2023年上海市浦东新区高三二模数学试卷含答案

浦东新区2022学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1.已知集合，，则             ．

2.若复数z满足（是虚数单位），则复数             ．

3.若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为             ．（结果保留）

4.的二项展开式中项的系数为             ．

5.设随机变量服从正态分布，且，则             ．

6.双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为             ．

7.投掷一颗骰子，记事件，，则             ．

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则        .

9.函数在区间上的最小值为             ．

10.已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为              ．

11.已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是             ．

12.已知，设，，其中k是整数. 若对一切，都是区间上的严格增函数. 则的取值范围是 __________ .

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分．

13.已知，则“”是“”的（    ）.

A.充分不必要条件；                          B.必要不充分条件；

C.充要条件；                                D.既不充分也不必要条件.

14.某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（    ）.

A.   1.6          B.  8.4          C.  11.6            D.  7.4

15.在空间中，下列命题为真命题的是（    ）.

A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；

C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；

D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

16.已知函数，其导函数为，有以下两个命题：          

①若为偶函数，则为奇函数；

②若为周期函数，则也为周期函数.

那么（    ）.

A.①是真命题，②是假命题        B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题              D.①、②都是假命题

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知数列是首项为9，公比为的等比数列.

（1）求的值；

（2）设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值.

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值．                                                            

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题.

（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；

（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是.请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由.

20. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若为直角三角形，求的面积；

（3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像. 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”.

（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；

（2）已知，. 证明：点是的0度点；

（3）求函数的全体2度点构成的集合.

答案

一、填空题

1．．    2．．     3．．    4．270．    5．．   6．2．

7．．   8．． 9．．10．． 11．．12． ．

二、选择题

13． B   14． A  15． D   16．D

三、解答题

17．【解析】（1）由题，则，

（2）记，由（1）知，

所以，

，

当2或3时，取得最大值3.

（由得时，分析得最大值亦可）

18．【解析】（1）证明：联结，因为、分别为、的中点，所以且，

又因为，且，所以且，即四边形为平行四边形，所以，

又不在平面上，平面，所以平面．

（建系也可）

（2）因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，所以平面，所以，所以，，两两互相垂直．       

如图所示建立直角坐标系，则有关点的坐标为，，．                                          

所以，，

由题意知，平面的法向量，

设平面的法向量，

由，

令，得，

设平面与平面所成锐二面角为，

则 ．

19．【解析】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，

将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”.则

，

（分类讨论同等给分）

（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题,

设该代表队必答环节的得分为，则的分布为

此时得分期望

情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题,

设该代表队必答环节的得分为，则的分布为

此时得分期望

由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题.

20．【解析】（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，离心率.

（2）设，

当时，

此时；（或者可由）

由对称性，不妨设，且在第一象限，则

此时；

综上，的面积为或.

（3）设，则直线，

由已知.

同理：.

因而，是方程的两根，所以.

得 ，由在第一象限得.

21．【解析】(1) 设，则曲线在点处的切线方程为.

则该切线过点当且仅当，即. 故原点是函数的一个1度点.

(2) 设，则曲线在点处的切线方程为.

则该切线过点当且仅当（*）.

设，则当时，，故在区间上严格增.

因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点.

(3) 对任意，曲线在点处的切线方程为.

故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解.

设. 则点为函数的一个2度点当且仅当有两个不同的零点.

若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求.

若，因为，解得有两个驻点.

由或时得严格增；而当时，得严格减. 故在时取得极大值，在时取得极小值.

又因为，，所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，也不合要求.

故两个不同的零点当且仅当或.

若，同理可得两个不同的零点当且仅当或.

综上，的全体2度点构成的集合为.