2023长春高三下学期三模试题数学含解析
展开长春市2023届高三质量监测（三）
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，为虚数单位，若为实数，则a＝（ ）
A. -3 B. C. 3 D.
2. 如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.84 B. 0.68 C. 0.34 D. 0.16
4. 如图，在正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
6. 已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 在中，若，则下列论断正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）
A. 直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C. 若四面体在点处离散曲率为，则平面
D. 若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为
11. 定义在上的函数，则（ ）
A. 存在唯一实数，使函数图象关于直线对称
B. 存在实数，使函数为单调函数
C. 任意实数，函数都存在最小值
D. 任意实数，函数都存在两条过原点的切线
12. 已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，，使得
B. 当时，，使
C. 当时，，使得
D. 当时，，
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 若，则__________.
14. 已知单位向量，的夹角为60°，若，则记作．已知向量，，则___________．
15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 ___________ .
16. 将圆分成个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为种，则与的递推关系是______．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，_______________．
（1）求角；
（2）若为边中点，，求的最大值．
18. 如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19. 在正项数列中，，．
（1）求；
（2）证明：．
20. 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
（1）令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
（2）若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
21. 已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
（1）若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
（3）若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
22. 已知函数，是的导函数，且．
（1）求实数的值，并证明函数在处取得极值；
（2）证明在每一个区间都有唯一零点．
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