2023年上海市崇明区高三二模数学试卷含详解

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2023届崇明区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1. 若不等式，则x的取值范围是____________．2. 设复数z满足（i为虚数单位），则____________．3. 已知集合，，若，则实数的值为____.4. 已知函数，的最小正周期为1，则______.5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．6. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．8. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．9. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．11. 设平面向量满足：，，，，则取值范围是____________．12. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）A.  B. C  D. 14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A. B. C. D. 15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF16. 已知数列是各项为正数等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ）A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.（1）求角B大小；（2）设，当时，求的最小值及相应的x.19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．20. 已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；（2）若，求的面积；（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．（1）若，，求实数a取值范围；（2）证明：方程至多只有一个实根；（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 
2023届崇明区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1. 若不等式，则x的取值范围是____________．【答案】【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】∵，则，解得，∴x的取值范围是.故答案为：.2. 设复数z满足（i为虚数单位），则____________．【答案】##【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】∵，则.故答案为：.3. 已知集合，，若，则实数的值为____.【答案】【分析】由可得出或，并验证是否成立，由此可求得实数的值.【详解】集合，，，则或，解得或.当时，，则，合乎题意；当时，，则，不合乎题意.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 已知函数，的最小正周期为1，则______.【答案】【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.【详解】 ，依题意 ；故答案为： .5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．【答案】4【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时等号成立，则最小值为4．故答案为：4．6. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）【答案】45【详解】(x4+)10的通项为=()r=,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．【答案】90.5【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.【详解】因为，故这15人成绩的第80百分位数为，故答案为：90.58. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．【答案】【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解.【详解】根据表格数据可得，，，根据回归直线性质，经过样本点中心，即，故，得，故回归直线为，当，.故答案为：9. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．【答案】.【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，联立方程，再次里由韦达定理求得，从而可求出，即可得解.【详解】解：由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点，的横坐标恰好是方程的根，所以，联立，消得，则，所以，所以，经检验，符合题意，所以直线的方程为.故答案为：.10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.11. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________．【答案】【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设，，.根据，即，即，整理得.显然，否则，，与已知矛盾，故可得.由，即，则有，故，解得.故.故答案为：12. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．由时，；得其关于原点对称后的解析式为．问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：．即：当时，单调递减，∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；故选：D.14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A. B. C. D. 【答案】A【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF【答案】C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面，故D正确；故选：C16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ）A 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增【答案】D【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.【详解】数列是各项为正数等比数列，则公比为，由题意，得，时，，有，，数列单调递增，A选项错误；时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；时，，解得，时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.故选：D【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）；    （2）【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【小问1详解】由题意知，直线与平面的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面的夹角为．【小问2详解】设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为．18. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.（1）求角B大小；（2）设，当时，求的最小值及相应的x.【答案】（1）    （2）当时，有最小值.【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值.【小问1详解】由已知条件得，由正弦定理得，即，,则，∵，∴，又∵ ,∴;【小问2详解】,∵,∴,，则的最小值，其中，即当时，有最小值.19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．【答案】（1）    （2）分布列见解析，    （3）3月3日【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【小问1详解】令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故.【小问2详解】由（1）知：，，，，的分布列为：【小问3详解】根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.20. 已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；（2）若，求的面积；（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．【答案】（1）    （2）    （3）证明见解析【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；（3）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.【小问1详解】依题意，，解得（负数舍去）【小问2详解】的直线经过，则直线方程为：；，则椭圆的方程为：.设联立直线和椭圆方程：，消去得到，解得，则，故，于是.依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.故【小问3详解】设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：，而，，，于是上式变为：.由韦达定理，，于是，故，命题得证.21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．（1）若，，求实数a的取值范围；（2）证明：方程至多只有一个实根；（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．【答案】（1）    （2）证明见解析    （3）证明见解析【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.【小问1详解】因为，，所以，由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知，在上，函数和均单调递增，所以.【小问2详解】令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；【小问3详解】设的最大值为，最小值为，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，，因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，若，则成立，若，设，即，故，且，则，所以成立，综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解；对于（3），设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用基本不等式的性质可证明.