广东省深圳市南山区南山外国语（集团）2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区南山外国语（集团）2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列说法正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
南山区南山外国语（集团）2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．

2．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y

3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

4．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4

5．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两条边相交，若∠1＝40°，∠2＝23°，则∠C的度数为（　　）

A．40° B．50° C．63° D．67°
7．下列说法正确的个数是（　　）
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是60°的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BC＝6cm，△CBD的周长为14cm，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△ACB的周长为（　　）

A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm

9．不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF＝2；③AD⊥CF；④AF＝2；⑤∠CAF＝∠CFB．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知点A（﹣2022，﹣1）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝　 　．

12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 　 　cm．

13．把多项式ax2﹣ay2分解因式的结果为 　 　．

14．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 　．


15．△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为　 　．


三．解答题（共55分）
16．（5分）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．
．




17．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长（结果保留π）．


18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD＝CG．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝3，求CG的长．





19．（8分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：
（1）求出足球和篮球的单价；
（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？





20．（8分）阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+　 　．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若M＝﹣a2+2a﹣1，求M的最大值．







21．（8分）已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为　 　，∠APB的大小为　 　（直接写出结果，不证明）




22．（12分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，∠AOB＝15°，
∴∠AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∵∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′＝∠AOA′﹣∠A′OB′＝30°．
故选：B．
4．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
【解答】解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，
即x2+mx+4＝x2±4x+4，
∴m＝±4．
故选：D．
5．根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
【解答】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是（2，3），
所以关于x的不等式k1x＜k2x+4的解集是x＜2，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两条边相交，若∠1＝40°，∠2＝23°，则∠C的度数为（　　）

A．40° B．50° C．63° D．67°
【解答】解：过B作BD∥l1，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠ABD＝∠1＝40°，∠CBD＝∠2＝23°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝63°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝63°，
故选：C．

7．下列说法正确的个数是（　　）
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是60°的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误；②等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误；③正确；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误；⑤正确．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BC＝6cm，△CBD的周长为14cm，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△ACB的周长为（　　）

A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm
【解答】解：根据作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，∴△ABC的周长＝14+6＝20．故选：D．
9．不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a﹣1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，解得2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和﹣1，故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF＝2；③AD⊥CF；④AF＝2；⑤∠CAF＝∠CFB．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：①错误．∵CD＝DB，
∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC＝AB，显然与已知矛盾，故错误．
②正确．易证△DBF是等腰直角三角形，故BF＝BD＝2．
③正确．∵AC＝BC，∠ACD＝∠CBF，CD＝BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF＝90°，
∴∠CAD+∠ACF＝90°，
∴AD⊥CF．
④正确．在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，易证AF＝AD＝2．
⑤正确．∵△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF＝AF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∵AC∥BF，
∴∠CFB＝∠FCA＝∠CAF．
故选：B．

二．填空题（共5小题）
11．已知：点A（﹣2022，﹣1）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝　2023　．
【解答】解：∵点A（﹣2022，﹣1）与点B（a，b）关于原点对称，
∴﹣2022+a＝0，﹣1+b＝0，
即a＝2022，b＝1，
∴a+b＝2023．
故答案为：2023．
12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 　20　cm．
【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，8cm+4cm＞8cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是8+8+4＝20（cm）．
故答案为：20．
13．把多项式ax2﹣ay2分解因式的结果为 　a（x+y）（x﹣y）　．
【解答】解：ax2﹣ay2
＝a（x2﹣y2）
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
14．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　7.5　．

【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥AC，垂足为G，

∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF＝DG，
∵AB＝5，AC＝3，
∴＝＝＝，
∵△ABC的面积是24，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝×24＝15，
∵BE是△ABD边AD上的中线，
∴△ABE的面积＝△ABD的面积＝7.5，
故答案为：7.5．

15．△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为　　．

【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵∠PAE＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠EAC，
∵PA＝AE，BA＝CA，
∴△PAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABP＝∠ACE，
∵∠ABP＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠BCE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴CE∥AB，
∴点E的运动轨迹是直线CE（CE∥AB），
∵CB＝CA＝AB＝2，CH⊥AB，
∴BH＝AH＝1，
∴CH＝＝＝，
根据垂线段最短，可知OE的最小值＝CH＝，
故答案为．
三．解答题（共7小题）
16．解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．
．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣2，
由②得，x≥1，
所以，不等式组的解集是x≥1，
所以，该不等式组的最小整数解是1．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B1C2为所作；

（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长＝＝π．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD＝CG．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝3，求CG的长．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵D为AC的中点，∴AD＝CD，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A＝ACB，∴AB＝BC，
∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：由（1）知，△AC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠G+∠CDG＝60°，
∵CD＝CG，∴∠G＝∠CDG＝30°，
连接BD，则∠DBC＝30°，∴BD＝GD，∴BF＝FG＝3，
∵∠DFC＝90°，∠BCA＝60°，
∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝CG，∴CG＝2．

19．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：
（1）求出足球和篮球的单价；
（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，
根据题意，得8x+14（x+20）＝1600，
解得：x＝60，x+20＝80．
即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；
（2）设购进足球y个，则购进篮球（50﹣y）个．
根据题意，得，解得，
∵y为整数，
∴y＝38，39，40．
当y＝38，50﹣y＝12；
当y＝39，50﹣y＝11；
当y＝40，50﹣y＝10．
故有三种方案：
方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；
方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；
方案三：购进足球40个，则购进篮球10个．
20．阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+　4＝（a+2）2　．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若M＝﹣a2+2a﹣1，求M的最大值．
【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4，（a+2）2；
（2）a2﹣24a+143
＝a2﹣24a+144﹣1
＝（a﹣12）2﹣12
＝（a﹣12+1）（a﹣12﹣1）
＝（a﹣11）（a﹣13）；
（3）M＝﹣a2+2a﹣1
＝﹣（a2﹣8a+16）+3
＝﹣（a﹣4）2+3，
∴当a＝4时，M有最大值3．
21．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为　AC＝BD　，∠APB的大小为　α　（直接写出结果，不证明）

【解答】解：（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．
22．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．

【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠BDF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，∴△ODF≌△ODC，
∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，∴∠PAB＝∠PD，E＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°∠EPF+∠PED＝90°，∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，，∴△PBA≌EPD（AAS），∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，∴BQ＝4．