广东省湛江市2023届高三一模数学试题

湛江市2023年普通高考测试（一）

数学

2023.3

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知为虚数单位，若，则实数（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

2. 已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（    ）

A. 16 B. 24 C. 166 D. 180

4. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（    ）

A. 1 B. 4 C. 8 D. 16

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（    ）

A. 13 B. 16 C. 25 D. 51

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

由表中数据制作成如下所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（    ）

A. 平面

B. 与所成的角为30°

C. 平面

D. 平面截正方体的截面面积为

11. 已知，函数，下列选项正确的有（    ）

A. 若的最小正周期，则

B. 当时，函数图象向右平移个单位长度后得到的图象

C. 若在区间上单调递增，则取值范围是

D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

12. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（    ）

A.

B.

C.

D. 若，且，则双曲线C的离心率

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知为等差数列的前项和，若，则______．

14. ______．

15. 若函数存在两个极值点，且，则______．

16. 已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若△ABC的面积为，，求a．

18. 已知，为数列的前n项和，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

19. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，．

（1）证明：点在平面的正投影在直线上；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

20. 某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）

（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．

（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

利用和判断该生产周期否需停止生产并检查设备．

（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．

21. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

22. 已知函数．

（1）证明：函数只有一个零点；

（2）在区间上函数恒成立，求a的取值范围．

湛江市2023年普通高考测试（一）

数学

2023.3

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】AC

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】    ①.     ②. 0

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）．

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）（i）需停止生产并检查设备；（ii），

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）．

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）