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2022—2023学年人教版数学八年级下册期中模拟卷
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这是一份2022—2023学年人教版数学八年级下册期中模拟卷，共24页。试卷主要包含了下列二次根式是最简二次根式的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
人教版2023年八年级下册精选期中模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15
3．在▱ABCD中，如果∠B＝130°，那么∠D的度数是（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A．﹣2.5 B． C． D．﹣2
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
7．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．10+5 D．35
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则△AOD的面积为 ．
13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．
14．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为 ．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
16．若，则＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算下列各题．
（1）；
（2）．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，且AE＝CF，连接EF与BD交于点O．求证：OE＝OF．
19．（6分）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
21．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
23．（10分）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
24．（12分）如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）当点P同时满足条件：①PA＝PB和②∠APB＝150°时，猜想四边形PEDC是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB中，，求四边形PEDC的面积．
25．（12分）如图在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1．
（1）若∠ABO＝30°，求m的值；
（2）点P是x轴上一点（不与原点重合），当PA⊥PB时
①求证：PA＝PB；
②直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，AC⊥y轴于点C，AB交x轴于点K，求PK+KC﹣PO的值．
人教版2023年八年级下册精选期中模拟卷
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝0，不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
3．在▱ABCD中，如果∠B＝130°，那么∠D的度数是（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
【分析】根据平行四边形对角相等即可得出答案．
【解答】解：在▱ABCD中，∠D＝∠B＝130°，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；利用二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．2和4不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ＝＝×＝2，所以B选项不符合题意；
C． ÷＝＝3，所以C项符合题意；
D． ＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A．﹣2.5 B． C． D．﹣2
【分析】先由勾股定理求出OB的长，再根据OA＝OB求得，从而可得A表示的数即可．
【解答】解：由数轴可知，
∵OA＝OB，
∴，
∴数轴上点A表示的数为．
故选：C．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可．
【解答】解：A、当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
C、当▱ABCD是正方形时，由正方形的对角线可得AC＝BD，故该选项不符合题意；
D、当▱ABCD是菱形时，可得AB＝BC＝CD＝DA，不能得到AB＝AC，故该选项符合题意；
故选：D．
7．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到AB的长，然后根据勾股定理可以得到AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到OD的长，本题得以解决．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝8，OP＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB，
∴P是BC边的中点，
∴BC＝AD＝8，AB＝2OP＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°，
∴OD＝AC＝5，
故选：C．
8．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
【分析】两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是1cm所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长．
【解答】解：由题意得：两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，
则重叠部分为平行四边形，
又∵高都是1cm
∴这个平行四边是菱形，
∵夹角为45°，
∴菱形边长为，
∴重合部分四边形ABCD的周长为4cm
故选：A．
9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．10+5 D．35
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，
由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．
（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，
由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5；
由于25＜5＜5，
故选：B．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形ABCD是菱形，作出F关于AB的对称点F'，再过F'作F'E′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，求出F'E即可．
【解答】解：作出F关于AB的对称点F'，再过F'作F'E′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，此时P′E′+P′F＝F'E′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，
∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，
∴AC＝AD，BC＝BD，
∵AC＝BC，
∴AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC是菱形，
∵AD∥BC，
∴F'E′＝AN，
∵AC＝BC，
∴AH＝AB＝1，
由勾股定理可得，CH＝＝＝2，
∵×AB×CH＝×BC×AN，
∴AN＝，
∴F'E′＝AN＝，
∴PE+PF最小为，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数a的取值范围是 a≥﹣2且a≠1 ．
【分析】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出a+2≥0且a﹣1≠0，再求出答案即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴a+2≥0且a﹣1≠0，
解得：a≥﹣2且a≠1，
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则△AOD的面积为 6 ．
【分析】先根据菱形的性质可得OA＝4，OD＝3，AC⊥BD，再利用三角形的面积公式即可得．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，
∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，AC⊥BD，
则△AOD的面积为OA•OD＝×4×3＝6．
故答案为：6．
13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ③ ．
【分析】利用勾股定理求得AB长，进而求得CB′求解．
【解答】解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
14．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为 20 ．
【分析】根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，可求出直角三角形的面积，即可求解．
【解答】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（72﹣32）÷4＝10，
即ab＝10，
∴ab＝20，
故答案为：20．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （﹣5，3） ．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝5＝CD，
∴DO＝＝＝3，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣5，3）．
故答案为（﹣5，3）．
16．若，则＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质得到a+＝3，b＝1，再根据完全平方公式、绝对值的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵+b2﹣2b+1＝0，
∴+（b﹣1）2＝0，
∴a2﹣3a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a+＝3，b＝1，
∴（a+）2＝9，
∴a2+＝7，
则原式＝﹣|﹣1|＝﹣+1＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算下列各题．
（1）；
（2）．
【分析】（1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（2）先将二次根式化简，然后再按照二次根式的加减混合运算的顺序和法则进行计算．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣1；
（2）
＝2+﹣+
＝3+．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，且AE＝CF，连接EF与BD交于点O．求证：OE＝OF．
【分析】连接DE，BF，根据一组对边平行且相等，证明四边形DEBF是平行四边形，得出结论．
【解答】证明：连接DE，BF，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
∴OE＝OF．
19．（6分）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？
【分析】利用勾股定理求出DB，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC即可求出空地的面积．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝20米，AD＝15米，
∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252，
则BD＝25米，
在△CDB中，CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，
∴BC2+CD2＝242+72＝252＝DB2，
∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC＝×15×20+×7×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米，
∵铺一平方米草坪需要20元，
∴234×20＝4680（元），
答：铺这块空地需要投入4680元钱．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
21．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【分析】（1）先代入分别求出x+y，x﹣y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；
（2）先代入分别求出x+y，xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，xy＝（+1）×（﹣1）＝2，
（1）x2﹣y2；
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
（2）x2+xy+y2．
＝（x+y）2﹣xy
＝（2）2﹣2
＝10．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证出∠AEF＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝2，AC＝2OE＝4，然后由勾股定理求出OB＝3，则BD＝2OB＝6，最后由菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
23．（10分）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可；
（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，
∴BC＝＝＝40（m），
答：BC的长为40m；
（2）这辆小汽车超速了，理由如下：
∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，
∴这辆小汽车超速了．
24．（12分）如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）当点P同时满足条件：①PA＝PB和②∠APB＝150°时，猜想四边形PEDC是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB中，，求四边形PEDC的面积．
【分析】（1）证明DE＝PC，PE＝CD即可；
（2）根据正方形的判定解决问题即可；
（3）过C作CH垂直EP的延长线于H，依据ED＝CP，EP＝DC，即可得出四边形PCDE是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得∠APB＝90°，求出∠EPC＝150°，再由30°的直角三角形性质求出CH的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∵PC＝PB，
∴DE＝PC，
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形；
（2）解：此时四边形PEDC为正方形．
理由：当PA＝PB时，
∵PE＝PA，PC＝PB，
∴PE＝PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
又∵四边形PEDC是菱形，
∴四边形PEDC是正方形．
（3）解；如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，
∵AB＝3，PA＝，PB＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴CH＝CP＝PB＝1，
又PE＝PA＝，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝．
25．（12分）如图在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1．
（1）若∠ABO＝30°，求m的值；
（2）点P是x轴上一点（不与原点重合），当PA⊥PB时
①求证：PA＝PB；
②直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，AC⊥y轴于点C，AB交x轴于点K，求PK+KC﹣PO的值．
【分析】（1）首先判断出OA⊥OB，然后根据∠ABO＝30°，判断出OB、OA的关系，即可求出m的值是多少；
（2）①过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1，根据相似三角形的判定得出△APM∽△PBN，求出x的值，从而得出PN＝1，在△APM和△PBN中，根据AAS得出△APM≌△PBN，得出PA＝PB；
②根据①可直接得出点P的坐标为（m﹣1，0）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+b，把A、B点的坐标代入，求出k，b的值，得出OK的值，可得点K坐标，再求出PK，CK即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点A（﹣1，1），点B（m，m），
∴OA所在的直线的解析式是y＝﹣x，OB所在的直线的解析式是y＝x，
∵OA、OB所在的直线的斜率的乘积是：（﹣1）×1＝﹣1，
∴OA⊥OB，
又∵∠ABO＝30°，
∴OB＝OA，
∵点A（﹣1，1），点B（m，m），
∴OA＝，OB＝m，
∴m＝，
∴m＝；
（2）①证明：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1，
∵PA⊥PB，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠BPN＝∠PAM，
∴△APM∽△PBN，
∴＝，
∴＝，
∴x1＝1，x2＝m（舍去），
∴PN＝1，
∴AM＝PN，
在△APM和△PBN中，
，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴PA＝PB；
②解：由①可知，PN＝AM＝1，ON＝m，
∴OP＝m﹣1，
∴点P的坐标为（m﹣1，0）；
（3）设AB的解析式为：y＝kx+b，
，
解得：k＝，b＝，
∴y＝x+，
∴OK＝，K（0，），
∴PK＝＝，KC＝﹣1＝，
∴PK+KC﹣OP＝+﹣（m﹣1）＝1．
人教版2023年八年级下册精选期中模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15
3．在▱ABCD中，如果∠B＝130°，那么∠D的度数是（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A．﹣2.5 B． C． D．﹣2
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
7．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．10+5 D．35
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则△AOD的面积为 ．
13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．
14．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为 ．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
16．若，则＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算下列各题．
（1）；
（2）．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，且AE＝CF，连接EF与BD交于点O．求证：OE＝OF．
19．（6分）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
21．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
23．（10分）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
24．（12分）如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）当点P同时满足条件：①PA＝PB和②∠APB＝150°时，猜想四边形PEDC是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB中，，求四边形PEDC的面积．
25．（12分）如图在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1．
（1）若∠ABO＝30°，求m的值；
（2）点P是x轴上一点（不与原点重合），当PA⊥PB时
①求证：PA＝PB；
②直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，AC⊥y轴于点C，AB交x轴于点K，求PK+KC﹣PO的值．
人教版2023年八年级下册精选期中模拟卷
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝0，不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
3．在▱ABCD中，如果∠B＝130°，那么∠D的度数是（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
【分析】根据平行四边形对角相等即可得出答案．
【解答】解：在▱ABCD中，∠D＝∠B＝130°，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；利用二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．2和4不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ＝＝×＝2，所以B选项不符合题意；
C． ÷＝＝3，所以C项符合题意；
D． ＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A．﹣2.5 B． C． D．﹣2
【分析】先由勾股定理求出OB的长，再根据OA＝OB求得，从而可得A表示的数即可．
【解答】解：由数轴可知，
∵OA＝OB，
∴，
∴数轴上点A表示的数为．
故选：C．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可．
【解答】解：A、当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
C、当▱ABCD是正方形时，由正方形的对角线可得AC＝BD，故该选项不符合题意；
D、当▱ABCD是菱形时，可得AB＝BC＝CD＝DA，不能得到AB＝AC，故该选项符合题意；
故选：D．
7．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到AB的长，然后根据勾股定理可以得到AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到OD的长，本题得以解决．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝8，OP＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB，
∴P是BC边的中点，
∴BC＝AD＝8，AB＝2OP＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°，
∴OD＝AC＝5，
故选：C．
8．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
【分析】两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是1cm所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长．
【解答】解：由题意得：两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，
则重叠部分为平行四边形，
又∵高都是1cm
∴这个平行四边是菱形，
∵夹角为45°，
∴菱形边长为，
∴重合部分四边形ABCD的周长为4cm
故选：A．
9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．10+5 D．35
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，
由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．
（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，
由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5；
由于25＜5＜5，
故选：B．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形ABCD是菱形，作出F关于AB的对称点F'，再过F'作F'E′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，求出F'E即可．
【解答】解：作出F关于AB的对称点F'，再过F'作F'E′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，此时P′E′+P′F＝F'E′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，
∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，
∴AC＝AD，BC＝BD，
∵AC＝BC，
∴AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC是菱形，
∵AD∥BC，
∴F'E′＝AN，
∵AC＝BC，
∴AH＝AB＝1，
由勾股定理可得，CH＝＝＝2，
∵×AB×CH＝×BC×AN，
∴AN＝，
∴F'E′＝AN＝，
∴PE+PF最小为，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数a的取值范围是 a≥﹣2且a≠1 ．
【分析】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出a+2≥0且a﹣1≠0，再求出答案即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴a+2≥0且a﹣1≠0，
解得：a≥﹣2且a≠1，
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则△AOD的面积为 6 ．
【分析】先根据菱形的性质可得OA＝4，OD＝3，AC⊥BD，再利用三角形的面积公式即可得．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，
∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，AC⊥BD，
则△AOD的面积为OA•OD＝×4×3＝6．
故答案为：6．
13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ③ ．
【分析】利用勾股定理求得AB长，进而求得CB′求解．
【解答】解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
14．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为 20 ．
【分析】根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，可求出直角三角形的面积，即可求解．
【解答】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（72﹣32）÷4＝10，
即ab＝10，
∴ab＝20，
故答案为：20．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （﹣5，3） ．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝5＝CD，
∴DO＝＝＝3，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣5，3）．
故答案为（﹣5，3）．
16．若，则＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质得到a+＝3，b＝1，再根据完全平方公式、绝对值的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵+b2﹣2b+1＝0，
∴+（b﹣1）2＝0，
∴a2﹣3a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a+＝3，b＝1，
∴（a+）2＝9，
∴a2+＝7，
则原式＝﹣|﹣1|＝﹣+1＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算下列各题．
（1）；
（2）．
【分析】（1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（2）先将二次根式化简，然后再按照二次根式的加减混合运算的顺序和法则进行计算．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣1；
（2）
＝2+﹣+
＝3+．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，且AE＝CF，连接EF与BD交于点O．求证：OE＝OF．
【分析】连接DE，BF，根据一组对边平行且相等，证明四边形DEBF是平行四边形，得出结论．
【解答】证明：连接DE，BF，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
∴OE＝OF．
19．（6分）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？
【分析】利用勾股定理求出DB，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC即可求出空地的面积．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝20米，AD＝15米，
∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252，
则BD＝25米，
在△CDB中，CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，
∴BC2+CD2＝242+72＝252＝DB2，
∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC＝×15×20+×7×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米，
∵铺一平方米草坪需要20元，
∴234×20＝4680（元），
答：铺这块空地需要投入4680元钱．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
21．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【分析】（1）先代入分别求出x+y，x﹣y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；
（2）先代入分别求出x+y，xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，xy＝（+1）×（﹣1）＝2，
（1）x2﹣y2；
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
（2）x2+xy+y2．
＝（x+y）2﹣xy
＝（2）2﹣2
＝10．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证出∠AEF＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝2，AC＝2OE＝4，然后由勾股定理求出OB＝3，则BD＝2OB＝6，最后由菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
23．（10分）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可；
（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，
∴BC＝＝＝40（m），
答：BC的长为40m；
（2）这辆小汽车超速了，理由如下：
∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，
∴这辆小汽车超速了．
24．（12分）如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）当点P同时满足条件：①PA＝PB和②∠APB＝150°时，猜想四边形PEDC是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB中，，求四边形PEDC的面积．
【分析】（1）证明DE＝PC，PE＝CD即可；
（2）根据正方形的判定解决问题即可；
（3）过C作CH垂直EP的延长线于H，依据ED＝CP，EP＝DC，即可得出四边形PCDE是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得∠APB＝90°，求出∠EPC＝150°，再由30°的直角三角形性质求出CH的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∵PC＝PB，
∴DE＝PC，
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形；
（2）解：此时四边形PEDC为正方形．
理由：当PA＝PB时，
∵PE＝PA，PC＝PB，
∴PE＝PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
又∵四边形PEDC是菱形，
∴四边形PEDC是正方形．
（3）解；如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，
∵AB＝3，PA＝，PB＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴CH＝CP＝PB＝1，
又PE＝PA＝，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝．
25．（12分）如图在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1．
（1）若∠ABO＝30°，求m的值；
（2）点P是x轴上一点（不与原点重合），当PA⊥PB时
①求证：PA＝PB；
②直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，AC⊥y轴于点C，AB交x轴于点K，求PK+KC﹣PO的值．
【分析】（1）首先判断出OA⊥OB，然后根据∠ABO＝30°，判断出OB、OA的关系，即可求出m的值是多少；
（2）①过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1，根据相似三角形的判定得出△APM∽△PBN，求出x的值，从而得出PN＝1，在△APM和△PBN中，根据AAS得出△APM≌△PBN，得出PA＝PB；
②根据①可直接得出点P的坐标为（m﹣1，0）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+b，把A、B点的坐标代入，求出k，b的值，得出OK的值，可得点K坐标，再求出PK，CK即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点A（﹣1，1），点B（m，m），
∴OA所在的直线的解析式是y＝﹣x，OB所在的直线的解析式是y＝x，
∵OA、OB所在的直线的斜率的乘积是：（﹣1）×1＝﹣1，
∴OA⊥OB，
又∵∠ABO＝30°，
∴OB＝OA，
∵点A（﹣1，1），点B（m，m），
∴OA＝，OB＝m，
∴m＝，
∴m＝；
（2）①证明：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1，
∵PA⊥PB，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠BPN＝∠PAM，
∴△APM∽△PBN，
∴＝，
∴＝，
∴x1＝1，x2＝m（舍去），
∴PN＝1，
∴AM＝PN，
在△APM和△PBN中，
，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴PA＝PB；
②解：由①可知，PN＝AM＝1，ON＝m，
∴OP＝m﹣1，
∴点P的坐标为（m﹣1，0）；
（3）设AB的解析式为：y＝kx+b，
，
解得：k＝，b＝，
∴y＝x+，
∴OK＝，K（0，），
∴PK＝＝，KC＝﹣1＝，
∴PK+KC﹣OP＝+﹣（m﹣1）＝1．
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