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    2023年贵州省铜仁学院附属中学中考数学一模试卷

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    这是一份2023年贵州省铜仁学院附属中学中考数学一模试卷,共27页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023年贵州省铜仁学院附中中考数学一模试卷
    一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分)
    1.(3分)下列运算正确的是(  )
    A. B.(a+1)2=a2+1
    C.(a3)2=a5 D.2a2•a=2a3
    2.(3分)如图,数轴上点P表示的数为a,点Q表示的数为b,下列四个选项中结果可能为ab的值是(  )


    A. B. C. D.
    3.(3分)不等式组的解集是(  )
    A.x>1 B.1<x<3 C.1<x≤3 D.x≤3
    4.(3分)中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织,是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校,是中国共产党的助手和后备军,年龄在十四周岁以上,二十八周岁以下的中国青年,承认团的章程,愿意参加团的一个组织并在其中积极工作、执行团的决议和按期交纳团费的,可以申请加入中国共产主义青年团,团中央公布的统计数字显示,现有学生团员4381万人,数据“4381万”用科学记数法表示为(  )
    A.4.381×103 B.43.81×106 C.4.381×107 D.4.381×108
    5.(3分)抛物线y=x2﹣1可由下列哪一个函数的图象向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到(  )
    A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣1)2﹣3 C.y=(x+1)2﹣3 D.y=(x+1)2+1
    6.(3分)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t﹣5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(  )

    A.6s B.4s C.3s D.2s
    7.(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为(  )

    A. B. C. D.
    8.(3分)函数y=与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
    A. B.
    C. D.
    9.(3分)如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间(单位:秒)的关系图是(  )

    A. B.
    C. D.
    10.(3分)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,设半圆的半径为2,AB=5,则四边形ABCD的周长为(  )

    A.7 B.9 C.12 D.14
    11.(3分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③4a﹣2b+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    12.(3分)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是(  )

    A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
    B.当K=0时,R1的阻值为100Ω
    C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
    D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
    二、填空题(每小题4分,共16分)
    13.(4分)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是    .
    14.(4分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C=   °.

    15.(4分)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC   断裂(填“会”或“不会”,参考数据:≈1.732).

    16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0)、B(0,﹣3),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为   .

    三、解答题:本大题9小题,共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
    18.(10分)如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
    (1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
    (2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    19.(10分)如图,在半径为4的⊙O中,E为的中点,OE交BC于F,D为⊙O上一点,DE交AC于G,AD=AG.
    (1)求证:AD是⊙O的切线;
    (2)若∠A=60°,求ED的长.

    20.(10分)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米.

    (1)求∠BAD的度数.
    (2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米).
    (参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,tan84°≈)
    21.(10分)在正方形ABCD中,点M是边AB的中点,点E在线段AM上(不与点A重合),点F在边BC上,且AE=2BF,连接EF,以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.

    (1)如图1,若AB=4,当点E与点M重合时,求正方形EFGH的面积;
    (2)如图2,已知直线HG分别与边AD,BC交于点I,J,射线EH与射线AD交于点K,求证:EK=2EH.
    22.(12分)为落实国家“双减”政策,我校在课延时服务时间里开展体育锻炼活动,其项目有“A篮球、B长跑、C排球、D武术”四个类别,现从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种体育活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

    根据图中信息,解答下列问题:
    (1)参加问卷调查的学生共有    人;
    (2)条形统计图中m的值为    ;
    (3)扇形统计图中a的度数为    ;
    (4)全校学生中最喜欢“武术”约有多少人?
    23.(12分)紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源,具有约10﹣14亿年的成矿历史,因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成,形似古代官宦朝服中的玉带,故俗称“紫袍玉带石”.小李在某网店选中A,B两款紫袍玉带石,决定从该网店进货并销售,两款玉带石的进货价和销售价如表:
    类别价格
    A款玉带石
    B款玉带石
    进货价(元/个)
    40
    30
    销售价(元/个)
    56
    45
    (1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玉带石各购进多少个.
    (2)第二次小李进货时,网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半,小李计划购进两款玉带石共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
    (3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玉带石全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
    24.(12分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
    (1)求证:∠ADE=∠PAE.
    (2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
    (3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

    25.(12分)定义:在一个等腰三角形底边的高线上所有点中,到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.
    【基础巩固】
    (1)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD为BC边上的高,已知AD上一点E满足∠DEC=60°,AC=,求AE+BE+CE=   ;
    【尝试应用】
    (2)如图2,等边三角形ABC边长为,E为高线AD上的点,将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”;
    【拓展提高】
    (3)如图3,在菱形ABCD中,过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F,连接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.


    2023年贵州省铜仁学院附中中考数学一模试卷
    (参考答案)
    一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分)
    1.(3分)下列运算正确的是(  )
    A. B.(a+1)2=a2+1
    C.(a3)2=a5 D.2a2•a=2a3
    【解答】解:A.2﹣=,故此选项不合题意;
    B.(a+1)2=a2+2a+1,故此选项不合题意;
    C.(a3)2=a6,故此选项不合题意;
    D.2a2•a=2a3,故此选项符合题意.
    故选:D.
    2.(3分)如图,数轴上点P表示的数为a,点Q表示的数为b,下列四个选项中结果可能为ab的值是(  )


    A. B. C. D.
    【解答】解:∵点Q在1和2之间,更靠近2一些,
    ∴估算点Q为.
    ∵点P为﹣2,
    ∴ab=﹣2
    故选:C.
    3.(3分)不等式组的解集是(  )
    A.x>1 B.1<x<3 C.1<x≤3 D.x≤3
    【解答】解:解不等式1﹣x<0,得:x>1,
    解不等式x﹣3≤0,得x≤3,
    则不等式组的解集为1<x≤3.
    故选:C.
    4.(3分)中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织,是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校,是中国共产党的助手和后备军,年龄在十四周岁以上,二十八周岁以下的中国青年,承认团的章程,愿意参加团的一个组织并在其中积极工作、执行团的决议和按期交纳团费的,可以申请加入中国共产主义青年团,团中央公布的统计数字显示,现有学生团员4381万人,数据“4381万”用科学记数法表示为(  )
    A.4.381×103 B.43.81×106 C.4.381×107 D.4.381×108
    【解答】解:4381万=4381×104=4.381×107.
    故选:C.
    5.(3分)抛物线y=x2﹣1可由下列哪一个函数的图象向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到(  )
    A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣1)2﹣3 C.y=(x+1)2﹣3 D.y=(x+1)2+1
    【解答】解:∵抛物线y=(x+1)2+1向右平移1个单位,得y=x2+1,
    抛物线y=x2+1,向下平移2个单位长度,得y=x2+1﹣2,即y=x2﹣1.
    故选:D.
    6.(3分)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t﹣5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(  )

    A.6s B.4s C.3s D.2s
    【解答】解:由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2.
    令h=0,﹣5t2+30t=0
    解得:t1=0,t2=6
    △t=6,小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒.
    故选:A.
    7.(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
    ∴CE=DE=CD=12,
    ∵AB=26,
    ∴OC=13.
    ∴cos∠OCE=.
    故选:B.
    8.(3分)函数y=与y=kx2﹣k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
    A. B.
    C. D.
    【解答】解:分两种情况讨论:
    ①当k<0时,反比例函数y=,在二、四象限,而二次函数y=kx2﹣k开口向下,故A、B、C、D都不符合题意;
    ②当k>0时,反比例函数y=,在一、三象限,而二次函数y=kx2﹣k开口向上,与y轴交点在原点下方,故选项D正确,
    故选:D.
    9.(3分)如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间(单位:秒)的关系图是(  )

    A. B.
    C. D.
    【解答】解:(1)当点P沿O→C运动时,
    当点P在点O的位置时,y=90°,
    当点P在点C的位置时,
    ∵OA=OC,
    ∴y=45°,
    ∴y由90°逐渐减小到45°;

    (2)当点P沿C→D运动时,
    根据圆周角定理,可得
    y≡90°÷2=45°;

    (3)当点P沿D→O运动时,
    当点P在点D的位置时,y=45°,
    当点P在点0的位置时,y=90°,
    ∴y由45°逐渐增加到90°.
    故选:B.
    10.(3分)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,设半圆的半径为2,AB=5,则四边形ABCD的周长为(  )

    A.7 B.9 C.12 D.14
    【解答】解:∵半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C,
    ∴AE=AD,BE=BC,
    ∴AB+AD+BC=2AB=10,
    ∵CD=4,
    ∴四边形ABCD是周长=AB+AD+BC+CD=10+4=14.
    故选:D.
    11.(3分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③4a﹣2b+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,
    ∴b2﹣4ac>0,即4ac<b2,所以①正确;
    ∵抛物线的对称轴为直线x=1,
    而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
    ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
    ∵x=﹣=1,即b=﹣2a,
    而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
    ∴a+2a+c=0,
    ∴3a+c=0,所以③错误;
    由图象知,当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3,所以④错误;
    ∵抛物线的对称轴为直线x=1,
    ∴当x<1时,y随x增大而增大,
    ∴当x<0时,y随x增大而增大,所以⑤正确;
    即正确的个数是3个,
    故选:B.
    12.(3分)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是(  )

    A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小
    B.当K=0时,R1的阻值为100Ω
    C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态
    D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态
    【解答】解:由图2可知,呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小,故A正确,不符合题意;
    由图2知,K=0时,R1的阻值为100,故B正确,不符合题意;
    由图3知,当K=10时,M=2200×10×10﹣3=22(mg/100mL),
    ∴当K=10时,该驾驶员为酒驾状态,故C不正确,符合题意;
    由图2知,当R1=20时,K=40,
    ∴M=2200×40×10﹣3=88(mg/100mL),
    ∴该驾驶员为醉驾状态,故D正确,不符合题意;
    故选:C.
    二、填空题(每小题4分,共16分)
    13.(4分)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是  1 .
    【解答】解:∵x2﹣4x+3=0,
    ∴x2﹣4x=﹣3,
    ∴x2﹣4x+4=﹣3+4,
    ∴(x﹣2)2=1,
    ∵一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,
    ∴k=1,
    故答案为:1.
    14.(4分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.

    【解答】解:∵AC是⊙O的切线,
    ∴∠BAC=90°,
    ∵∠AOD=82°,
    ∴∠ABD=41°,
    ∴∠C=90°﹣∠ABD=90°﹣41°=49°,
    故答案为:49.
    15.(4分)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC 不会 断裂(填“会”或“不会”,参考数据:≈1.732).

    【解答】解:设AC与BD相交于点O,

    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AC⊥BD,AC=2AO,OD=BD,AD=AB=20cm,
    ∵∠BAD=60°,
    ∴△ABD是等边三角形,
    ∴BD=AB=20cm,
    ∴DO=BD=10(cm),
    在Rt△ADO中,AO===10(cm),
    ∴AC=2AO=20≈34.64(cm),
    ∵34.64cm<36cm,
    ∴橡皮筋AC不会断裂,
    故答案为:不会.

    16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0)、B(0,﹣3),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为 1.5 .

    【解答】解:解法一:如图,取点D(﹣4,0),连接PD,

    ∵C是AP的中点,O是AD的中点,
    ∴OC是△APD的中位线,
    ∴OC=PD,
    连接BD交⊙B于E,
    ∵OD=4,OB=3,
    ∴BD=5,
    当点P与点E重合时,PD最小为5﹣2=3,
    故OC的最小值为1.5;

    解法二:当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点P1,C1是AP1的中点,

    当点P在线段AB上时,C2是中点,取C1C2的中点为D,
    点C的运动路径是以D为圆心,以DC1为半径的圆,当O、C、D共线时,OC的长最小,
    设线段AB交⊙B于Q,
    Rt△AOB中,OA=4,OB=3,
    ∴AB=5,
    ∵⊙B的半径为2,
    ∴BP1=2,AP1=5+2=7,
    ∵C1是AP1的中点,
    ∴AC1=3.5,AQ=5﹣2=3,
    ∵C2是AQ的中点,
    ∴AC2=C2Q=1.5,
    C1C2=3.5﹣1.5=2,即⊙D的半径为1,
    ∵AD=1.5+1=2.5=AB,
    ∴OD=AB=2.5,
    ∴OC=2.5﹣1=1.5,
    故答案为:1.5.
    三、解答题:本大题9小题,共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
    【解答】解:原式=(+)÷
    =•
    =,
    ∵x≠0且x﹣2≠0,
    ∴x≠0且x≠2,
    ∴x=1,
    则原式==﹣1.
    18.(10分)如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
    (1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
    (2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【解答】解:(1)把点A(4,0)代入二次函数有:
    0=﹣16+4b+3
    得:b=
    所以二次函数的关系式为:y=﹣x2+x+3.
    当x=0时,y=3
    ∴点B的坐标为(0,3).

    (2)如图:
    作AB的垂直平分线交x轴于点P,连接BP,
    则:BP=AP
    设BP=AP=x,则OP=4﹣x,
    在直角△OBP中,BP2=OB2+OP2
    即:x2=32+(4﹣x)2
    解得:x=
    ∴OP=4﹣=
    所以点P的坐标为:(,0)
    综上可得点P的坐标为(,0).

    19.(10分)如图,在半径为4的⊙O中,E为的中点,OE交BC于F,D为⊙O上一点,DE交AC于G,AD=AG.
    (1)求证:AD是⊙O的切线;
    (2)若∠A=60°,求ED的长.

    【解答】(1)证明:连接OD.

    ∵E为的中点,
    ∴OE⊥BC于F,
    ∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°,
    ∵OD=OE,
    ∴∠ODE=∠OED,
    ∵∠AGD=∠ADG,
    ∴∠ADG+∠ODE=90°.
    即OD⊥AD,
    ∴AD是⊙O的切线;
    (2)解:作OH⊥ED于H,
    ∴DE=2DH,
    ∵∠ADG=∠AGD,
    ∴AG=AD,
    ∵∠A=60°,
    ∴∠ADG=60°,
    ∴∠ODE=30°,
    ∵OD=4,
    ∴DH=OD=2,
    ∴DE=2DH=4.
    20.(10分)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米.

    (1)求∠BAD的度数.
    (2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米).
    (参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,tan84°≈)
    【解答】解:(1)∵∠ADC=84°,∠ABC=37°,
    ∴∠BAD=∠ADC﹣∠ABC=47°,
    答:∠BAD的度数是47°.
    (2)在Rt△ABC中,,
    ∴.
    在Rt△ADC中,,
    ∵BD=4,
    ∴,
    ∴,
    ∴AC≈3.3(米),
    答:表AC的长是3.3米.
    21.(10分)在正方形ABCD中,点M是边AB的中点,点E在线段AM上(不与点A重合),点F在边BC上,且AE=2BF,连接EF,以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.

    (1)如图1,若AB=4,当点E与点M重合时,求正方形EFGH的面积;
    (2)如图2,已知直线HG分别与边AD,BC交于点I,J,射线EH与射线AD交于点K,求证:EK=2EH.
    【解答】(1)解:如图1,
    ∵点M是边AB的中点,若AB=4,当点E与点M重合,
    ∴AE=BE=2,
    ∵AE=2BF,
    ∴BF=1,
    在Rt△EBF中,EF2=EB2+BF2=22+12=5,
    ∴正方形EFGH的面积=EF2=5;

    (2)如图2,
    证明:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠A=∠B=90°,
    ∴∠K+∠AEK=90°,
    ∵四边形EFGH是正方形,
    ∴∠KEF=90°,EH=EF,
    ∴∠AEK+∠BEF=90°,
    ∴∠AKE=∠BEF,
    ∴△AKE∽△BEF,
    ∴,
    ∵AE=2BF,
    ∴,
    ∴EK=2EF,
    ∴EK=2EH;
    22.(12分)为落实国家“双减”政策,我校在课延时服务时间里开展体育锻炼活动,其项目有“A篮球、B长跑、C排球、D武术”四个类别,现从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种体育活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

    根据图中信息,解答下列问题:
    (1)参加问卷调查的学生共有  60 人;
    (2)条形统计图中m的值为  11 ;
    (3)扇形统计图中a的度数为  90° ;
    (4)全校学生中最喜欢“武术”约有多少人?
    【解答】解:(1)24÷40%=60(人),
    ∴参加问卷调查的学生共有60人.
    故答案为:60;
    (2)由题意得,m=60﹣10﹣24﹣15=11.
    故答案为:11;
    (3)360°×=90°.
    故答案为:90°;
    (4)3000×=550(人),
    答:全校学生中最喜欢“武术”约有550人.
    23.(12分)紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源,具有约10﹣14亿年的成矿历史,因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成,形似古代官宦朝服中的玉带,故俗称“紫袍玉带石”.小李在某网店选中A,B两款紫袍玉带石,决定从该网店进货并销售,两款玉带石的进货价和销售价如表:
    类别价格
    A款玉带石
    B款玉带石
    进货价(元/个)
    40
    30
    销售价(元/个)
    56
    45
    (1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玉带石各购进多少个.
    (2)第二次小李进货时,网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半,小李计划购进两款玉带石共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
    (3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玉带石全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
    【解答】解:(1)设A款玉带石购进x个,B款玉带石购进(30﹣x)个,
    由题意,得40x+30(30﹣x)=1100,
    解得:x=20,
    30﹣20=10(个),
    答:A款玉带石购进20个,B款玉带石购进10个;
    (2)设A款玉带石购进a个,B款玉带石玩偶购进(30﹣a)个,获利y元,
    由题意,得y=(56﹣40)a+(45﹣30)(30﹣a)=a+450.
    ∵A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半.
    ∴a≤(30﹣a),
    ∴a≤10,
    ∵y=a+450.
    ∴k=1>0,
    ∴y随a的增大而增大.
    ∴a=10时,y最大=460,
    ∴B款玉带石为:30﹣10=20(个).
    答:按照A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润,最大利润是460元;
    (3)第一次的利润率=×100%≈42.7%;
    第二次的利润率=×100%=46%,
    ∵46%>42.7%,
    ∴对于小李来说第二次的进货方案更合算.
    24.(12分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
    (1)求证:∠ADE=∠PAE.
    (2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
    (3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

    【解答】(1)证明:连接OA,如图,

    ∵PA为⊙O的切线,
    ∴AO⊥PA,
    ∴∠OAE+∠PAE=90°.
    ∵DE是⊙O的直径,
    ∴∠DAE=90°,
    ∴∠ADE+∠AED=90°.
    ∵OA=OE,
    ∴∠OAE=∠AED,
    ∴∠ADE=∠PAE;
    (2)证明:由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,
    ∵∠DAE=90°,
    ∴∠AED=90°﹣∠ADE=60°.
    ∵∠AED=∠PAE+∠APE,
    ∴∠APE=∠PAE=30°,
    ∴AE=PE;
    (3)解:设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,
    ∴OA=OE=,
    ∴OC=OE﹣CE=,
    OP=OE+PE=.
    ∵PA、PB为⊙O的切线,
    ∴PA=PB,PO平分∠APB,
    ∴PO⊥AB.
    ∵PA为⊙O的切线,
    ∴AO⊥PA,
    ∴△OAC∽△OPA,
    ∴,
    ∴,
    即:x2+10x﹣24=0.
    解得:x=2或﹣12(不合题意,舍去),
    ∴CE=2.
    25.(12分)定义:在一个等腰三角形底边的高线上所有点中,到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.
    【基础巩固】
    (1)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD为BC边上的高,已知AD上一点E满足∠DEC=60°,AC=,求AE+BE+CE= 12+ ;
    【尝试应用】
    (2)如图2,等边三角形ABC边长为,E为高线AD上的点,将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”;
    【拓展提高】
    (3)如图3,在菱形ABCD中,过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F,连接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

    【解答】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AC=,
    ∴BD=CD=AD=,
    ∵∠DEC=60°,
    ∴DE==4,
    ∴AE=AD﹣DE=,CE=BE=2DE=8,
    ∴AE+BE+CE=+8×2=12+;
    故答案为:12+;
    (2)由题意可得:AE=AF,∠EAF=60°,
    ∴△EAF为等边三角形,
    ∴AE=EF=AF,
    ∴AE+BE+CE=EF+BE+GF,
    ∵B、G两点均为定点,
    ∴当B、E、F、G四点共线时,EF+BE+GF最小,
    ∴∠AEB=120°,∠AEC=∠AFG=120°,
    ∴∠BEC=120°,
    ∴此时E点为等边△ABC的中心,
    ∴AE+BE+CE=3AE==12,
    故等边三角形ABC的“最近值”为12;
    (3)如图,过点D作DM⊥AB于点M,

    ∵∠BDA=75°,AB=AD,
    ∴∠DAB=30°,
    ∴2DM=AD=AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴EF=DM,
    ∴2EF=AB,
    ∴AE=BE=EF=3,
    ∴△AEF与△BEF均为等腰直角三角形,
    ∴△ABF为等腰直角三角形,
    设P为EF上一点,由(2)得:∠APF=∠BPF=∠APB=120°时,PA+PB+PF最小,
    此时:EP==,
    ∴AP=BP=2EP=,FP=EF﹣EP=3﹣,
    ∴AP+BP+FP==3+,
    ∴(AP+BP+FP)2==,
    ∴三角形AFB“最近值”的平方为.

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