2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《圆》(提高版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《圆》(提高版)

一              、选择题

1.若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于(  )

A.45°                    B.135°                  C.90°和270                      D.45°和135°

2.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(       )

A.12.5°       B.15°           C.20°         D.22.5°

3.如图，⊙P与x轴交于点A(﹣5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为(　　)

A.＋      B.2＋      C.4       D.2＋2

4.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.

下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形.

其中正确结论的序号是(        )

A.①③                       B.①②③④                        C.②③④                     D.①③④

5.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点(点C不与点A，B重合)，AB＝4.设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是(　　)

A.              B.              C.D.

6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝(　　)

A.3         B.3       C.4      D.2

7.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，交直线y＝x于A，B两点，已知圆心P的坐标为(2，a)(a＞2)，AB＝2，则a的值为(   ) 

A.4          B.2＋          C.          D.2＋

8.如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF.若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为(　　)

A.9﹣3π        B.9﹣2π        C.18﹣9π        D.18﹣6π

二              、填空题

9.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的二次项为1的一元二次方程是　            　.

10.如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为　　.

11.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是        .

12.如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，且OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为1的⊙C，圆心C从点(0，1)开始沿y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，⊙C运动的距离是　   　

13.如图，已知T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形.设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2.

下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝：2；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4.

其中正确的有　   　.(填序号)

14.如图，▱ABCD中，AC⊥CD，以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于E，交CD的延长线于点F，以AC上一点O为圆心OA为半径的圆与BC相切于点M，交AD于点N.若AC＝9cm，OA＝3cm，则图中阴影部分的面积为　   　cm2.

三              、解答题

15.如图，已知BC是⊙O的一条弦，点A是⊙O的优弧BAC的一个动点(点A与点B，C不重合)，∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，∠ABC的平分线BE交AP于点E，连接BP.

(1)求证：点P为弧BC的中点；

(2)PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由.

16.如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．

(1)求证：△APE是等腰直角三角形；

(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．

17.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积.

18.如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE.

(1)求证：直线PD是⊙A的切线；

(2)若PC=2，sin∠P=，求图中阴影部份的面积.

19.如图，在△OAB中，OA＝OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF.CF，CF与OA交于点G.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)求证：OD•EG＝OG•EF；

(3)若AB＝4BD，求sin∠A的值.

20.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；

(3)在(2)条件下，求BF的长.

参考答案

1.D.

2.B

3.C.

4.B

5.B.

6.D.

7.B.

8.A.

9.答案为：x2﹣x＋1＝0.

10.答案为：10.

11.答案为：4.

12.答案为：3或7.

13.答案为：①②④.

14.答案为：21π﹣.

15.证明：(1)∵∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，

即∠BAP＝∠CAP，

∴弧PB＝弧PC，

∴点P为弧BC的中点.

(2)PE的长度不会随点A的运动而变化.

理由如下：如图，

∵BE平分∠ABC，

∴∠4＝∠5.

∵∠3＝∠1＋∠4，

而∠1＝∠2，

∴∠3＝∠5＋∠2.

∵∠2＝∠6，

∴∠3＝∠5＋∠6，

∴PE＝PB，

∴PE的长度不会随点A的运动而变化.

16.(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝AB，∠PBA＝45°，

∴∠PEA＝∠PBA＝45°，

∵PE为⊙O的直径，

∴∠PAE＝90°，

∴△APE是等腰直角三角形；

(2)解：∵∠PAE＝∠CAB＝90°，

∴∠CAB－∠PAB＝∠PAE－∠PAB，

∴∠CAP＝∠BAE，

∵△ABC是等腰直角三角形，

又由(1)得△APE是等腰直角三角形，

∴PA＝AE，AC＝AB，

∴△CAP≌△BAE(SAS)，

∴CP＝BE，

∵PE为⊙O的直径，

∴∠PBE＝90°，

在Rt△PBE中，BE2＋PB2＝PE2＝4，

∴PC2＋PB2＝4.

17.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°.

∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，

∴∠AFB＋∠FAB=90°.

∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，

∴∠AFB＋∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB.

∴EC∥FG.

∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，

∴四边形EFGC是平行四边形，

∴EF∥CG；

(2)∵△ABF≌△CBE，

∴FB=BE=AB=1，

∴AF==.

在△FEC和△CGF中

∵EC=FG，∠ECF=∠GFC，FC=CF，

∴△FEC≌△CGF，

∴S△FEC=S△CGF.

∴S阴影=S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG

=＋×2×1＋×(1＋2)×1－=－.

18.解：(1)证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又∵PD=BC，

∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，

∴AH=CD.

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB，即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

(2)如图，在Rt△PDC中，sin∠P==，PC=2，

令CD=2x，PD=3x，由勾股定理得：

(3x)2﹣(2x)2=(2)2.解得：x=2，

∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为×4×2=4，

扇形ABE的面积为π×42=4π.

∴图中阴影部份的面积为24﹣4﹣4π=20﹣4π.

19.证明：(1)∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切线.

(2)∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF，

∵∠AOB＝∠OFE＋∠OEF，

∴∠AOC＝∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∵OD＝OC，

∴OD•EG＝OG•EF.

(3)∵AB＝4BD，

∴BC＝2BD，设BD＝m，BC＝2m，OC＝OD＝r，

在Rt△BOC中，∵OB2＝OC2＋BC2，

即(r＋m)2＝r2＋(2m)2，解得：r＝1.5m，OB＝2.5m，

∴sinA＝sinB＝.

20.(1)证明：连接OB，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵CB平分∠ACE，

∴∠OCB＝∠BCF，

∴∠OBC＝∠BCF，

∴∠ABO＝∠AEC＝90°，

∴OB⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

(2)解：连接DF交OB于G，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD＝90°，

∴∠CFD＝∠CEA，

∴DF∥AE，

∴∠CDF＝∠CAB，

∵∠CDF＝∠CBF，

∴∠A＝∠CBF，

∴cos∠CBF＝cos∠CEF＝，

∵AE＝8，

∴AC＝10，

∴CE＝6，

∵DF∥AE，

∴DF⊥OB，

∴DG＝GF＝BE，

设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，

∴OC＝OB＝2.5x，

∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，

∵AO2＝AB2+OB2，

∴(10﹣2.5x)2＝(8﹣2x)2+(2.5x)2，解得：x＝(负值舍去)，

∴⊙O的半径＝；

(3)解：由(2)知BE＝2x＝3，

∵AE是⊙O的切线；

∴∠BCE＝∠EBF，

∵∠E＝∠E，

∴△BEF∽△CEB，

∴，∴＝，

∴EF＝，

∴BF＝.