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2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷
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这是一份2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，
1．（3分）在有理数0，﹣2，﹣3，4中，其中最小的是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．4
2．（3分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．（3分）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022—2035年）》，《山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（2021—2025年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
1
4
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，100
4．（3分）党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．数据114万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1014元
C．1.14×1013元 D．1.14×1012元
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．6a2﹣2a2＝4 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
C．（ 2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．（2m3）2÷（2m）2＝m4
6．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．144° D．156°
7．（3分）在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18°的斜坡向上移动了15m，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：m）
A．15 B．15sin18° C．15cos18° D．15tan18°
8．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x﹣6）＝864
9．（3分）如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（ ）
A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20℃
C．当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
10．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 ．
12．（3分）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 ．
13．（3分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉宾，以习礼仪．春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 ．
14．（3分）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 ．
15．（3分）在Rt△ABC中．，将△ABC沿BC翻折到△DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．求证：△ABE≌△CDF．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求△ACB的面积．
19．（10分）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
20．（8分）某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；
（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：
方案一，甲组租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变．
方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变．
设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数．
21．（8分）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BC＜AB），可得线段AB的长度为定值．我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BC＞AC，AB﹣BC＜AC．
当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况．在图2中，线段AC取最小值为AB﹣BC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC．
模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BC＜AB），则有结论AB+BC≥AC，AB﹣BC≤AC．当且仅当点B运动至A，C，B三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想
B．统计思想
C．分类讨论
D．函数思想
（2）已知线段AB＝10cm，点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 cm；
（3）已知⊙O的直径为2cm，点A为⊙O上一点，点B为平面内任意一点，且OB＝1cm，则AB的最大值是 cm；
（4）如图4，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变．其中AB＝2，BC＝1．运动过程中，求点D到点O的最大距离．
22．（12分）综合与实践：
操作发现：
如图1．在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和△ABC拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为△ABE和△ACF；
第三步：分别延长EB和FC相交于点G．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
拓广探索：
（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N．将△AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到△AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BD＝6，DC＝4，求MN的长．
23．（14分）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，
1．（3分）在有理数0，﹣2，﹣3，4中，其中最小的是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．4
【解答】解：如图，
由图可知，﹣3＜﹣2＜0＜4．
故选：C．
2．（3分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【解答】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少有1+1+1+4＝7（个）．
故选：A．
3．（3分）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022—2035年）》，《山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（2021—2025年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
1
4
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，100
【解答】解：∵中位数是第5个，第6个数据的平均数即＝92.5，
∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95．
故选：A．
4．（3分）党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．数据114万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1014元
C．1.14×1013元 D．1.14×1012元
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．6a2﹣2a2＝4 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
C．（ 2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．（2m3）2÷（2m）2＝m4
【解答】解：6a2﹣2a2＝4a2，
故A不符合题意；
（﹣ab2）3＝﹣a3b6，
故B不符合题意；
（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，
故C不符合题意；
（2m3）2÷（2m）2＝m4，
故D符合题意，
故选：D．
6．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．144° D．156°
【解答】解：如图，作c∥a，
∵三角尺是含30°角的三角尺，
∴∠3+∠4＝60°，
∵a∥c，
∴∠1＝∠3＝36°，
∴∠4＝60°﹣36°＝24°，
∵a∥c，a∥b，
∴b∥c，
∴∠2＝180°﹣24°＝156°．
故选：D．
7．（3分）在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18°的斜坡向上移动了15m，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：m）
A．15 B．15sin18° C．15cos18° D．15tan18°
【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，
由题意可得：sin18°＝＝，
则BC＝15sin18°．
故选：B．
8．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x﹣6）＝864
【解答】解：∵宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，
∴长为（x+12）步，
又∵直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），
∴根据题意可列出方程x（x+12）＝864．
故选：A．
9．（3分）如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（ ）
A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20℃
C．当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
【解答】解：由图象可知，
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而增大，故选项A不符合题意；
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度小于20℃，故选项B不符合题意；
当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度小于氯化氨的溶解度，故选项C不符合题意；
当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度，说法正确，故选项D符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∵AD∥BO，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 y＝x+5（答案不唯一） ．
【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而增大，且该函数图象经过点（0，5），
∴该函数为一次函数，
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＞0，b＝5．
取k＝1，此时一次函数的表达式为y＝x+5．
故答案为：y＝x+5（答案不唯一）．
12．（3分）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 （﹣2，2） ．
【解答】解：如图所示：“馬”的坐标是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
13．（3分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉宾，以习礼仪．春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 2 ．
【解答】解：平均数为＝4，
这组数据的方差为：[（5﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 （3，0） ．
【解答】解：∵一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，
令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则x＝＝，
∴A（0，3），B（，0），
OA＝3，OB＝，
tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
将AB逆时针旋转30°后，则∠OAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴tan∠ACO＝＝＝，
∴OC＝3，
∴C（3，0）．
15．（3分）在Rt△ABC中．，将△ABC沿BC翻折到△DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 ．
【解答】解：设BC的垂直平分线与BD交于点F，连接CE、CF，
∵EF垂直平分BC，
∴CE＝BE，
设CE＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝4﹣x，
在Rt△CAE中，由勾股定理得AC2+AE2＝CE2，
即，
解得：x＝3，
∴CE＝BE＝3，
由折叠可知，AC＝CD＝，∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠DBC，
∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠FCB＝∠ABC＝∠BCE，
∴CF∥AB，∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACF＝180°﹣∠A＝90°，
∴∠ECD＝∠BCE+∠FCB+∠DCF＝∠BCE+∠FCB+∠ACE＝∠ACF＝90°，
在Rt△ECD中，由勾股定理得＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝﹣1×3×3﹣（﹣）×4
＝﹣9+
＝﹣7；
（2）
＝•
＝．
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．求证：△ABE≌△CDF．
【解答】证明：矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求△ACB的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+4的图象过点A（1，m），
∴m＝1+4＝5，
∴A（1，5），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点C是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴C（5，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+4得，1＝x+4，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，1），
∴CD＝3+5＝8，
∴S△ABC＝×5×8＝20．
19．（10分）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 90° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【解答】解：（1）（45+50+15）÷（1﹣30%﹣15%）＝200（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数＝360°×＝90°；
故答案为：200，90°；
（2）用公交卡支付的人数为200×30%＝60（人），
用现金支付的人数为200×15%＝30（人），
条形统计图补充为：
（3）小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
20．（8分）某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；
（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：
方案一，甲组租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变．
方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变．
设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，
根据题意得，
解得．
答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；
（2）设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据题意得
＝，
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乙车间需临时招聘5名工人．
21．（8分）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BC＜AB），可得线段AB的长度为定值．我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BC＞AC，AB﹣BC＜AC．
当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况．在图2中，线段AC取最小值为AB﹣BC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC．
模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BC＜AB），则有结论AB+BC≥AC，AB﹣BC≤AC．当且仅当点B运动至A，C，B三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 C ；（填选项）
A．方程思想
B．统计思想
C．分类讨论
D．函数思想
（2）已知线段AB＝10cm，点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 10 cm；
（3）已知⊙O的直径为2cm，点A为⊙O上一点，点B为平面内任意一点，且OB＝1cm，则AB的最大值是 2 cm；
（4）如图4，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变．其中AB＝2，BC＝1．运动过程中，求点D到点O的最大距离．
【解答】解：（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想，
故答案为：C；
（2）如图所示：线段AC与BC的和最小是10cm．
故答案为：10；
（3）∵⊙O的直径为2cm，OB＝1cm，
∴点B在圆上，
∵点A为⊙O上一点，
∴AB直径时，AB有最大值，即AB＝2cm，
故答案为：2；
（4）如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝2，
∴OE＝AE＝AB＝1，
∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，
∴DE＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1．
22．（12分）综合与实践：
操作发现：
如图1．在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和△ABC拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为△ABE和△ACF；
第三步：分别延长EB和FC相交于点G．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
拓广探索：
（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N．将△AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到△AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BD＝6，DC＝4，求MN的长．
【解答】（1）证明：∵△AEB由△ADB翻折得到，△AFC由△ADC翻折得到，
∴AD＝AE，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB，AF＝AD，∠AFC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠FAC，
∴AE＝AF＝AD，∠AEB＝∠AFC＝90°，∠EAF＝2（∠BAD+∠CAD）＝2∠BAC＝90°，
∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AF，
∴矩形AEGF为正方形；
（2）解：∵△AFH由△AEM旋转得到，
∴△AFH≌△AEM，
∴AM＝AH，∠EAM＝∠FAH，EM＝FH，
由（1）可知，四边形ABCD是正方形，
∴∠AEM＝∠AFE＝45°，
∴∠HFN＝∠HFA+∠AFE＝∠AEM+∠AFE＝45°+45°＝90°，∠HAN＝∠HAF+∠CAF＝∠EAM+∠CAF＝∠MAN＝45°，
在△MAN与△HAN中，
，
∴△MAN≌△HAN（SAS），
∴MN＝NH，
在Rt△NFH中，NH2＝NF2+FH2，
∴MN2＝NF2+FH2；
（3）解：由翻折可知，BM＝BD＝6，CF﹣DC＝4，
设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，
∴BG＝x﹣6，CG＝x﹣4，
在Rt△BGC中，BG2+GC2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝（6+4）2，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴正方形AEGF的边长为12，
∴EF＝12，
过点M作MM1⊥AE，作MM2⊥EB，如图3：
∵∠AEM＝∠BEM＝45°，
∴MM1＝MM2，
∴四边形MM1EM2为正方形，设MM1＝MM2＝a，则△AM1M∽△AEB，
∴，
即，
解得：a＝4，
∴EM＝，
设MN＝x，则NH＝x，则NF＝EF﹣EM﹣MN＝，
由（2）可知，FH＝EM＝4，且MN2＝NF2+FH2，
∴，
解得：x＝5，
∴MN＝5．
23．（14分）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
在中，令y＝0得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴A的坐标为（﹣3，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）连接OD，如图：
设D（m，m2+m﹣4），
∴S△AOD＝×3×（﹣m2﹣m+4）＝﹣2m2+4m+6，
S△COD＝×4×（﹣m）＝﹣2m，
S△BOC＝×4×1＝2，
∴S＝﹣2m2+4m+6﹣2m+2＝﹣2m2+2m+8＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，S取最大值，最大值为，
此时D（﹣，﹣5），
∴当D坐标为（﹣，﹣5）时，四边形ABCD面积S的最大值为；
（3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
由y＝x2+x﹣4可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设P（﹣1，t），Q（p，q），
又A（﹣3，0），C（0，4），
以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，则AC的中点与PQ的中点重合，且AP＝CP，
∴，
解得，
∴P的坐标为（﹣1，），
答：存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，P的坐标为（﹣1，）．
2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，
1．（3分）在有理数0，﹣2，﹣3，4中，其中最小的是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．4
2．（3分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．（3分）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022—2035年）》，《山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（2021—2025年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
1
4
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，100
4．（3分）党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．数据114万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1014元
C．1.14×1013元 D．1.14×1012元
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．6a2﹣2a2＝4 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
C．（ 2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．（2m3）2÷（2m）2＝m4
6．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．144° D．156°
7．（3分）在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18°的斜坡向上移动了15m，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：m）
A．15 B．15sin18° C．15cos18° D．15tan18°
8．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x﹣6）＝864
9．（3分）如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（ ）
A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20℃
C．当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
10．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 ．
12．（3分）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 ．
13．（3分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉宾，以习礼仪．春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 ．
14．（3分）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 ．
15．（3分）在Rt△ABC中．，将△ABC沿BC翻折到△DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．求证：△ABE≌△CDF．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求△ACB的面积．
19．（10分）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
20．（8分）某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；
（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：
方案一，甲组租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变．
方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变．
设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数．
21．（8分）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BC＜AB），可得线段AB的长度为定值．我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BC＞AC，AB﹣BC＜AC．
当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况．在图2中，线段AC取最小值为AB﹣BC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC．
模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BC＜AB），则有结论AB+BC≥AC，AB﹣BC≤AC．当且仅当点B运动至A，C，B三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想
B．统计思想
C．分类讨论
D．函数思想
（2）已知线段AB＝10cm，点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 cm；
（3）已知⊙O的直径为2cm，点A为⊙O上一点，点B为平面内任意一点，且OB＝1cm，则AB的最大值是 cm；
（4）如图4，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变．其中AB＝2，BC＝1．运动过程中，求点D到点O的最大距离．
22．（12分）综合与实践：
操作发现：
如图1．在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和△ABC拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为△ABE和△ACF；
第三步：分别延长EB和FC相交于点G．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
拓广探索：
（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N．将△AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到△AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BD＝6，DC＝4，求MN的长．
23．（14分）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年山西省晋城市高平市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，
1．（3分）在有理数0，﹣2，﹣3，4中，其中最小的是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．4
【解答】解：如图，
由图可知，﹣3＜﹣2＜0＜4．
故选：C．
2．（3分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【解答】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少有1+1+1+4＝7（个）．
故选：A．
3．（3分）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022—2035年）》，《山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（2021—2025年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
1
4
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，100
【解答】解：∵中位数是第5个，第6个数据的平均数即＝92.5，
∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95．
故选：A．
4．（3分）党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．数据114万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1014元
C．1.14×1013元 D．1.14×1012元
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．6a2﹣2a2＝4 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
C．（ 2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．（2m3）2÷（2m）2＝m4
【解答】解：6a2﹣2a2＝4a2，
故A不符合题意；
（﹣ab2）3＝﹣a3b6，
故B不符合题意；
（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，
故C不符合题意；
（2m3）2÷（2m）2＝m4，
故D符合题意，
故选：D．
6．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．144° D．156°
【解答】解：如图，作c∥a，
∵三角尺是含30°角的三角尺，
∴∠3+∠4＝60°，
∵a∥c，
∴∠1＝∠3＝36°，
∴∠4＝60°﹣36°＝24°，
∵a∥c，a∥b，
∴b∥c，
∴∠2＝180°﹣24°＝156°．
故选：D．
7．（3分）在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18°的斜坡向上移动了15m，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：m）
A．15 B．15sin18° C．15cos18° D．15tan18°
【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，
由题意可得：sin18°＝＝，
则BC＝15sin18°．
故选：B．
8．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x﹣6）＝864
【解答】解：∵宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，
∴长为（x+12）步，
又∵直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），
∴根据题意可列出方程x（x+12）＝864．
故选：A．
9．（3分）如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（ ）
A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20℃
C．当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
【解答】解：由图象可知，
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而增大，故选项A不符合题意；
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度小于20℃，故选项B不符合题意；
当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度小于氯化氨的溶解度，故选项C不符合题意；
当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度，说法正确，故选项D符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∵AD∥BO，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 y＝x+5（答案不唯一） ．
【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而增大，且该函数图象经过点（0，5），
∴该函数为一次函数，
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＞0，b＝5．
取k＝1，此时一次函数的表达式为y＝x+5．
故答案为：y＝x+5（答案不唯一）．
12．（3分）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 （﹣2，2） ．
【解答】解：如图所示：“馬”的坐标是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
13．（3分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉宾，以习礼仪．春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 2 ．
【解答】解：平均数为＝4，
这组数据的方差为：[（5﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 （3，0） ．
【解答】解：∵一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，
令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则x＝＝，
∴A（0，3），B（，0），
OA＝3，OB＝，
tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
将AB逆时针旋转30°后，则∠OAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴tan∠ACO＝＝＝，
∴OC＝3，
∴C（3，0）．
15．（3分）在Rt△ABC中．，将△ABC沿BC翻折到△DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 ．
【解答】解：设BC的垂直平分线与BD交于点F，连接CE、CF，
∵EF垂直平分BC，
∴CE＝BE，
设CE＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝4﹣x，
在Rt△CAE中，由勾股定理得AC2+AE2＝CE2，
即，
解得：x＝3，
∴CE＝BE＝3，
由折叠可知，AC＝CD＝，∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠DBC，
∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠FCB＝∠ABC＝∠BCE，
∴CF∥AB，∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACF＝180°﹣∠A＝90°，
∴∠ECD＝∠BCE+∠FCB+∠DCF＝∠BCE+∠FCB+∠ACE＝∠ACF＝90°，
在Rt△ECD中，由勾股定理得＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝﹣1×3×3﹣（﹣）×4
＝﹣9+
＝﹣7；
（2）
＝•
＝．
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．求证：△ABE≌△CDF．
【解答】证明：矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求△ACB的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+4的图象过点A（1，m），
∴m＝1+4＝5，
∴A（1，5），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点C是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴C（5，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+4得，1＝x+4，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，1），
∴CD＝3+5＝8，
∴S△ABC＝×5×8＝20．
19．（10分）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 90° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【解答】解：（1）（45+50+15）÷（1﹣30%﹣15%）＝200（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数＝360°×＝90°；
故答案为：200，90°；
（2）用公交卡支付的人数为200×30%＝60（人），
用现金支付的人数为200×15%＝30（人），
条形统计图补充为：
（3）小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
20．（8分）某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；
（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：
方案一，甲组租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变．
方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变．
设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，
根据题意得，
解得．
答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；
（2）设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据题意得
＝，
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乙车间需临时招聘5名工人．
21．（8分）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BC＜AB），可得线段AB的长度为定值．我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BC＞AC，AB﹣BC＜AC．
当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况．在图2中，线段AC取最小值为AB﹣BC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC．
模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BC＜AB），则有结论AB+BC≥AC，AB﹣BC≤AC．当且仅当点B运动至A，C，B三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 C ；（填选项）
A．方程思想
B．统计思想
C．分类讨论
D．函数思想
（2）已知线段AB＝10cm，点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 10 cm；
（3）已知⊙O的直径为2cm，点A为⊙O上一点，点B为平面内任意一点，且OB＝1cm，则AB的最大值是 2 cm；
（4）如图4，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变．其中AB＝2，BC＝1．运动过程中，求点D到点O的最大距离．
【解答】解：（1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想，
故答案为：C；
（2）如图所示：线段AC与BC的和最小是10cm．
故答案为：10；
（3）∵⊙O的直径为2cm，OB＝1cm，
∴点B在圆上，
∵点A为⊙O上一点，
∴AB直径时，AB有最大值，即AB＝2cm，
故答案为：2；
（4）如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝2，
∴OE＝AE＝AB＝1，
∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，
∴DE＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1．
22．（12分）综合与实践：
操作发现：
如图1．在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和△ABC拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为△ABE和△ACF；
第三步：分别延长EB和FC相交于点G．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
拓广探索：
（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N．将△AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到△AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BD＝6，DC＝4，求MN的长．
【解答】（1）证明：∵△AEB由△ADB翻折得到，△AFC由△ADC翻折得到，
∴AD＝AE，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB，AF＝AD，∠AFC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠FAC，
∴AE＝AF＝AD，∠AEB＝∠AFC＝90°，∠EAF＝2（∠BAD+∠CAD）＝2∠BAC＝90°，
∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AF，
∴矩形AEGF为正方形；
（2）解：∵△AFH由△AEM旋转得到，
∴△AFH≌△AEM，
∴AM＝AH，∠EAM＝∠FAH，EM＝FH，
由（1）可知，四边形ABCD是正方形，
∴∠AEM＝∠AFE＝45°，
∴∠HFN＝∠HFA+∠AFE＝∠AEM+∠AFE＝45°+45°＝90°，∠HAN＝∠HAF+∠CAF＝∠EAM+∠CAF＝∠MAN＝45°，
在△MAN与△HAN中，
，
∴△MAN≌△HAN（SAS），
∴MN＝NH，
在Rt△NFH中，NH2＝NF2+FH2，
∴MN2＝NF2+FH2；
（3）解：由翻折可知，BM＝BD＝6，CF﹣DC＝4，
设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，
∴BG＝x﹣6，CG＝x﹣4，
在Rt△BGC中，BG2+GC2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝（6+4）2，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴正方形AEGF的边长为12，
∴EF＝12，
过点M作MM1⊥AE，作MM2⊥EB，如图3：
∵∠AEM＝∠BEM＝45°，
∴MM1＝MM2，
∴四边形MM1EM2为正方形，设MM1＝MM2＝a，则△AM1M∽△AEB，
∴，
即，
解得：a＝4，
∴EM＝，
设MN＝x，则NH＝x，则NF＝EF﹣EM﹣MN＝，
由（2）可知，FH＝EM＝4，且MN2＝NF2+FH2，
∴，
解得：x＝5，
∴MN＝5．
23．（14分）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
在中，令y＝0得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴A的坐标为（﹣3，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）连接OD，如图：
设D（m，m2+m﹣4），
∴S△AOD＝×3×（﹣m2﹣m+4）＝﹣2m2+4m+6，
S△COD＝×4×（﹣m）＝﹣2m，
S△BOC＝×4×1＝2，
∴S＝﹣2m2+4m+6﹣2m+2＝﹣2m2+2m+8＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，S取最大值，最大值为，
此时D（﹣，﹣5），
∴当D坐标为（﹣，﹣5）时，四边形ABCD面积S的最大值为；
（3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
由y＝x2+x﹣4可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设P（﹣1，t），Q（p，q），
又A（﹣3，0），C（0，4），
以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，则AC的中点与PQ的中点重合，且AP＝CP，
∴，
解得，
∴P的坐标为（﹣1，），
答：存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，P的坐标为（﹣1，）．
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