2023年上海市金山区高三二模数学试卷含答案

2022学年第二学期质量监控

高三数学试卷

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，集合，若，则___________．

2．若实数x满足不等式，则x的取值范围是_______________．

3．双曲线的渐近线方程是______________．

4．已知向量，向量，则与的夹角的大小为_____________．

5．在的二项展开式中，项的系数为__________（结果用数值表示）．

6．若复数（i是虚数单位），则___________．

7．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则___．

8．掷一颗骰子，令事件，，则_______（结果用数值表示）．

9．已知正实数a、b满足，则的最小值为___________．

10．若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是____．

11．已知函数和的表达式分别为，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是____．

12．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．若实数a、b满足，则下列不等式中成立的是（    ）．

（A）      （B）      （C）      （D）

14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（    ）．

（A）讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分

（B）讲座前的答卷得分分布较讲座后分散

（C）讲座后答卷得分的第80百分位数为95

（D）讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（    ）．

（A）直线直线CD    （B）直线直线ED

（C）直线直线PQ    （D）直线平面ADE

16．设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数都有．给出下列两个命题：①若对任意正整数都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（    ）．

（A）①是真命题，②是假命题           （B）①是假命题，②是真命题

（C）①和②都是真命题                 （D）①和②都是假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，．

（1）若，求c；

（2）若，求△ABC的面积．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在正三棱柱中，已知，D是AB的中点．

（1）求直线与所成的角的大小；

（2）求证：平面⊥平面，并求点B到平面的距离．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元．决定每盒售价为20元，未售出的草莓降价处理，每盒10元．假设当天进货能全部售完．根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关．为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：

以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率．

（1）求4月份草莓一天的购买量X（单位：盒）的分布；

（2）设4月份销售草莓一天的利润为Y（单位：元），一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且，当n为多少时，Y的期望达到最大值，并求此最大值．

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知椭圆：（）．

（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）已知直线l过椭圆的右焦点且垂直于x轴，记l与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；

（3）设O为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若△OPQ是等腰直角三角形，其中是直角，点P在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若函数在处取得极值，且（常数R），则称是函数的“λ相关点”．

（1）若函数存在“λ相关点”，求λ的值；

（2）若函数（常数R）存在“1相关点”，求k的值；

（3）设函数的表达式为（常数a、b、R且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数a的取值范围．

高三数学评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. ；    2. ；    3. ；    4. ；    5. ；    6. ；

7. ；   8. ；   9. ；   10. ；   11. ；   12. ．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. D；                14. C；                15. B；                16. B．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.（1）由正弦定理得，                                      ……2分

则，                                                           ……4分

由余弦定理得．                      ……6分

（2），所以，，                        ……8分

因为，则，                                     ……10分

所以．      ……14分

18.（1）因为，所以就是所求角．                      ……3分

在直角三角形中，，

因此，直线与所成的角的大小为．                    ……6分

（2）因为平面，平面，所以．

又因为D是AB的中点，所以．

因为，于是平面，

再由平面，所以平面平面．            ……10分

过作于，因为平面平面，且平面平面直线，所以，平面，线段的长就是所求距离，，因此，点B到平面的距离为．            ……14分

19.（1）由题意知，X所有可能的取值为600，900．

，．           ……3分

所以X的分布为．                                        ……6分

（2）由题意知，草莓一天的需求量最少为600，最多为900，因此只需考虑的情况．

若浏览量在，则；

若浏览量在，则．                                   ……10分

故．

所以当一天的进货量n为600（盒）时，Y的期望达到最大值，此最大值为3000元．

……14分

20.（1）由，得，                                       ……2分

则，所以，椭圆的标准方程为．              ……4分

（2）设右焦点，左焦点，则，

所以，，．由，得．        ……8分

正方形的内切圆的圆心为，半径为，

故所求圆的标准方程为．                             ……10分

（3）设直线的倾斜角为，斜率为k（），

则直线OQ的斜率为．                             ……12分

设，，则，，，

由得，，

同理，．                                   ……14分

由得，即，

整理得（）．                        ……16分

注意到且，所以要使上述关于k的一元二次方程有正数解，只需，解得．因此，的最大值为．……18分

21. （1）因为在处取得极值（最值），

由，得．                                         ……4分

（2）记（），在处取得极值且．

由得，从而且，故．  ……6分

另一方面，由，得．

设（），则，

所以函数在区间上是严格增函数．                      ……8分

注意到，所以方程有唯一实根，即，解得．

经检验，函数在处取得极小值，满足题意．

综上，k的值为1．                                                   ……10分

（3）由得，即．设、为函数的“2相关点”，则且，．

另一方面，，则且，．

所以，且，解得，，．            ……12分

故，（）．

设切点为，则切线的斜率，

从而切线方程为，

将点代入，整理得．                         ……14分

设，则函数在R上有三个不同的零点．

（），

……16分

注意到，，根据单调性可知，函数在区间和上都没有零点，在区间上恰有一个零点，故在区间和各恰有一个零点，所以，

解得实数a的取值范围是．                                  ……18分