2023年贵州省铜仁学院附属中学中考数学一模试卷
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一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列运算正确的是( )
A. B.(a+1)2=a2+1
C.(a3)2=a5 D.2a2•a=2a3
2.(3分)如图,数轴上点P表示的数为a,点Q表示的数为b,下列四个选项中结果可能为ab的值是( )
A. B. C. D.
3.(3分)不等式组的解集是( )
A.x>1 B.1<x<3 C.1<x≤3 D.x≤3
4.(3分)中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织,是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校,是中国共产党的助手和后备军,年龄在十四周岁以上,二十八周岁以下的中国青年,承认团的章程,愿意参加团的一个组织并在其中积极工作、执行团的决议和按期交纳团费的,可以申请加入中国共产主义青年团,团中央公布的统计数字显示,现有学生团员4381万人,数据“4381万”用科学记数法表示为( )
A.4.381×103 B.43.81×106 C.4.381×107 D.4.381×108
5.(3分)抛物线y=x2﹣1可由下列哪一个函数的图象向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣1)2﹣3 C.y=(x+1)2﹣3 D.y=(x+1)2+1
6.(3分)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t﹣5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A.6s B.4s C.3s D.2s
7.(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.(3分)函数y=与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.(3分)如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间(单位:秒)的关系图是( )
A. B.
C. D.
10.(3分)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,设半圆的半径为2,AB=5,则四边形ABCD的周长为( )
A.7 B.9 C.12 D.14
11.(3分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③4a﹣2b+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12.(3分)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
B.当K=0时,R1的阻值为100Ω
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(4分)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是 .
14.(4分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= °.
15.(4分)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC 断裂(填“会”或“不会”,参考数据:≈1.732).
16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0)、B(0,﹣3),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为 .
三、解答题:本大题9小题,共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
18.(10分)如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(10分)如图,在半径为4的⊙O中,E为的中点,OE交BC于F,D为⊙O上一点,DE交AC于G,AD=AG.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,求ED的长.
20.(10分)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米.
(1)求∠BAD的度数.
(2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米).
(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,tan84°≈)
21.(10分)在正方形ABCD中,点M是边AB的中点,点E在线段AM上(不与点A重合),点F在边BC上,且AE=2BF,连接EF,以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.
(1)如图1,若AB=4,当点E与点M重合时,求正方形EFGH的面积;
(2)如图2,已知直线HG分别与边AD,BC交于点I,J,射线EH与射线AD交于点K,求证:EK=2EH.
22.(12分)为落实国家“双减”政策,我校在课延时服务时间里开展体育锻炼活动,其项目有“A篮球、B长跑、C排球、D武术”四个类别,现从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种体育活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)参加问卷调查的学生共有 人;
(2)条形统计图中m的值为 ;
(3)扇形统计图中a的度数为 ;
(4)全校学生中最喜欢“武术”约有多少人?
23.(12分)紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源,具有约10﹣14亿年的成矿历史,因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成,形似古代官宦朝服中的玉带,故俗称“紫袍玉带石”.小李在某网店选中A,B两款紫袍玉带石,决定从该网店进货并销售,两款玉带石的进货价和销售价如表:
类别价格
A款玉带石
B款玉带石
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玉带石各购进多少个.
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半,小李计划购进两款玉带石共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玉带石全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
24.(12分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE.
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
25.(12分)定义:在一个等腰三角形底边的高线上所有点中,到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.
【基础巩固】
(1)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD为BC边上的高,已知AD上一点E满足∠DEC=60°,AC=,求AE+BE+CE= ;
【尝试应用】
(2)如图2,等边三角形ABC边长为,E为高线AD上的点,将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”;
【拓展提高】
(3)如图3,在菱形ABCD中,过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F,连接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.
2023年贵州省铜仁学院附中中考数学一模试卷
(参考答案)
一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列运算正确的是( )
A. B.(a+1)2=a2+1
C.(a3)2=a5 D.2a2•a=2a3
【解答】解:A.2﹣=,故此选项不合题意;
B.(a+1)2=a2+2a+1,故此选项不合题意;
C.(a3)2=a6,故此选项不合题意;
D.2a2•a=2a3,故此选项符合题意.
故选:D.
2.(3分)如图,数轴上点P表示的数为a,点Q表示的数为b,下列四个选项中结果可能为ab的值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵点Q在1和2之间,更靠近2一些,
∴估算点Q为.
∵点P为﹣2,
∴ab=﹣2
故选:C.
3.(3分)不等式组的解集是( )
A.x>1 B.1<x<3 C.1<x≤3 D.x≤3
【解答】解:解不等式1﹣x<0,得:x>1,
解不等式x﹣3≤0,得x≤3,
则不等式组的解集为1<x≤3.
故选:C.
4.(3分)中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织,是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校,是中国共产党的助手和后备军,年龄在十四周岁以上,二十八周岁以下的中国青年,承认团的章程,愿意参加团的一个组织并在其中积极工作、执行团的决议和按期交纳团费的,可以申请加入中国共产主义青年团,团中央公布的统计数字显示,现有学生团员4381万人,数据“4381万”用科学记数法表示为( )
A.4.381×103 B.43.81×106 C.4.381×107 D.4.381×108
【解答】解:4381万=4381×104=4.381×107.
故选:C.
5.(3分)抛物线y=x2﹣1可由下列哪一个函数的图象向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣1)2﹣3 C.y=(x+1)2﹣3 D.y=(x+1)2+1
【解答】解:∵抛物线y=(x+1)2+1向右平移1个单位,得y=x2+1,
抛物线y=x2+1,向下平移2个单位长度,得y=x2+1﹣2,即y=x2﹣1.
故选:D.
6.(3分)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t﹣5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A.6s B.4s C.3s D.2s
【解答】解:由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2.
令h=0,﹣5t2+30t=0
解得:t1=0,t2=6
△t=6,小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒.
故选:A.
7.(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE=DE=CD=12,
∵AB=26,
∴OC=13.
∴cos∠OCE=.
故选:B.
8.(3分)函数y=与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:分两种情况讨论:
①当k<0时,反比例函数y=,在二、四象限,而二次函数y=kx2﹣k开口向下,故A、B、C、D都不符合题意;
②当k>0时,反比例函数y=,在一、三象限,而二次函数y=kx2﹣k开口向上,与y轴交点在原点下方,故选项D正确,
故选:D.
9.(3分)如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间(单位:秒)的关系图是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:(1)当点P沿O→C运动时,
当点P在点O的位置时,y=90°,
当点P在点C的位置时,
∵OA=OC,
∴y=45°,
∴y由90°逐渐减小到45°;
(2)当点P沿C→D运动时,
根据圆周角定理,可得
y≡90°÷2=45°;
(3)当点P沿D→O运动时,
当点P在点D的位置时,y=45°,
当点P在点0的位置时,y=90°,
∴y由45°逐渐增加到90°.
故选:B.
10.(3分)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,设半圆的半径为2,AB=5,则四边形ABCD的周长为( )
A.7 B.9 C.12 D.14
【解答】解:∵半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,
∴AE=AD,BE=BC,
∴AB+AD+BC=2AB=10,
∵CD=4,
∴四边形ABCD是周长=AB+AD+BC+CD=10+4=14.
故选:D.
11.(3分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③4a﹣2b+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,即4ac<b2,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
∵x=﹣=1,即b=﹣2a,
而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,所以③错误;
由图象知,当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,
∴当x<0时,y随x增大而增大,所以⑤正确;
即正确的个数是3个,
故选:B.
12.(3分)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
B.当K=0时,R1的阻值为100Ω
C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
【解答】解:由图2可知,呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小,故A正确,不符合题意;
由图2知,K=0时,R1的阻值为100,故B正确,不符合题意;
由图3知,当K=10时,M=2200×10×10﹣3=22(mg/100mL),
∴当K=10时,该驾驶员为酒驾状态,故C不正确,符合题意;
由图2知,当R1=20时,K=40,
∴M=2200×40×10﹣3=88(mg/100mL),
∴该驾驶员为醉驾状态,故D正确,不符合题意;
故选:C.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(4分)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是 1 .
【解答】解:∵x2﹣4x+3=0,
∴x2﹣4x=﹣3,
∴x2﹣4x+4=﹣3+4,
∴(x﹣2)2=1,
∵一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,
∴k=1,
故答案为:1.
14.(4分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.
【解答】解:∵AC是⊙O的切线,
∴∠BAC=90°,
∵∠AOD=82°,
∴∠ABD=41°,
∴∠C=90°﹣∠ABD=90°﹣41°=49°,
故答案为:49.
15.(4分)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC 不会 断裂(填“会”或“不会”,参考数据:≈1.732).
【解答】解:设AC与BD相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC=2AO,OD=BD,AD=AB=20cm,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=20cm,
∴DO=BD=10(cm),
在Rt△ADO中,AO===10(cm),
∴AC=2AO=20≈34.64(cm),
∵34.64cm<36cm,
∴橡皮筋AC不会断裂,
故答案为:不会.
16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0)、B(0,﹣3),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为 1.5 .
【解答】解:解法一:如图,取点D(﹣4,0),连接PD,
∵C是AP的中点,O是AD的中点,
∴OC是△APD的中位线,
∴OC=PD,
连接BD交⊙B于E,
∵OD=4,OB=3,
∴BD=5,
当点P与点E重合时,PD最小为5﹣2=3,
故OC的最小值为1.5;
解法二:当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点P1,C1是AP1的中点,
当点P在线段AB上时,C2是中点,取C1C2的中点为D,
点C的运动路径是以D为圆心,以DC1为半径的圆,当O、C、D共线时,OC的长最小,
设线段AB交⊙B于Q,
Rt△AOB中,OA=4,OB=3,
∴AB=5,
∵⊙B的半径为2,
∴BP1=2,AP1=5+2=7,
∵C1是AP1的中点,
∴AC1=3.5,AQ=5﹣2=3,
∵C2是AQ的中点,
∴AC2=C2Q=1.5,
C1C2=3.5﹣1.5=2,即⊙D的半径为1,
∵AD=1.5+1=2.5=AB,
∴OD=AB=2.5,
∴OC=2.5﹣1=1.5,
故答案为:1.5.
三、解答题:本大题9小题,共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
【解答】解:原式=(+)÷
=•
=,
∵x≠0且x﹣2≠0,
∴x≠0且x≠2,
∴x=1,
则原式==﹣1.
18.(10分)如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)把点A(4,0)代入二次函数有:
0=﹣16+4b+3
得:b=
所以二次函数的关系式为:y=﹣x2+x+3.
当x=0时,y=3
∴点B的坐标为(0,3).
(2)如图:
作AB的垂直平分线交x轴于点P,连接BP,
则:BP=AP
设BP=AP=x,则OP=4﹣x,
在直角△OBP中,BP2=OB2+OP2
即:x2=32+(4﹣x)2
解得:x=
∴OP=4﹣=
所以点P的坐标为:(,0)
综上可得点P的坐标为(,0).
19.(10分)如图,在半径为4的⊙O中,E为的中点,OE交BC于F,D为⊙O上一点,DE交AC于G,AD=AG.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,求ED的长.
【解答】(1)证明:连接OD.
∵E为的中点,
∴OE⊥BC于F,
∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∵∠AGD=∠ADG,
∴∠ADG+∠ODE=90°.
即OD⊥AD,
∴AD是⊙O的切线;
(2)解:作OH⊥ED于H,
∴DE=2DH,
∵∠ADG=∠AGD,
∴AG=AD,
∵∠A=60°,
∴∠ADG=60°,
∴∠ODE=30°,
∵OD=4,
∴DH=OD=2,
∴DE=2DH=4.
20.(10分)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米.
(1)求∠BAD的度数.
(2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米).
(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,tan84°≈)
【解答】解:(1)∵∠ADC=84°,∠ABC=37°,
∴∠BAD=∠ADC﹣∠ABC=47°,
答:∠BAD的度数是47°.
(2)在Rt△ABC中,,
∴.
在Rt△ADC中,,
∵BD=4,
∴,
∴,
∴AC≈3.3(米),
答:表AC的长是3.3米.
21.(10分)在正方形ABCD中,点M是边AB的中点,点E在线段AM上(不与点A重合),点F在边BC上,且AE=2BF,连接EF,以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.
(1)如图1,若AB=4,当点E与点M重合时,求正方形EFGH的面积;
(2)如图2,已知直线HG分别与边AD,BC交于点I,J,射线EH与射线AD交于点K,求证:EK=2EH.
【解答】(1)解:如图1,
∵点M是边AB的中点,若AB=4,当点E与点M重合,
∴AE=BE=2,
∵AE=2BF,
∴BF=1,
在Rt△EBF中,EF2=EB2+BF2=22+12=5,
∴正方形EFGH的面积=EF2=5;
(2)如图2,
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠K+∠AEK=90°,
∵四边形EFGH是正方形,
∴∠KEF=90°,EH=EF,
∴∠AEK+∠BEF=90°,
∴∠AKE=∠BEF,
∴△AKE∽△BEF,
∴,
∵AE=2BF,
∴,
∴EK=2EF,
∴EK=2EH;
22.(12分)为落实国家“双减”政策,我校在课延时服务时间里开展体育锻炼活动,其项目有“A篮球、B长跑、C排球、D武术”四个类别,现从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种体育活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)参加问卷调查的学生共有 60 人;
(2)条形统计图中m的值为 11 ;
(3)扇形统计图中a的度数为 90° ;
(4)全校学生中最喜欢“武术”约有多少人?
【解答】解:(1)24÷40%=60(人),
∴参加问卷调查的学生共有60人.
故答案为:60;
(2)由题意得,m=60﹣10﹣24﹣15=11.
故答案为:11;
(3)360°×=90°.
故答案为:90°;
(4)3000×=550(人),
答:全校学生中最喜欢“武术”约有550人.
23.(12分)紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源,具有约10﹣14亿年的成矿历史,因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成,形似古代官宦朝服中的玉带,故俗称“紫袍玉带石”.小李在某网店选中A,B两款紫袍玉带石,决定从该网店进货并销售,两款玉带石的进货价和销售价如表:
类别价格
A款玉带石
B款玉带石
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玉带石各购进多少个.
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半,小李计划购进两款玉带石共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玉带石全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
【解答】解:(1)设A款玉带石购进x个,B款玉带石购进(30﹣x)个,
由题意,得40x+30(30﹣x)=1100,
解得:x=20,
30﹣20=10(个),
答:A款玉带石购进20个,B款玉带石购进10个;
(2)设A款玉带石购进a个,B款玉带石玩偶购进(30﹣a)个,获利y元,
由题意,得y=(56﹣40)a+(45﹣30)(30﹣a)=a+450.
∵A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半.
∴a≤(30﹣a),
∴a≤10,
∵y=a+450.
∴k=1>0,
∴y随a的增大而增大.
∴a=10时,y最大=460,
∴B款玉带石为:30﹣10=20(个).
答:按照A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润,最大利润是460元;
(3)第一次的利润率=×100%≈42.7%;
第二次的利润率=×100%=46%,
∵46%>42.7%,
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算.
24.(12分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE.
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
【解答】(1)证明:连接OA,如图,
∵PA为⊙O的切线,
∴AO⊥PA,
∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DAE=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠ADE=∠PAE;
(2)证明:由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,
∴∠AED=90°﹣∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,
∴∠APE=∠PAE=30°,
∴AE=PE;
(3)解:设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,
∴OA=OE=,
∴OC=OE﹣CE=,
OP=OE+PE=.
∵PA、PB为⊙O的切线,
∴PA=PB,PO平分∠APB,
∴PO⊥AB.
∵PA为⊙O的切线,
∴AO⊥PA,
∴△OAC∽△OPA,
∴,
∴,
即:x2+10x﹣24=0.
解得:x=2或﹣12(不合题意,舍去),
∴CE=2.
25.(12分)定义:在一个等腰三角形底边的高线上所有点中,到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.
【基础巩固】
(1)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD为BC边上的高,已知AD上一点E满足∠DEC=60°,AC=,求AE+BE+CE= 12+ ;
【尝试应用】
(2)如图2,等边三角形ABC边长为,E为高线AD上的点,将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”;
【拓展提高】
(3)如图3,在菱形ABCD中,过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F,连接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.
【解答】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AC=,
∴BD=CD=AD=,
∵∠DEC=60°,
∴DE==4,
∴AE=AD﹣DE=,CE=BE=2DE=8,
∴AE+BE+CE=+8×2=12+;
故答案为:12+;
(2)由题意可得:AE=AF,∠EAF=60°,
∴△EAF为等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∴AE+BE+CE=EF+BE+GF,
∵B、G两点均为定点,
∴当B、E、F、G四点共线时,EF+BE+GF最小,
∴∠AEB=120°,∠AEC=∠AFG=120°,
∴∠BEC=120°,
∴此时E点为等边△ABC的中心,
∴AE+BE+CE=3AE==12,
故等边三角形ABC的“最近值”为12;
(3)如图,过点D作DM⊥AB于点M,
∵∠BDA=75°,AB=AD,
∴∠DAB=30°,
∴2DM=AD=AB,
∵AB∥CD,
∴EF=DM,
∴2EF=AB,
∴AE=BE=EF=3,
∴△AEF与△BEF均为等腰直角三角形,
∴△ABF为等腰直角三角形,
设P为EF上一点,由(2)得:∠APF=∠BPF=∠APB=120°时,PA+PB+PF最小,
此时:EP==,
∴AP=BP=2EP=,FP=EF﹣EP=3﹣,
∴AP+BP+FP==3+,
∴(AP+BP+FP)2==,
∴三角形AFB“最近值”的平方为.
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