精品解析：湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题

长郡中学2023届高三月考试卷（七）

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A. A=B B.  C.  D.

2. 设、，若（为虚数单位）是一元二次方程一个虚根，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）

A. 72 B. 56 C. 48 D. 36

5. 已知数列满足：.则的前60项的和为（    ）

A. 1240 B. 1830 C. 2520 D. 2760

6. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ）

A. 3 B.  C. 2 D.

8. 若，，，，则a，b，c，d中最大的是（    ）

A. a B. b C. c D. d

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题中，真命题有（    ）

A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5

B. 若随机变量，则

C. 若事件A，B满足且，则A与B独立

D 若随机变量，则

10. 已知是函数的一个零点，则（    ）

A. 在区间单调递减

B. 在区间只有一个极值点

C. 直线是曲线的对称轴

D. 直线是曲线的切线

11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）

A. 直线的斜率为 B.

C.  D.

12. 如图，在棱长为1正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(    )

A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段

B. 存在Q点，使得平面

C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大

D. 若，那么Q点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．

14. 若，则__________，_________．

15. 已知是椭圆的左､右焦点，点P是椭圆上任意一点，以为直径作圆N，直线与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则___________.

16. 在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 记的内角的对边分别为，已知．

（1）证明：；

（2）若，求的周长．

18. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

19. 如图，四面体中，，E为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，点F在上，当面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

20. 浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

（1）用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）

（2）随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?

参考数据：；；；；；.

21. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

22. 已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：

（1）数列是等比数列

（2）若，则对一切，恒成立.