2023年上海市虹口区高三二模数学试卷含答案

这是一份2023年上海市虹口区高三二模数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了本考试分设试卷和答题纸，端午节吃粽子是我国的传统习俗等内容，欢迎下载使用。
虹ロ区2022学年第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷2023.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则________.2.函数的定义域为________.3.复数，在复平面上对应的点分别为，，则________.4.抛物线上的点到其焦点的距离为________.5.已知是第二象限的角，且，则________.6.某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.7.在中，已知，，，则________.8.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.9.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为________.10.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.11.过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，,为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为________.12.已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知复数（为虚数单位），则（    ）A. B. C. D.214.某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为（    ）A. B. C. D.15.对于函数，给出下列结论：（1）函数的图像关于点对称；（2）函数在区间上的值域为；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；（4）曲线在处的切线的斜率为1.则所有正确的结论是（    ）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（1）（3）16.在数列中，若有（，均为正整数，且），就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前项和记为，若，，，则（    ）A.4720 B.4719 C.4718 D.4716三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步聚.17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求正整数的值.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类（1）铝䇚是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由； 电解电容为次品电解电容为正品铝箔为次品17476铝箔为正品108142（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82820.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设，，.（1）求函数，的单调区间和极值；（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.虹口区2022学年第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分）1. 2. 3. 4.5 5. 6.32.57.4 8. 9. 10. 11. 11.二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A 14.D 15.C 16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）由，，得：，且当时，即.    3分所以，数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，故数列的通项公式为：    6分（2）当时，又.    8分当时，，不满足条件；    10分当时，由，解得.    14分18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）证：（1）由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.又因，分别为，的中点，所以，故.    2分因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.于是与平面内的两条相交直线，都垂直.    4分从而平面；而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得：平面平面.    6分解：（2）在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图.    8分于是由条件，可得相关点的坐标：，，，，.设平面的一个法向量为，则即取，得.    11分又是平面的一个法向量，故.易知平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.    14分19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）提出原假设：电解电容质量与铝䈹质量无关.由题意及列联表，可得.    3分 由于，而，因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关.    6分（2）设第一次取出的元件是特等品的事件为，第二次取出的元件是合格品的事件为.取出的元件是第一箱、第二箱的事件分别为，.    8分则由全概率公式，得    10分    12分于是，由条件概率公式，得.因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846.    14分20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：（1）由条件，得    2分即，，化简，得曲线的方程：.    4分（2）设直线的方程为，并设，，则由得，于是，     ①    6分由，即，得    ②    8分②代入①，解得，即.所以，直线的方程为.（也可写成）    10分（3）因点，故，从而直线的方程为.由得.同理可得    13分因为    15分将①代入上式，得所以.故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.    18分21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：（1）解：（1）由题设，有，可得    2分所以，当时，；当时，.令，当在变化时，，的变化情况如下表：0+0-0+0-单调增极大值单调减 极小值单调增 极大值单调减所以，函数在上的增区间为：与；减区间为：与.函数在上的极值为：，，.    4分（2）关于不等式，即：在区间上恒成立.令，则由条件可知：是函数在上的一个极小值.由，得，所以.    7分下面证明：当时，在上恒成立.当时，，由（1）知：在上的极大值为，从而在上的最大值为1，即在上恒成立.于是在上恒成立，所以在上严格增；从而，所以在上严格增；从而在上恒成立.即知：当时在上恒成立.综合上述，得：.    10分证：（3）对于函数，令，则.从而当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故.对于函数，令，则.从而当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故.    12分因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.下面先证明：曲线与有唯一交点.由，得，即方程有唯一实数根.令，则.所以在上恒为负数.易知，曲线与在区间上没有交点.而在区间上，函数严格减，函数严格增，所以函数在上严格减，进而函数在上严格减.由，及零点存在定理得：函数在上存在唯一零点，从而方程在上有唯一实数根，且.    14分下面再证明：直线与曲线，有3个交点，，，且，，成等比数列.由于直线与曲线，共有3个不同交点，故直线必过点，且，，由，得，即，而函数在上严格增，，，故    ①     16分由，得，即，而函数在上严格减，，，故    ②由①，②得.    ③由，得，故有    ④因此，由③，④得，即，，成等比数列.    18分