安徽省安庆市示范高中（新教材）2023届高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

这是一份安徽省安庆市示范高中（新教材）2023届高三下学期4月联考数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省安庆市示范高中（新教材）2023届高三下学期4月联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，，则(   ).A. B. C. D.2、复数z满足，则z的虚部为(   ).A.1 B. C. D.33、立德中学高一(2)班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布，则下列判断错误的是(   ).A.  B.C. D.4、已知，则(   ).A.1 B.1或 C. D.或5、已知函数恒过定点，则的最小值为(   ).A. B. C.3 D.6、对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：单价x/元8.28.48.68.8销量y/件848378m根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为1，则(   ).A.76 B.75 C.74 D.737、已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为(   ).A. B.5 C. D.8、已知，，，则a，b，c的大小关系是(   ).A. B. C. D.二、多项选择题9、已知，其中，且，则下列判断正确的是(   ).A.  B.C.  D.10、已知满足中的a，b分别是等比数列的第2项与第4项，则下列判断正确的是(   ).A. B.C. D.11、在平面直角坐标系中，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，过点P分别作两渐近线的平行线与另一支渐近线交于A，B两点，则下列判断正确的是(   ).A.双曲线的离心率大小为 B.C.  D.四边形的面积是112、如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为边的中点，点F为棱上一动点(异于P、C两点)，则下列判断中正确的是(   ).A.直线与直线互为异面直线B.存在点F，使平面C.存在点F，使得与平面所成角的大小为D.直线与直线所成角的余弦值的最大值为三、填空题13、已知平面向量，满足，，且，的夹角大小为，则在方向上的投影向量的坐标为__________.14、已知焦点坐标为的抛物线上有两点A，B满足，以线段为直径的圆与y轴切于点，则__________.15、三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________.16、已知函数的图象经过点，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x值分别只有一个，则实数的取值范围是__________.四、解答题17、已知数列满足，.(1)请判断数列是否为等比数列并求出数列通项公式；(2)已知，记数列的前n项和为，求证：.18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，，点D为边上一点，且，求的面积大小.19、体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次.已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.(1)求甲同学通过测试的概率；(2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；(3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试.若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？20、如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面.(1)求证：O，P，三点共线；(2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值.21、已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，函数有两个不同的零点，，求证：.22、已知离心率为的椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为、，上顶点为B，且的外接圆半径大小为.(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P、Q两点(P、Q位于x轴的两侧)，记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围.
参考答案1、答案：D解析：由条件知，，所以，故选D.2、答案：B解析：由题意知，于是，其虚部为，故选B.3、答案：C解析：根据正态分布的特点不难得出，C错误.4、答案：B解析：由条件，两边同时平方整理得，解得或，故选B.5、答案：A解析：由题意可知，于是，当且仅当，时，的最小值为，故选A.6、答案：B解析：由条件知当时，，代入，解得，于是，又，所以，即，解得，故选B.7、答案：C解析：将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，根据题意知点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，又，所以点B到点距离的最大值为，故选C.8、答案：D解析：由条件知，，构造函数，，求导得，所以函数在上单调递增，于是，所以；构造函数，求导得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，于是，得到，故选D.9、答案：ACD解析：令，则，于是可得，令，则，①令，则，②①-②，得，解得，A正确；①+②，得，所以，B错误；又，C正确；经计算，D正确.故选ACD.10、答案：BD解析：设，则，，，于是，解得，，，于是A错误，B正确；因，所以，C错误；由条件知等比数列的偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，于是，故D正确.故选BD.11、答案：ACD解析：由条件知，，，双曲线离心率大小为，A正确；设渐近线的倾斜角为，则，于是，B错误；设，则，不妨设，联立，得，同理可得，于是，C正确；由得，所以，又，所以四边形的面积是，D正确.故选ACD.12、答案：ABD解析：假设直线与直线共面，于是E、F、A、P四点共面，则直线与直线共面，与直线、直线互为片面直线矛盾，所以直线与直线互为片面直线，A正确；当时，平面，事实上，过点F作交于点G，连，则，又，则平面平面，于是存在点F，使平面，B正确；以点D为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设，于是，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，令，则，于是，所以，因此不存在点F，使得与平面所成角的大小为，C错误；，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为，D正确.故选ABD.13、答案：解析：根据条件知在方向上的投影向量的坐标为.14、答案：4解析：由条件知，抛物线C的方程为，根据以线段为直径的圆与y轴切于点得，于是，根据知，所以.15、答案：解析：由已知得到是以为斜边的直角三角形，因为，所以点P在平面内的射影是的外心，即斜边的中点，且平面平面，于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径.因为，，所以，于是，根据正弦定理知的外接圆半径R满足，所以三棱锥的外接球半径大小为，因此三棱锥的外接球的表面积为.16、答案：解析：由条件知，于是，又，所以，，当时，因，所以，要满足条件，则，解得；当时，因为，所以，要满足条件，则，解得，综上，实数的取值范围是.17、答案：(1)数列不是等比数列；数列通项公式(2)证明见解析解析：(1)由条件，可得，因，所以数列不是等比数列，于是，所以数列通项公式.(2)由(1)知，于是，则，两式相减得，所以，于是，原不等式得证.18、答案：(1)(2)的面积大小为解析：(1)由正弦定理可得，根据余弦定理得，又，所以.(2)因为，，又，解得，由余弦定理得，于是，因为，所以，在中，由正弦定理得，所以，于是，所以的面积大小为.19、答案：(1)(2)分布列见解析，均值为(3)当时，可以提高甲同学通过测试的概率解析：(1)由条件知甲同学通过测试的概率为.(2)由(1)可知甲同学没有通过测试的概率为，根据题意乙同学通过测试的概率为，所以乙同学没有通过测试的概率为，由出知得，20，40，因，，，于是X02040P所以.(3)由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为；甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为；甲投中3次，其搭档投中与否的概率为，所以甲同学通过测试的概率为，根据题意可知，则，又，所以当时，可以提高甲同学通过测试的概率.20、答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)证明：连交于，连.在平行六面体中，且，所以四边形是平行四边形，且，又O，分别为BD，的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，于是，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为，都经过点O，所以O，P，三点共线.(2)解：由(1)可知，所以.作平面于Q，于E，于F，连，，，则，，由，得，又，所以平面，于是，同理，所以，，所以点Q在上，且，所以点Q与O重合，于是.以点O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，于是，又，所以，，设平面的法向量为，则，于是可得，不妨令，则，平面的一个法向量为，，所以二面角大小的余弦值为.21、答案：(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在单调递增(2)证明见解析解析：(1)解：函数的定义域为，求导得，当时，，所以函数在上单调递增；当时，令，，于是当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在单调递增.(2)证明：令，则，令，求导得，则函数在上单调递减，在上单调递增，，当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，且.要证，只需证明，，要证，即证，两边同时平方，只需证明，因为是函数的一个零点，所以，即，所以只需证明，即证，①构造函数，，求导得，于是所数在上单调递增，所以，因此①式成立；同理可证成立.要证，又，只需证明，即证，②构造函数，，求导得，于是函数在上单调递减，所以，因此②式成立.因此原不等式成立.22、答案：(1)(2)解析：(1)根据椭圆C的离心率为知，，在中，，，由正弦定理得，解得，，，所以椭圆C的方程为.(2)由条件知直线l的斜率不为0，设直线，，，联立，得，于是，，(*)因为，，，所以，同理，于是，，因为，所以，即.又直线l的斜率存在，所以，于是，所以，即，又，，所以，整理得，将(*)式代入上式，得，化简整理得，又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，于是直线l恒过定点.当时，，，的面积，令，因为直线l的斜率存在，则，，于是，又函数在上单调递减，所以面积的取值范围为.