFE=180°，从而得出答案．
(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)解：α=60°，理由如下：
同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点．
5．（2022·河南南阳·八年级期末）（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，点F的对应点为G．
①请在图1中画出△ABG；
②求证△AEF≌△AEG．

（2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠B+∠D=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE和DF三条线段的数量关系如何?请说明理由．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析
【分析】（1）①根据要求作出图形即可；
②根据旋转变换的性质，利用“SAS”即可证明△AEF≌△AEG；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADH，则∠DAH=∠BAE，∠ADH=∠B，AH=AE，证明△AFH≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）①△ABG如图所示：
；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
由旋转可得：BG=DF，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°，
因此，点G，B，E在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2．
∴∠1+∠3=45°，即∠GAE=EAF．
又AG=AF，AE=AE，
∴△AEF≌△AEG(SAS)；
（2）解：EF=BE+DF，理由如下：
证明：如图，由题意得，AB=AD，∠BAD=90°，

把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADH，则∠DAH=∠BAE，∠ADH=∠B，AH=AE，DH=BE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADH+∠ADC=180°，
∴点F、D、H在同一条直线上；
∵∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，
∴∠HAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF=HF=DH+DF=BE+DF，
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．


(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)解：如图1，


∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，


∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)如图3，


由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
7．（2021·湖北·武汉市第六初级中学八年级阶段练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．

(1)求证：△EAF≌△DAF；
(2)如图2，若∠ADF＝x，∠DFE＝y，试探究x，y的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2x+y＝90°，理由见解析
【分析】（1）由AC=BC，∠ACB=90°，得∠CAB=45°，根据平角定义和两角和求出∠EAF=∠DAF=45°，结合已知条件证明△EAF≌△DAF；
（2）根据△EAF≌△DAF，推∠AFE=∠AFD=∠DFE=y，再根据三角形内角和求出x，y的数量关系．
(1)证明：∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵∠EAF＝180°﹣45°＝135°，∠DAF＝90°+45°＝135°，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF与△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS）；
(2)解：x，y的数量关系：2x+y＝90°；
∵△EAF≌△DAF，
∴∠AFE＝∠AFD＝∠DFE，
∵∠ADF＝x，∠DFE＝y，
∴∠AFD＝y，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴x+y+135°＝180°，
∴2x+y＝90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的有关性质，平角定义及三角形内角和的应用在解题中起关键作用．
8．（2022·山东临沂·八年级期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．

(2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线）

(3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）．

(4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由．

【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；
(2)90°；
(3)BC＝BD+BE．证明见详解；
(4)∠EBD＝120°．
【分析】（1）先证出证明∠BAE＝∠CAD，再证△BAE≌△CAD即可；
（2）过点M作MF∥AC交BC于点F，先证MB=MF，再证△BME≌△FMD（SAS），得出∠MBE＝∠MFD=45°即可；
（3）根据△ABC和△ADE是等边三角形，得出∠BAE＝∠CAD，再证△BAE≌△CAD（SAS）即可；
（4）过点M作MG∥AC交BC于点G，如图，易证△BMG是等边三角形，再利用SAS证明△BME≌△GMD，可得∠MBE＝∠MGB＝60°，进而可得结论．
(1)证明：问题初探：BE＝CD．
如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；

(2)解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，
∵，，
∴∠ACB=∠ABC=，
∵MF∥AC，
∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，
∴MB=MF，
∵∠DME＝∠BMF＝90°，
∴∠BME＝∠DMF，
在△BME和△FMD中，
，
∴△BME≌△FMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MFD=45°；
∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．
故答案为：90°；

(3)解：BC＝BD+BE．
如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BC＝BD+CD＝BD+BE；

(4)拓展创新：∠EBD＝120°．
理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，
如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM=GM，
∵∠DME＝∠BMG＝60°，
∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，
∴∠BME＝∠DMG，
在△BME和△GMD中，
，
∴△BME≌△GMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MGB＝60°，
∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形、灵活应用上述知识和类比的思想是解题的关键．