2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）(含答案解析)

2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）

1.  的值为(    )

A.  B. 1 C.  D.

2.  矩形具有但菱形不一定具有的性质是(    )

A. 对边平行且相等 B. 对角相等、邻角互补
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

3.  对于反比例函数，下列判断正确的是(    )

A. 图象经过点
B. 图象在第二、四象限
C. 不论x为何值，
D. 图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小

4.  运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，点P在的边AC上，要判断∽，添加下列一个条件，不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段已知坡长AB为m米，坡角为，则坡AB的铅垂高度AH为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.  如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  二次函数的顶点坐标是______ .

12.  如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则菱形ABCD的面积为______ .

13.  如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为______ .

14.  如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是平行四边形，则______ .

15.  如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点若，，，则k的值为______.

16.  计算：
下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

任务一：
填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是______ ，依据的一个数学公式是______
；第______ 步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解.

17.  “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章除图案外完全相同，如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程

嫦娥五号

天问一号

长征火箭

天宫一号

18.  如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，的图象交于A、B两点，B点的坐标为
求两个函数的表达式和A点坐标；
根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围.

19.  随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.榆次“常家庄园”走红网络，成为全国各地游客新的打卡地!游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测.如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为，已知无人机的飞行高度AD为60米，则这栋建筑物的高度是多少米结果精确到参考数据：，，

20.  2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎.某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融.
若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售.经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套.当销售单价降低m元时，每天的利润W可达到最大.求m的值及最大利润是多少.

21.  如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：
使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形不写作法，保留作图痕迹；
求证：与AC相切于点D；
若，，则劣弧的长为______.

22.  综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，试猜想线段BF和CG的数量关系并加以证明.
数学思考：请解答上述问题；
问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值；
问题拓展：在的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积.
 

23.  在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点
求这个二次函数的解析式；
点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：
故选：
将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、对边平行且相等，是矩形的性质，也是菱形的性质，故A不符合题意．
B、对交相等，邻角互补，是矩形的性质，也是菱形的性质，故B不符合题意．
C、对角线相等，是矩形的性质，但不是菱形的性质，故C符合题意．
D、对角线互相垂直，是菱形的性质，但不是矩形的性质，故D不符合题意．
故选：
根据矩形的性质和菱形的性质对选项进行逐一判断，选择出矩形具有而菱形不一定具有的性质即可．
本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：A、图象经过点，说法错误；
B、图象在第二、四象限，说法错误；
C、不论x为何值，，说法错误；
D、图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小，说法正确；
故选：
根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积进行分析即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
 

4.【答案】D 

【解析】解：几何体的左视图是：

故选：
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：
故选：
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】D 

【解析】解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断∽，故C正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断∽，故D不正确；
故选：
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由题意可得：，
则坡AB的铅垂高度AH为：米．
故选：
直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
 

8.【答案】C 

【解析】解：连接BD，

是的直径，
，
，
，
，
故选：
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

9.【答案】D 

【解析】解：观察二次函数图象得：，
，
一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
只有D选项符合题意．
故选：
观察二次函数图象得：，，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出，，是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
，，
，
四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积
故选：
根据折叠性质得到，，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】42 

【解析】解：在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，，
，，
菱形ABCD的面积为
故答案为：
根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长BC至格点D，连接AD，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：

延长BC至格点D，连接AD，根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，以及勾股定理及其逆定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设的度数，的度数；
四边形ABCO是平行四边形，
；
，；
而，
，
解得：，
，
故答案为：
设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．
该题主要考查了圆内接四边形的性质；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
 

15.【答案】9 

【解析】解：，
设、，
则，点D坐标为，
，
，
，
点，
反比例函数经过点D、E，
，
解得：或舍，
则，
故答案为：
由，可设、，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数
 

16.【答案】配方法  完全平方公式  二 

【解析】解：原式

；
任务一：
上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二步开始出现错误；
任务二：正确的解法为：
，
，即，

所以，
故答案为：配方法，完全平方公式，二，，
先利用特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
利用配方法解方程的步骤可判断第二步出现错误，方程两边加1得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果有6种，
小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为 

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：又反比例函数图象过，
，
反比例函数，
一次函数，图象过B点，
，解得，
一次函数的解析式为，

解方程组，得或，
；
当时x的取值范围是或 

【解析】把B点坐标代入反比例函数，一次函数解析式可求得的值，解析式联立，解方程即可求得A的坐标；
根据图象即可求得．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式以及函数与不等式的关系，求得图象的交点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：过C作于F，如图所示：
则，
由题意得：米，，，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
米，
即这栋建筑物的高度为米． 

【解析】过C作于F，则，证是等腰直角三角形，得，设米，则米，再由锐角三角函数定义得米，然后由得，解方程，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义和俯角定义．
 

20.【答案】解：设每次上涨的百分率为x，根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：每次上涨的百分率为；
根据题意得：，
，
，
当时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润可达到最大，最大利润是2000元． 

【解析】设每次上涨的百分率为x，根据“销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元”列出方程，即可求解；
根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题目要求补全图形如下：

证明：连接OD，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
又OD是的半径，
与AC相切于点D；
解：在中，，
，
，
平分，
，
在，，
，
，
由知，
，，
劣弧的长为，
故答案为：
根据题目要求补全图形即可；
连接OD，由BD平分，得，又，有，即得，，从而，，故与AC相切于点D；
在中，，根据BD平分，知，可得，，而，，即得劣弧的长为
本题考查尺规作图、圆的切线及与圆有关的计算，解题的关键是掌握基本的尺规作图及圆的切线判定定理，弧长公式．
 

22.【答案】证明：，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
∽，
，
在中，，
，
，
；
过点E作于M，于点N，

为AC的中点，
，
，，
，
，
，
同理可得，
由知∽，
，
，
，
，
 

【解析】由正方形的性质得出，，证出，由“ASA”可证≌，由全等三角形的性质得出；
证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
过点E作于M，于点N，证出，，由知∽，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出CG的长，根据三角形面积公式可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：将点，代入中，
，
解得
；  
令，则，
，
设直线AC的解析式为，
，
解得，
，
过点P作轴交AC于点G，
设，则，
，
，
点P是直线AC上方，
，
当时，S有最大值，
此时；
存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，，，
①当MQ为平行四边形的对角线时，，
解得舍或，
；
②当MA为平行四边形的对角线时，，
解得舍或，
；
③当MC为平行四边形的对角线时，，
解得或，
或；
综上所述：Q点坐标为或或或 

【解析】将点，代入中，即可求解；
求出直线AC的解析式，过点P作轴交AC于点G，设，则，可得，再求解即可；
设，，分三种情况讨论：①当MQ为平行四边形的对角线时，，求得；②当MA为平行四边形的对角线时，，求得；③当MC为平行四边形的对角线时，，求得或；
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．