2023年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

这是一份2023年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份）（含答案），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题：（3分“8＝24分）
1．在1，﹣2，，0四个数中最小的数是（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．0
2．如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．2a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
4．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（　　）

A．68° B．58° C．22° D．28°
5．某校的演讲比赛，其中的6位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：83，85，93，90，95，90，则这6个数据的中位数和众数分别为（　　）
A．90，93 B．93，90 C．95，90 D．90，90
6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，若C'B＝2，则AC的长为（　　）

A．4 B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0），，点P坐标为 （0≤x≤9），点Q是x轴正半轴上的动点，满足∠PQO＝60°，△OPQ与矩形的重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（3分*8＝24分）
9．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，某种病毒的直径约为21纳米，用科学记数法表示为 　 　米．
10．函数y＝+的自变量x的取值范围是 　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，与BC交于点E，则ED的长为 　 　．

12．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则扇形BOC的面积为 　 　．

13．小明与小新共读一本书，小明4天里阅读的总页数比小新5天里阅读的总页数少100页，小新平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页．若小明、小新平均每天分别阅读x页、y页，则所列方程组为 　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AE平分∠CAB，与BC相交于点E，F是AC的中点，G为AE中点，则GF＝　 　．

15．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点C在y轴负半轴上，AB∥y轴，AB，AC分别交x轴于点D，E．若，则k＝　 　．

16．如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，CA于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：
①DH＝2DG；
②CP•CG＝CQ•CH；
③PH+PQ的最小值是；
④．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题：（2个小题，每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．

四、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
19．九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
20．某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．

（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
五、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
21．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为60°，在E处测得建筑物AB的顶端A的仰角为30°，DE＝30米．求建筑物AB的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数，）

22．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的 ，求a的值．

六、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，延长AB至D，连接CD，过点B作CD的垂线交CD于点E，且BC平分∠ABE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若OB：BD＝3：2，CD＝4，求AC的长．

24．火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有20天过春节时，用10元/千克的进价购回500千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放15天，当日市场价为每千克20元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨0.5元，但是平均每天有5千克火龙果坏掉，存放x天后一次性销售．
（1）直接写出x天后还有多少千克的火龙果？
（2）若存放x天后一次性销售，销售总额为11250元，求x的值；
（3）设该商家销售火龙果获利为W元，求出W与x的函数关系式，并求出在第几天一次性销售，能获得最大利润，最大利润是多少元？
七、解答题：（1个小题，12分）
25．（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，探究AD与BC的关系，并证明．
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，点D在AC的延长线上，连接BD，将线段BD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接BE，过点E作EF∥AB交AC延长线于点F．求证：AF＝2CD．
（3）如图3，△ABC中，若AB＝8，AC＝3，若将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，连接AD，直接写出AD的取值范围．

八、解答题（1个小题，14分）
26．如图①，已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝2OE．

（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；
（3）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题：（3分“8＝24分）
1．在1，﹣2，，0四个数中最小的数是（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．0
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：∵﹣2＜0＜1＜，
∴在1，﹣2，，0四个数中最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．
解：从左面可看到从左往右2列，小正方形的个数分别为：2，1．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．下列运算正确的是（　　）
A．2a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项进行判断即可．
解：2a9与a7不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
a6÷a3＝a3，
故B不符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故C不符合题意；
（﹣2a2b）2＝4a4b2，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（　　）

A．68° B．58° C．22° D．28°
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2＝∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为直角，得到∠1与∠3互余，由∠3的度数求出∠1的度数．
解：∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝68°，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，又∠3＝68°，
∴∠1＝22°，
故选：C．

【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
5．某校的演讲比赛，其中的6位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：83，85，93，90，95，90，则这6个数据的中位数和众数分别为（　　）
A．90，93 B．93，90 C．95，90 D．90，90
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
解：这组数据重新排列为83，85，90，90，90，95，
所以这组数据的中位数为＝90，众数为90，
故选：D．
【点评】本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：180°﹣360°÷5＝108°．
7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，若C'B＝2，则AC的长为（　　）

A．4 B． C． D．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝60°，可证△ABB′为等边三角形，由“SSS”可证△BB′C′≌△BAC，可得∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
解：如图，连接BB′，延长BC'交AB'于点H，

∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，
又∵AB＝BB'，
∴BH⊥AB'，AH＝B'H，
∴BH＝AH，
∵AC'＝B'C'，∠AC'B'＝90°，C'H⊥AB'
∴AH＝C'H，
∵BC'＝BH﹣C'H＝AH﹣AH＝2，
∴AH＝+1，
∴AB'＝2+2＝AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝AC，
∴AC＝+，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0），，点P坐标为 （0≤x≤9），点Q是x轴正半轴上的动点，满足∠PQO＝60°，△OPQ与矩形的重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据选项时间，探究临界点前后的图形变化，分类讨论．分别采用相似三角形知识表示相应线段即可．
解：由已知当t＝3时，点Q与点A重合，
由题意OD＝3，∠PQO＝60°，

当0≤t≤3时，
∵DM与x轴平行，
∴△PEF∽△POQ，
∴，
∴EF＝，
∴y＝（EF+OQ）CO＝．
则选项A、D排除．
当t＝5时，PQ过点B，当t＝9时，点P过点B，
∴当5≤t≤9时，如图：

过点P作PH⊥OQ于点H，延长CB交PH于点F，
由已知，HQ＝3，
则OH＝x﹣3，
∵CB∥OQ，
∴△PEF∽△POH，
∴EF＝，
∴EB＝，
∴y＝＝．
此时y是x的一次函数．
∴选项D排除．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点条件下的函数图象，考查了三角形相似、解直角三角形和列函数关系式等知识，能够进行分类讨论、数形结合是解题的关键．
二、填空题（3分*8＝24分）
9．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，某种病毒的直径约为21纳米，用科学记数法表示为 　2.1×10﹣8　米．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：21纳米＝21×0.000000001米＝2.1×10﹣8米．
故答案为：2.1×10﹣8．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
10．函数y＝+的自变量x的取值范围是 　x＞﹣3且x≠1　．
【分析】根据二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0，求公共解集．
解：根据题意，得x+3＞0，x﹣1≠0，
解得x＞﹣3，x≠1，
∴自变量x的取值范围是x＞﹣3且x≠1，
故答案为：x＞﹣3且x≠1．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0是解题关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，与BC交于点E，则ED的长为 　　．

【分析】先利用勾股定理得到AC＝3，再利于基本作图得到DE垂直平分AC，所以∠EDC＝90°，CD＝，接着证明△CDE∽△CBA，然后利用相似比可求出DE的长．
解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝＝3，
由作法得DE垂直平分AC，
∴∠EDC＝90°，CD＝AC＝，
∵∠EDC＝∠B，∠DCE＝∠BCA，
∴△CDE∽△CBA，
∴DE：AB＝CD：CB，即DE：3＝：6，
解得DE＝，
即DE的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
12．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则扇形BOC的面积为 　3π　．

【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据扇形面积公式计算即可．
解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴扇形BOC的面积为＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查的是圆周角定理、扇形面积的计算，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
13．小明与小新共读一本书，小明4天里阅读的总页数比小新5天里阅读的总页数少100页，小新平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页．若小明、小新平均每天分别阅读x页、y页，则所列方程组为 　　．
【分析】小明、小新平均每天分别阅读x页、y页，则由“明4天里阅读的总页数比小新5天里阅读的总页数少100页，小新平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页”可列出方程组．
解：由题意得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AE平分∠CAB，与BC相交于点E，F是AC的中点，G为AE中点，则GF＝　　．

【分析】过点E作EH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得BE＝HE，∠BAE＝∠HAE，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，再证明△ABE≌△AHE（AAS），根据全等三角形的性质可得AH＝AB＝4，可得CHE＝1，设BE＝HE＝x，在Rt△CHE中，根据勾股定理列方程，求出BE的长，可得CE的长，根据三角形中位线定理可得GF＝CE，即可确定答案．
解：过点E作EH⊥AC于点H，如图所示，
则∠AHE＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE平分∠CAB，
∴BE＝HE，∠BAE＝∠HAE，
∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝5，
在△ABE和△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝1，
设BE＝HE＝x，
∵CE＝BC﹣BE＝3﹣x，
在Rt△CHE中，根据勾股定理得：12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝3﹣＝，
∵F是AC的中点，G为AE中点，
∴GF是△AEC的中位线，
∴GF＝CE＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形中位线定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
15．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点C在y轴负半轴上，AB∥y轴，AB，AC分别交x轴于点D，E．若，则k＝　﹣　．

【分析】设A（a，）（a＜0，k＜0），则B（a，），得出AD＝，BD＝﹣，根据，得出AD＝OC，从而得出结论．
解：设A（a，）（a＜0，k＜0），则B（a，），
∴AD＝，BD＝﹣，
∵＝，
∴OC＝DB＝﹣，
∵＝，
∴AD＝OC＝﹣＝，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查反比函数图象上点的坐标特征，关键是设出点A坐标．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，CA于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：
①DH＝2DG；
②CP•CG＝CQ•CH；
③PH+PQ的最小值是；
④．
其中所有正确结论的序号是 　①②③　．

【分析】①先证△DEC≌△AFD，可得∠ADF＝∠DCE，由∠ADF+∠CDG＝90°，可得∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，再证明△DCG≌△HCG（ASA），得DG＝HG，即可得①正确；
②证明△PCQ∽△HCG，得＝，即可得CP•CG＝CQ•CH，从而可得②正确；
③由①可得DG＝GH，CG⊥DH，即H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的长，从而可得③正确；
④由于AD＝CD＝AH＝2，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而AH＝DE，所以EA可求，即可得出④不正确．
解：①在正方形ABCD中，DE＝AF，∠CDE＝∠DAF＝90°，CD＝AD，
∴△DEC≌△AFD（SAS），
∴∠ADF＝∠DCE，
∵∠ADF+∠CDG＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，
∴∠CGD＝∠CGH，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCG＝∠HCG，
∵CG＝CG，
∴△DCG≌△HCG（ASA），
∴DG＝HG，
∴DH＝2DG，
∴①正确．
②∵PQ⊥AC，
∴∠CQP＝90°，
∴∠CQP＝∠CGH，
∵∠PCQ＝∠HCG，
∴△PCQ∽△HCG，
∴＝，
∴CP•CG＝CQ•CH，
∴②正确．
③点H关于CE的对称点是点D，

过点D作DM⊥AC，交CE于点N，此时NH+NM取得最小值，最小值即为DM的长，
在等腰直角三角形ADM中，AD＝2，
∴DM＝，
∴PH+PQ的最小值为，
∴③正确．
④由①可知CD＝CH，∠CDG＝∠CHG，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠CHG，
∴∠AFH＝∠AHF，即△AFH为等腰三角形，
∴AH＝AF，
∵AB＝2，
∴AC＝2，
∴AH＝2﹣2，
∴EA＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴＝，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形等知识，轴对称﹣最短路线问题，能够合理选择正方形的性质找到相似与全等的条件是解题的关键．
三、解答题：（2个小题，每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
当x＝2时，原式＝22+2＝6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．

【分析】根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定质，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
四、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
19．九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　50　名学生，m的值是　18　．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　108　度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%＝50（名）学生，
m%＝9÷50×100%＝18%，
故答案为：50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）1000×＝300（名），
答：估计该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．

（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
【分析】（1）一共有4种情况，手机有一种，除以总情况数即为所求概率；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
解：（1）第一位抽奖的同学抽中手机的概率是；

（2）不同意．

从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．
先抽取的人抽中手机的概率是；
后抽取的人抽中手机的概率是＝．
所以，甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的．
【点评】考查了列表与树状图法求概率的知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是不放回实验．
五、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
21．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为60°，在E处测得建筑物AB的顶端A的仰角为30°，DE＝30米．求建筑物AB的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数，）

【分析】延长AB交DE于点G，过点C作CF⊥EG，垂足为F，根据题意可得：AG⊥DE，BC＝GF，BG＝CF，设BC＝GF＝a米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据已知可设CF＝4x米，则DF＝3x米，从而在Rt△CFD中，利用勾股定理求出CD的长，进而求出CF，DF的长，然后求出EG，AG的长，从而在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义列出关于a的方程，进行计算即可解答．
解：延长AB交DE于点G，过点C作CF⊥EG，垂足为F，

由题意得：AG⊥DE，BC＝GF，BG＝CF，
设BC＝GF＝a米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴AB＝tan60°BC＝a（米），
∵斜坡CD的坡度为i＝1：0.75，
∴＝＝，
∴设CF＝4x米，则DF＝3x米，
在Rt△CFD中，CD＝＝＝5x（米），
∵CD＝10米，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴BG＝CF＝4x＝8（米），DF＝3x＝6（米），
∴AG＝AB+BG＝（a+8）米，
∵DE＝30米，
∴GE＝GF+DF+DE＝（a+36）米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
解得：a＝18﹣4，
经检验：a＝18﹣4是原方程的根，
∴AB＝a＝18﹣12≈19（米），
∴建筑物AB的高度约为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的 ，求a的值．

【分析】（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解B（0，2）．由P（a，0）为x轴上的一动点，可得PC＝|a+4|．由S△CAP＝S△ABP+S△CBP，建立方程求解即可．
解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，
得﹣4k+2＝0，
∴k＝，
∴一次函数解析式为y＝+2，
把A（2，n）代入y＝+2，得n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入y＝，得m＝2×3＝6．
∴k的值为，m的值为6．
（2）当x＝0时，y＝+2＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵C（﹣4，0），
∴OC＝4，
∴S△CBO＝＝4，
∵△ABP的面积为△CBO面积的 ，
∴S△ABP＝3，
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|．
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴，
∴a+4＝6或a+4＝﹣6，
∴a＝2或a＝﹣10．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
六、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，延长AB至D，连接CD，过点B作CD的垂线交CD于点E，且BC平分∠ABE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若OB：BD＝3：2，CD＝4，求AC的长．

【分析】（1）连接OC，由∠OCB＝∠ABC，∠EBC＝∠ABC，得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，所以∠OCD＝∠BED＝90°，即可证明CD为⊙O的切线；
（2）先由“等角的余角相等”推导出∠DCB＝∠A，即可证明△DCB∽△DAC，得＝＝，所以AD•BD＝CD2＝16，再由OA＝OB，OB：BD＝3：2，推导出AD＝4BD，所以4BD2＝16，则BD＝2，AB＝6，所以＝＝，则BC＝AC，由勾股定理得AC2+（AC）2＝62，即可求得AC的长是．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD于点E，
∴∠OCD＝∠BED＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠DCB+∠OCB＝∠OCD＝90°，∠OCB＝∠ABC，
∴∠DCB＝∠A，
∵∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝，
∴AD•BD＝CD2＝42＝16，
∵OA＝OB，OB：BD＝3：2，
∴OA＝OB＝BD，
∴AD＝BD+BD+BD＝4BD，
∴4BD2＝16，
∴BD＝2，AB＝OA+OB＝×2+×2＝6，
∴＝＝＝，
∴BC＝AC，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（AC）2＝62，
解得AC＝或AC＝﹣（不符合题意，舍去），
∴AC的长是．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、直角所对的圆周角是直角、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有20天过春节时，用10元/千克的进价购回500千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放15天，当日市场价为每千克20元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨0.5元，但是平均每天有5千克火龙果坏掉，存放x天后一次性销售．
（1）直接写出x天后还有多少千克的火龙果？
（2）若存放x天后一次性销售，销售总额为11250元，求x的值；
（3）设该商家销售火龙果获利为W元，求出W与x的函数关系式，并求出在第几天一次性销售，能获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据平均每天有5千克火龙果坏掉可得，x天后还有（500﹣5x）千克的火龙果；
（2）根据销售总额为11250元得：（20+0.5x）（500﹣5x）＝11250，可解得答案；
（3）根据题意得：W＝（20+0.5x）（500﹣5x）﹣5000＝﹣x2+150x+5000＝﹣（x﹣30）2+7250，由二次函数性质可得答案．
解：（1）∵平均每天有5千克火龙果坏掉，
∴x天后还有（500﹣5x）千克的火龙果；
（2）根据题意得：（20+0.5x）（500﹣5x）＝11250，
解得x＝10或x＝50（不符合题意，舍去），
∴x的值是10；
（3）根据题意得：W＝（20+0.5x）（500﹣5x）﹣10×500＝﹣x2+150x+5000＝﹣（x﹣30）2+7250，
∵﹣＜0，
∴抛物线对称轴为直线x＝30，在x≤30时，W随x的增大而增大，
∴x＝15时，W最大，最大为6687.5，
∴在第15天一次性销售，能获得最大利润，最大利润是6687.5元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
七、解答题：（1个小题，12分）
25．（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，探究AD与BC的关系，并证明．
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，点D在AC的延长线上，连接BD，将线段BD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接BE，过点E作EF∥AB交AC延长线于点F．求证：AF＝2CD．
（3）如图3，△ABC中，若AB＝8，AC＝3，若将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，连接AD，直接写出AD的取值范围．

【分析】（1）设AD与BC交于点I，可证明△AOD≌△BOC，得AD＝BC，∠OAD＝∠OBC，可推导出∠DAB+∠CBA＝∠OAB+∠OBA＝90°，则∠AIB＝90°，所以AD⊥BC；
（2）作EG⊥AD于点G，可证明△DEG≌△BDC，则DG＝BC＝AC，EG＝DC，由EF∥AB，得∠GFE＝∠A＝45°，则∠GEF＝∠GFE＝45°，所以FG＝EG＝DC，则DF＝CG，所以DF+AC＝DG+CG＝CD，即可证明AF＝DF+AC+CD＝2CD；
（3）将AB绕点A逆时针旋转120°，得到AH，连接BH、DH，作CL⊥BD于点L，由旋转得CD＝CB，∠BCD＝120°，则BL＝DL，∠BCL＝∠DCL＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，所以BL＝CB•sin60°＝CB，则DB＝2BL＝CB，同理∠ABH＝∠AHB＝30°，HB＝AB，所以＝＝，∠HBD＝∠ABC＝30°+∠CBH，则△HBD∽△ABC，得＝＝，所以HD＝AC＝9，即可由三角形的三边关系及两点之间线段最短求得AD的取值范围是1≤AD≤17．
【解答】（1）解：AD＝BC，AD⊥BC，
证明：如图1，设AD与BC交于点I，
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，∠AOD＝∠BOC＝90°+∠AOC，OD＝OC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，∠OAD＝∠OBC，
∴∠DAB+∠CBA＝∠OAB+∠OAD+∠CBA＝∠OAB+∠OBC+∠CBA＝∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AIB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）证明：如图2，作EG⊥AD于点G，则∠DGE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠BCD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DGE＝∠BCD，∠A＝∠CBA＝45°，
由旋转得ED＝BD，∠BDE＝90°，
∴∠DEG＝∠BDC＝90°﹣∠GDE，
∴△DEG≌△BDC（AAS），
∴DG＝BC＝AC，EG＝DC，
∵EF∥AB，
∴∠GFE＝∠A＝45°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴FG＝EG＝DC，
∴FG﹣DG＝DC﹣DG，
∴DF＝CG，
∴DF+AC＝DG+CG＝CD，
∴AF＝DF+AC+CD＝2CD．
（3）如图3，将AB绕点A逆时针旋转120°，得到AH，连接BH、DH，作CL⊥BD于点L，
∵将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，
∴CD＝CB，∠BCD＝120°，
∴BL＝DL，∠BCL＝∠DCL＝∠BCD＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，
∵∠BLC＝90°，
∴BL＝CB•sin60°＝CB，
∴DB＝2BL＝2×CB＝CB，
同理∠ABH＝∠AHB＝30°，HB＝AB，
∴＝＝，∠HBD＝∠ABC＝30°+∠CBH，
∴△HBD∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝8，AC＝3，
∴HD＝AC＝×3＝9，
∵HD﹣AH≤AD≤HD+AH，且AH＝AB＝8，
∴9﹣8≤AD≤9+8，
∴1≤AD≤17，
∴AD的取值范围是1≤AD≤17．



【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
八、解答题（1个小题，14分）
26．如图①，已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝2OE．

（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；
（3）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△MCN与△BQM相似，∠BMQ＝∠NMC，则存在∠NCM和∠CNM为直角两种情况．当∠NCM为直角时，求出直线CN的表达式，即可求解；当∠CNM为直角时，则CN∥x轴，则点C、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，即可求解；
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．
解：（1）由抛物线的表达式得，其对称轴为x＝﹣＝﹣＝＝OE，
则OC＝2OE＝3，即点C（0，3），
即﹣4m＝3，
解得：m＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3①；

（2）∵△MCN与△BQM相似，∠BMQ＝∠NMC，则存在∠NCM和∠CNM为直角两种情况．
当∠NCM为直角时，
延长NC交x轴于点T，即∠TCB为直角，

∵tan∠CBA＝，则tan∠NTB＝，
故直线CN的表达式为：y＝x+3②，
联立①②得：﹣x2+x+3＝x+3，
解得：x＝，
即点N的横坐标为：，
即点Q的坐标为（，0）；
当∠CNM为直角时，
则CN∥x轴，则点C、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，
即点Q的坐标为（3，0），
综上，点Q的坐标为：（，0）或（3，0）；

（3）存在，理由：
如图，由题意∠M′CN＝∠NCB，

∵MN∥OM′，
∴∠M′CN＝∠CNM，
∴MN＝CM，
∵直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），
作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO＝，
∴，
∴CM＝m，
①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m，
解得：m＝或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）＝m，
解得m＝或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
【点评】本题考查二次函数综合题、翻折变换、三角函数、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．