赣州市南康区唐江中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

赣州市南康区唐江中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知，则(   )

A. B.1 C. D.0

2、某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处(所有楼道间是连通的)，则最短路程不同的走法为(   )

A.5 B.10 C.15 D.20

3、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为(   )(1丈尺寸)

A.四尺五寸 B.三尺五寸 C.二尺五寸 D.一尺五寸

4、若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a等于(   )

A. B. C. D.2

5、已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则(   )

A.1 B.8 C.4 D.2

6、对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、已知数列满足，，，()则此数列项数最多为(   )

A.2019项 B.2020项 C.2021项 D.2022项

8、已知函数，若有2个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知函数，下列说法正确的有(   )

A.曲线在处的切线方程为

B.过点与曲线相切的直线有且只有2条

C.函数有极小值，无极大值

D.方程有两个不同的解

10、下列判断正确的为(   )

A.从4名男同学和3名女同学中选出2人，则至少有1名女同学的选法有12种

B.如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数(如101，323)，那么由0，1，2，3可以组成14个凹数

C.某会议厅有4个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有12种不同的走法

D.已知a，，则不同取值的个数为54

11、已知数列满足，，，，数列的前n项和为，且对，恒成立，则(   )

A. B.数列为等差数列

C. D.的最大值为225

12、已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为n，m，且，则(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、若五位游客与两位导游站成一排拍照，则两位导游相邻的不同排法数为__________.

14、的展开式中x的一次项系数为____________.

15、设是的展开式中x的一次项的系数，则_________.

16、定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________.

四、解答题

17、已知(m是正实数)的展开式中前3项的二项式系数之和等于37.

(1)求n的值；

(2)若展开式中含项的系数等于112，求m的值.

18、已知是递增的等差数列，且，是方程的两个根；数列的前n项和为，且.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

19、2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.

(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?

(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?

20、已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值和最小值；

(3)设，证明：对任意的，有.

21、在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.

(1)若，，，求，；

(2)设满足的n的最小值为，求及(其中是指不超过x的最大整数，如，)；

(3)是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由.

22、已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若方程的两个实根分别为，(其中)，求证：.

参考答案

1、答案：D

解析：.

故选：D.

2、答案：C

解析：从A到B共需走6步，其中横步(向右)有两步，竖直向上的有4步，

故最短路程的不同走法数为，

故选C.

3、答案：B

解析：从冬至日起，依次构成等差数列，设为，

由题意得：，

解得，

又，

所以，

所以，

所以，

故选：B.

4、答案：C

解析：，，

曲线在点处的切线的斜率，

切线与直线垂直，直线的斜率为，

.

故选：C.

5、答案：B

解析：由已知条件可知，由等差中项的性质可得，解得，则，

由等比中项的性质可得.

故选：B.

6、答案：D

解析：对方程进行转化，因为，

故可得，不妨令，令

则，令，解得，

故函数在上单调递增，故.

又，令，解得或，

故函数在区间和单调递减，在区间单调递增，

在上的最大值为，最小值为，且，，

故在坐标系中画出函数的图像如下：

故要满足题意，只需函数的值域是的子集即可.

故需要满足且，解得.

故选：D.

7、答案：D

解析：由，，得，

，

是以为首项，为公差的等差数列，

，

此数列项数最多为2022.

故选：D.

8、答案：C

解析：可转化为.

设，

由基本不等式得，

当且仅当时，取到最小值0.

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，取到最大值.

若有2个零点，则与有两个交点，

此时，解得，

故选：C.

9、答案：ABC

解析：对于A中，由函数，可得，

可得且，即切线的斜率为且过点，

所以切线方程为，即切线方程为，所以A正确；

对于B中，设过点的切线与曲线相切于点，

可得切线方程为，即，

将点代入切线方程，可得，

整理得，

令，，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以函数的极大值，也为最大值为，

当时，；当时，，

所以在上，函数有两个零点，即方程有两个实根，

所以过点与曲线相切的直线有且只有2条，所以B正确；

对于C中，由，令，解得，

当时，，单调减；

当时，，单调增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，

所以C正确；

对于D中，由C知函数在上单调递减，在单调递增，

且得极小值为，

又由当时，；当时，，

所以函数与的图象只有一个交点，

即方程有两个不同的解，所D错误.

故选：ABC.

10、答案：BD

解析：对于A项，选出的2人中，1男1女的选法有，2名女同学的选法有，所以至少有1名女同学的选法有15种，故A项错误；

对于B项，当时，此时、可取1，2，3中的任意一个，共有个凹数；

当时，此时、可取2，3中的任意一个，共有个凹数；

当时，此时、只可取3，共有1个凹数，

根据分类加法计数原理可知，共有个凹数，故B项正确；

对于C项，由已知可得，不同的走法有，故C项错误；

对于D项，当，时，有，1种结果；

当时，此时，1种结果；

当，，时，根据分步乘法计数原理可知，此时有种情况，

但是，，，，去掉重复的4种情况，剩余52种情况.

根据分类加法计数原理，可知不同取值的个数为，故D项正确.

故选：BD.

11、答案：BD

解析：由，得，又，所以，，，A错误；

，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，B正确；

由B知，所以，，，由累乘法知，又，

满足上式，所以，C错误；

，由，得，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最大值为225，D正确.故选BD.

12、答案：ABD

解析：由题意得，，

，，，

对于A：，因为函数在上单调递增，

，故A正确；

，因为函数在上单调递增，

，故B正确；

由，，，，

，故C错误；

令，则，

当时，，在上单调递增，

因为，则，所以，

，，，故D正确.

故选：ABD.

13、答案：1440

解析：由捆绑法可得两位导游相邻的不同排法数为.

故答案为：1440

14、答案：200

解析：的展开式为：

，

展开式中通项为

即，不存在x的一次项，

展开式中首项为，

令，解得，此时x的一次项系数为120，

同理中不含x的一次项，

在中不含x的一次项，

在中，x的一次项系数为80，

综上，的展开式中x的一次项系数为，

故答案为200.

15、答案：17

解析：令，令，得，的展开式中x的一次项的系数为：.则，又，故上式

.

16、答案：

解析：设，

，又有成立，

函数，即是上的增函数.

，，即，

，

故答案为：.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)，，

解得(舍)，.

(2)的展开式的通项为，

当时是含项，所以，解得.

18、答案：(1)，

(2)

解析：(1)易得方程的两根为3，4，

则由题意，得，，

设等差数列的公差为d，首项为，

则，.从而，.

数列的通项公式为，

，①

当时，，②

①-②得，，

.

由①式，令，有，解得.

是以2为首项，2为公比的等比数列，且.

(2)由题意及(1)得.

，

即，①

，②

①-②得，，

，

.

19、答案：(1)30

(2)133

解析：(1)设选出的4个人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件A，

则满足事件A的情况共有种；

(2)设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选为事件B，

则满足事件B的情况为：

①当选择时，当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

②当不选择时，当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

综上：满足事件B的情况共有种情况.

20、答案：(1)

(2)最小值1，最大值

(3)证明见解析

解析：(1)，，，

在点处的切线方程为.

(2)，

是偶函数，，

则，单调递增，

，，，，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取最小值1，当或时，取最大值.

(3)要证明对任意的，有，

只需证明对任意的，有，

记，

，在上上单调递减，

.即，.

21、答案：(1)，

(2)，

(3)存在，见解析

解析：(1)数列1，2，3，经第1次“和扩充”后得到数列为1，3，2，5，3，

数列1，2，3，经第2次“和扩充”后得到数列为1，4，3，5，2，7，5，8，3，

所以，；

(2)数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经“和扩充”后的项数为，

则经第次“和扩充”后增加的项数为，

所以，所以，

由(1)得，是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，所以，

由，即，解得，即，

所以，

数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列a，，b，，c且，

数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列a，，，，b，，，，c且，

数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列a，，，，，，，，b，，，，，，，，c且，

即；

(3)因为，，，…，，

所以，

，

若使为等比数列，则或，

即或，

综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列为等比数列.

22、答案：(1)的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明见解析

解析：(1)，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减，

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)在上递增，上递减，的两个零点，则，

下面先证明：

要证，只需证，，，只需证，

即证，

设，，

当时，，，

，

，，故，

即在上递增，，即，

故成立，故.

下面证明：

，是方程的解，

设的解为m、n，要证：，即证.

，

时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，故，则.

要证，即证，即，

令，，

设

，

，故，即，即单调递增，

又，，故单调递减，，，

即，，成立，即成立，

综上所述：.