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2023年北京十三中中考数学零模试卷（含答案解析）
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这是一份2023年北京十三中中考数学零模试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了34×106D， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年北京十三中中考数学零模试卷
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种，将3340000用科学记数法表示正确的是( )
A. 334×104 B. 3334×104 C. 3.34×106 D. 3.34×107
3. 比 2大，比 5小的整数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14 B. 13 C. −12 D. 34
5. 如果x2+2x−2=0，那么代数式x(x+2)+(x+1)2的值是( )
A. −5 B. 5 C. 3 D. −3
6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a<−2 B. b<1 C. a>b D. −a>b
7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟(包括30分钟)可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t(分钟)，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是( )
数据分成6组：
10≤t<15
15≤t<20
20≤t<25
25≤t<30
30≤t<35
35≤t<40
A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B. 此时段平均等位时间小于20分钟
C. 此时段等位时间的中位数可能是27 D. 此时段有6桌顾客可享受优惠
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 若 x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____.
10. 分解因式：xy−x=__________.
11. 方程2x+5=1x的解为______.
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1______y2(填“>”“=”或“<”).
13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
鞋号
35
36
37
38
39
40
41
42
43
销售量/双
2
4
5
5
12
6
3
2
1
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______双．
14. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=__________.
15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为______.
16. 某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品.一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比.例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为52，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间(单位：小时)依次为a，b，c，其中a>b>c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是__________.
17. 计算：(3−π)0−(14)−1+ 12−6cos30∘.
18. 解不等式组：−2x+6≥44x+13>x−1，并写出该不等式组的非负整数解.
19. 关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
20. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180∘.
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC.
方法二
证明：如图，过点C作CD//AB.
21. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F.过点B作BG//DF交DC于点G.交AC于点M.过点G作GN⊥DF于点N.
(1)求证：四边形NEMG为矩形；
(2)若AB=26，GN=8，sin∠CAB=315，求线段AC的长.
23. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.甲、乙两位同学得分的折线图：
b.丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致(填“甲”或“乙”)；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______(填“甲”“乙”或“丙”).
24. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD=2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为ym.测量得到如表数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为______ m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______m(结果保留小数点后两位)；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要______(填“升高”或“降低”)______m(结果保留小数点后两位).
26. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,t)，B(m,p).
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
(1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
(2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x=3上某一点P顺时针旋转90∘，再关于直线x=3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A(0,1).
(1)若点P的坐标是(3,0)，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标______；
(2)若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标(直接写出结果即可)；
(3)已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB=1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】解：将3340000用科学记数法表示为3.34×106.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵1< 2<2，2< 5<3，
∴比 2大，比 5小的整数是2.
故选：B.
分别估算出 2和 5的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出 2和 5的取值范围是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】
解：列表如下：
红
绿
红
(红，红)
(绿，红)
绿
(红，绿)
(绿，绿)
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
则原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5，
故选：B.
根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据图形可以得到：
−2
故选：D.
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，故A选项错误；
B.平均等位时间为135(2×10+152+6×15+202+12×20+252+9×25+302+5×30+352+1×35+402)≈24.2(分钟)>20分钟，故B选项错误；
C.因为样本容量是35，中位数落在20≤x<25之间，故C选项错误；
D.30分钟以上的人数为5+1=6，故D选项正确．
故选：D.
观察频数分布直方图，获取信息，然后逐一进行判断即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A.
(1)根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
(2)根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；
(3)根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
9.【答案】x≥8
【解析】解：∵ x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
解得：x≥8.
故答案为：x≥8.
根据二次根式有意义的条件，可得：x−8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
10.【答案】x(y−1)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式x，进而分解因式得出答案.
【解答】
解：xy−x=x(y−1).
故答案为x(y−1).
11.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：2x=x+5，
解得：x=5，
检验：把x=5代入得：x(x+5)≠0，
∴分式方程的解为x=5.
故答案为：x=5.
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12.【答案】>
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，
∵5>2>0，
∴点A(2,y1)，B(5,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>.
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
13.【答案】120
【解析】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240×400=120(双).
故答案为：120.
应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】
【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH=1，
∴S△ACD=12×2×1=1.
故答案为：1.
【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE=DH=1，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，AD//BC，
∵AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2= 52−32=4，
∵AD//BC，AFFC=14，
∴AEBC=AFFC=14，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1.
由矩形的性质得出∠ABC=90∘，AD//BC，利用勾股定理求出BC=4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
16.【答案】c，b，a
【解析】解：由题意知：
上一笔订单完成的时间越短，
则此订单的“相对等待时间”越小，
因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是c，b，a，
故答案为c，b，a.
由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．
此题考查新定义，对定义的理解是解本题的关键．
17.【答案】解：原式=1−4+2 3−6× 32
=1−4+2 3−3 3
=−3− 3.
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用二次根式以及负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
18.【答案】解：解不等式−2x+6≥4，得：x≤1，
解不等式4x+13>x−1，得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组及不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2.
∴x1=m−2，x2=2.
∵此方程有一个根小于1.
∴m−2<1.
∴m<3.
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3.
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
20.【答案】证明：方法一：∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，
∴∠B+∠BAC+∠C=180∘；
方法二：延长BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，
∴∠A+∠ACD+∠B=180∘.
【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，从而可求解；
方法二：延长BC，由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，再由平角的定义可得∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
21.【答案】解：(1)把(4,3)，(−2,0)分别代入y=kx+b得4k+b=3−2k+b=0，
解得k=12b=1，
∴函数解析式为y=12x+1，
当x=0时，y=12x+1=1，
∴A点坐标为(0,1)；
(2)当n≥1时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
【解析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=12x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
(2)当函数y=x+n与y轴的交点在点A(含A点)上方时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，GN⊥DF，
∴AC//GN，∠MEN=90∘，
∵BG//DF，
∴四边形NEMG是平行四边形，
又∵∠MEN=90∘，
∴四边形NEMG为矩形；
(2)解：由(1)得：四边形NEMG为矩形，
∴EM=GN=8，∠EMG=90∘，
∴∠AMB=90∘，
∵AB=26，sin∠CAB=513=BMAB，
∴BM=10，
∴AM= AB2−BM2= 262−102=24，
∴AE=AM−EM=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC//AD，
∴∠BCM=∠DAE，
∵∠BMC=90∘，∠DEA=90∘，
∴∠BMC=∠DEA，
在△BCM和△DAE中，
∠BCM=∠DAE∠BMC=∠DEABC=DA，
∴△BCM≌△DAE(AAS)，
∴CM=AE=16，
∴AC=AM+CM=24+16=40.
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
(1)证AC//GN，∠MEN=90∘，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得EM=GN=8，∠EMG=90∘，再由锐角三角函数定义求出BM=10，由勾股定理得AM=24，则AE=AM−EM=16，然后证△BCM≌△DAE(AAS)，得CM=AE=16，即可求解．
23.【答案】解：(1)m=110×(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6；
(2)甲；
(3)丙.
【解析】
【分析】
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
(1)根据平均数的定义即可求解；
(2)计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
(3)根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)甲同学的方差S甲2=110×[2×(7−8.6)2+2×(8−8.6)2+4×(9−8.6)2+2×(10−8.6)2]=1.04，
乙同学的方差S乙2=110×[4×(7−8.6)2+2×(9−8.6)2+4×(10−8.6)2]=1.84，
∵S甲2
故答案为：甲；
(3)甲同学的最后得分为18×(7+8×2+9×4+10)=8.625；
乙同学的最后得分为18×(3×7+9×2+10×3)=8.625；
丙同学的最后得分为18×(8×2+9×3+10×3)=9.125，
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
24.【答案】证明：(1)如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=2∠A；
(2)如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD=CD，
∴∠ADF=∠CDF，
∵BC=BD，
∴∠CAB=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CDF=∠CAB，
∵OC=OD，
∴∠CDF=∠OCD，
∴∠OCD=∠CAB，
∵BC=BC，
∴∠CAB=∠CDE，
∴∠CDE=∠OCD，
∵∠E=90∘，
∴∠CDE+∠DCE=90∘，
∴∠OCD+∠DCE=90∘，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
【解析】(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC=BD，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90∘，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，
(2)设y=ax2+bx+c，
把(0,2.44)(1,3.49)(2,3.04)代入可得，
c=2.44a+b+c=3.494a+2b+c=3.04，
解得a=−0.75b=1.8c=2.44，
所以y与x的关系式为y=−0.75x2+1.8x+2.44=−0.75(x−1.20)2+3.52，
当x=0时，y=2.44；顶点坐标为(1.20,3.52)，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m，
故答案为：2.44，1.20；
(3)当x=3.2时，y=−0.75×(3.2)2+1.8×3.2+2.44=0.52，
所以出水口至少要降低0.52米，
故答案为：降低，0.52.
【解析】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
(1)根据对应点画出图象即可；
(2)根据对应点求出y与x的关系式即可得到答案；
(3)把x=3.2代入得到y得值可得出水口要升高的高度．
26.【答案】解：(1)当t=0时，点A的坐标为(−2,0)，
∵抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,0)，
∴4a+2(a+2)+2=0，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−1)=−12；
②令y=0，则−x2−x+2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，
∵点A(−2,0)，B(m,p)，且p<0，
∴点B(m,p)在x轴的下方，
∴m<−2或m>1.
(2)p
∵t<0，
∴6a+6<0，
∴a<−1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x=−−(a+2)2a=1a+12，
∵a<−1，
∴−1<1a<0，
∴−12<1a+12<12，
∵m
∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离，
∴p
②令y=0，求出抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，由题意可得p<0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
(2)将点A坐标代入函数解析式，通过t<0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】解：(1)∠ABM=∠AEM，
理由如下：连接CM，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段BC，∠ABD=∠ACD，
即∠ABM+∠MBD=∠ACM+∠MCD，
∴BM=CM，
∵ME=MB，
∴BM=CM=EM，
∴∠MBD=∠MCD，∠AEM=∠ACM，
∵∠ABM+∠MBD=∠ACM+∠MCD，
∴∠ABM=∠ACM
∴∠ABM=∠AEM；
(2)AB=AM+AE.
证明：在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，
∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=120∘，
∴∠BAM=∠CAD=60∘，
∵AG=AM，
∴△AMG是等边三角形，
∴AG=AM=MG，∠EGM=60∘，
∴∠BAM=∠EGM，由(1)可知∠ABM=∠AEM
∵在△BAM和△EGM中，
∠BAM=∠EGM∠ABM=∠AEMAM=MG，
∴△BAM≌△EGM(AAS)，
∴AB=EG，
∵EG=AE+AG，AG=AM，
∴AB=AM+AE.
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
(1)连接CM，由等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段BC，∠ABD=∠ACD，证出BM=CM=EM，由等腰三角形的性质可得出结论；
(2)在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，证出△AMG是等边三角形，由等边三角形的性质得出AG=AM=MG，∠EGM=60∘，证明△BAM≌△EGM(AAS)，由全等三角形的性质得出AB=EG，则可得出结论．
28.【答案】解：(1)(2,3)；
(2)分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由(1)知△AEP≌△PFA′(AAS)，
∴AE=PF=1−m，EP=A′F=3，
∴A′(4−m,3+m)，
由题意可知，点A与点A′关于直线x=3对称，
∴4−m=6，3+m=1，
解得m=−2，
∴P(3,−2)；
(3)由(2)知A′(4−m,3+m)，
∴A″(m+2,3+m)，
∵点A″在⊙O上，
∴(m+2)2+(3+m)2=1，
解得m=−2(舍)或m=−3；
∴P(3,−3)，如图3，
∵线段AB=1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上.
若AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B″是一个临界点，
连接OB，
∵OA″=A″B″=OB″=1，
∴△OA″B″是等边三角形，
过点B″作B″M⊥x轴于点M，则A″M=OM=12，B″M= 32，
∴B″(−12,− 32)，
∴B′(132,− 32)，
∴B( 32,12)，
由对称性可知，另外一点的坐标为(− 32,12)，
∴yB的取值范围为：0≤yB≤12.
【解析】
【分析】
本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
(1)根据题意画出图形，过点A′作A′D⊥x轴于点D，可得△AOP≌△PDA′，可求出点A′的坐标，进而可得点A″的坐标；
(2)分析可知，当点P在x轴上方时，不存在，则点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A′的坐标，可得出结论；
(3)由(2)可知，点A″的坐标，由A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合可得出点A″的坐标，由线段AB=1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，找到临界点B″，可得出B″的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围．
【解答】
解：(1)如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A″，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP=∠AOP=90∘，
由旋转可知，∠APA′=90∘，AP=A′P，
∴∠APO+∠A′PD=∠A′PD+∠PA′D=90∘，
∴∠APO=∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′(AAS)，
∴OA=PD=1，OP=A′D=3，
∴A′(4,3)，
∴A″(2,3)，
故答案为：(2,3)；
(2)见答案；
(3)见答案．
2023年北京十三中中考数学零模试卷
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种，将3340000用科学记数法表示正确的是( )
A. 334×104 B. 3334×104 C. 3.34×106 D. 3.34×107
3. 比 2大，比 5小的整数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14 B. 13 C. −12 D. 34
5. 如果x2+2x−2=0，那么代数式x(x+2)+(x+1)2的值是( )
A. −5 B. 5 C. 3 D. −3
6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a<−2 B. b<1 C. a>b D. −a>b
7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟(包括30分钟)可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t(分钟)，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是( )
数据分成6组：
10≤t<15
15≤t<20
20≤t<25
25≤t<30
30≤t<35
35≤t<40
A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B. 此时段平均等位时间小于20分钟
C. 此时段等位时间的中位数可能是27 D. 此时段有6桌顾客可享受优惠
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 若 x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____.
10. 分解因式：xy−x=__________.
11. 方程2x+5=1x的解为______.
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1______y2(填“>”“=”或“<”).
13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
鞋号
35
36
37
38
39
40
41
42
43
销售量/双
2
4
5
5
12
6
3
2
1
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______双．
14. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=__________.
15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为______.
16. 某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品.一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比.例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为52，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间(单位：小时)依次为a，b，c，其中a>b>c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是__________.
17. 计算：(3−π)0−(14)−1+ 12−6cos30∘.
18. 解不等式组：−2x+6≥44x+13>x−1，并写出该不等式组的非负整数解.
19. 关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
20. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180∘.
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC.
方法二
证明：如图，过点C作CD//AB.
21. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F.过点B作BG//DF交DC于点G.交AC于点M.过点G作GN⊥DF于点N.
(1)求证：四边形NEMG为矩形；
(2)若AB=26，GN=8，sin∠CAB=315，求线段AC的长.
23. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.甲、乙两位同学得分的折线图：
b.丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致(填“甲”或“乙”)；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______(填“甲”“乙”或“丙”).
24. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD=2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为ym.测量得到如表数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为______ m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______m(结果保留小数点后两位)；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要______(填“升高”或“降低”)______m(结果保留小数点后两位).
26. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,t)，B(m,p).
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
(1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
(2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x=3上某一点P顺时针旋转90∘，再关于直线x=3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A(0,1).
(1)若点P的坐标是(3,0)，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标______；
(2)若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标(直接写出结果即可)；
(3)已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB=1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】解：将3340000用科学记数法表示为3.34×106.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵1< 2<2，2< 5<3，
∴比 2大，比 5小的整数是2.
故选：B.
分别估算出 2和 5的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出 2和 5的取值范围是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】
解：列表如下：
红
绿
红
(红，红)
(绿，红)
绿
(红，绿)
(绿，绿)
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
则原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5，
故选：B.
根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据图形可以得到：
−2
故选：D.
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，故A选项错误；
B.平均等位时间为135(2×10+152+6×15+202+12×20+252+9×25+302+5×30+352+1×35+402)≈24.2(分钟)>20分钟，故B选项错误；
C.因为样本容量是35，中位数落在20≤x<25之间，故C选项错误；
D.30分钟以上的人数为5+1=6，故D选项正确．
故选：D.
观察频数分布直方图，获取信息，然后逐一进行判断即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A.
(1)根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
(2)根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；
(3)根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
9.【答案】x≥8
【解析】解：∵ x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
解得：x≥8.
故答案为：x≥8.
根据二次根式有意义的条件，可得：x−8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
10.【答案】x(y−1)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式x，进而分解因式得出答案.
【解答】
解：xy−x=x(y−1).
故答案为x(y−1).
11.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：2x=x+5，
解得：x=5，
检验：把x=5代入得：x(x+5)≠0，
∴分式方程的解为x=5.
故答案为：x=5.
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12.【答案】>
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，
∵5>2>0，
∴点A(2,y1)，B(5,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>.
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
13.【答案】120
【解析】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240×400=120(双).
故答案为：120.
应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】
【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH=1，
∴S△ACD=12×2×1=1.
故答案为：1.
【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE=DH=1，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，AD//BC，
∵AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2= 52−32=4，
∵AD//BC，AFFC=14，
∴AEBC=AFFC=14，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1.
由矩形的性质得出∠ABC=90∘，AD//BC，利用勾股定理求出BC=4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
16.【答案】c，b，a
【解析】解：由题意知：
上一笔订单完成的时间越短，
则此订单的“相对等待时间”越小，
因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是c，b，a，
故答案为c，b，a.
由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．
此题考查新定义，对定义的理解是解本题的关键．
17.【答案】解：原式=1−4+2 3−6× 32
=1−4+2 3−3 3
=−3− 3.
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用二次根式以及负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
18.【答案】解：解不等式−2x+6≥4，得：x≤1，
解不等式4x+13>x−1，得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组及不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2.
∴x1=m−2，x2=2.
∵此方程有一个根小于1.
∴m−2<1.
∴m<3.
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3.
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
20.【答案】证明：方法一：∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，
∴∠B+∠BAC+∠C=180∘；
方法二：延长BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，
∴∠A+∠ACD+∠B=180∘.
【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，从而可求解；
方法二：延长BC，由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，再由平角的定义可得∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
21.【答案】解：(1)把(4,3)，(−2,0)分别代入y=kx+b得4k+b=3−2k+b=0，
解得k=12b=1，
∴函数解析式为y=12x+1，
当x=0时，y=12x+1=1，
∴A点坐标为(0,1)；
(2)当n≥1时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
【解析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=12x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
(2)当函数y=x+n与y轴的交点在点A(含A点)上方时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，GN⊥DF，
∴AC//GN，∠MEN=90∘，
∵BG//DF，
∴四边形NEMG是平行四边形，
又∵∠MEN=90∘，
∴四边形NEMG为矩形；
(2)解：由(1)得：四边形NEMG为矩形，
∴EM=GN=8，∠EMG=90∘，
∴∠AMB=90∘，
∵AB=26，sin∠CAB=513=BMAB，
∴BM=10，
∴AM= AB2−BM2= 262−102=24，
∴AE=AM−EM=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC//AD，
∴∠BCM=∠DAE，
∵∠BMC=90∘，∠DEA=90∘，
∴∠BMC=∠DEA，
在△BCM和△DAE中，
∠BCM=∠DAE∠BMC=∠DEABC=DA，
∴△BCM≌△DAE(AAS)，
∴CM=AE=16，
∴AC=AM+CM=24+16=40.
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
(1)证AC//GN，∠MEN=90∘，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得EM=GN=8，∠EMG=90∘，再由锐角三角函数定义求出BM=10，由勾股定理得AM=24，则AE=AM−EM=16，然后证△BCM≌△DAE(AAS)，得CM=AE=16，即可求解．
23.【答案】解：(1)m=110×(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6；
(2)甲；
(3)丙.
【解析】
【分析】
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
(1)根据平均数的定义即可求解；
(2)计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
(3)根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)甲同学的方差S甲2=110×[2×(7−8.6)2+2×(8−8.6)2+4×(9−8.6)2+2×(10−8.6)2]=1.04，
乙同学的方差S乙2=110×[4×(7−8.6)2+2×(9−8.6)2+4×(10−8.6)2]=1.84，
∵S甲2
故答案为：甲；
(3)甲同学的最后得分为18×(7+8×2+9×4+10)=8.625；
乙同学的最后得分为18×(3×7+9×2+10×3)=8.625；
丙同学的最后得分为18×(8×2+9×3+10×3)=9.125，
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
24.【答案】证明：(1)如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=2∠A；
(2)如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD=CD，
∴∠ADF=∠CDF，
∵BC=BD，
∴∠CAB=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CDF=∠CAB，
∵OC=OD，
∴∠CDF=∠OCD，
∴∠OCD=∠CAB，
∵BC=BC，
∴∠CAB=∠CDE，
∴∠CDE=∠OCD，
∵∠E=90∘，
∴∠CDE+∠DCE=90∘，
∴∠OCD+∠DCE=90∘，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
【解析】(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC=BD，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90∘，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，
(2)设y=ax2+bx+c，
把(0,2.44)(1,3.49)(2,3.04)代入可得，
c=2.44a+b+c=3.494a+2b+c=3.04，
解得a=−0.75b=1.8c=2.44，
所以y与x的关系式为y=−0.75x2+1.8x+2.44=−0.75(x−1.20)2+3.52，
当x=0时，y=2.44；顶点坐标为(1.20,3.52)，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m，
故答案为：2.44，1.20；
(3)当x=3.2时，y=−0.75×(3.2)2+1.8×3.2+2.44=0.52，
所以出水口至少要降低0.52米，
故答案为：降低，0.52.
【解析】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
(1)根据对应点画出图象即可；
(2)根据对应点求出y与x的关系式即可得到答案；
(3)把x=3.2代入得到y得值可得出水口要升高的高度．
26.【答案】解：(1)当t=0时，点A的坐标为(−2,0)，
∵抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,0)，
∴4a+2(a+2)+2=0，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−1)=−12；
②令y=0，则−x2−x+2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，
∵点A(−2,0)，B(m,p)，且p<0，
∴点B(m,p)在x轴的下方，
∴m<−2或m>1.
(2)p
∵t<0，
∴6a+6<0，
∴a<−1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x=−−(a+2)2a=1a+12，
∵a<−1，
∴−1<1a<0，
∴−12<1a+12<12，
∵m
∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离，
∴p
②令y=0，求出抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，由题意可得p<0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
(2)将点A坐标代入函数解析式，通过t<0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】解：(1)∠ABM=∠AEM，
理由如下：连接CM，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段BC，∠ABD=∠ACD，
即∠ABM+∠MBD=∠ACM+∠MCD，
∴BM=CM，
∵ME=MB，
∴BM=CM=EM，
∴∠MBD=∠MCD，∠AEM=∠ACM，
∵∠ABM+∠MBD=∠ACM+∠MCD，
∴∠ABM=∠ACM
∴∠ABM=∠AEM；
(2)AB=AM+AE.
证明：在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，
∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=120∘，
∴∠BAM=∠CAD=60∘，
∵AG=AM，
∴△AMG是等边三角形，
∴AG=AM=MG，∠EGM=60∘，
∴∠BAM=∠EGM，由(1)可知∠ABM=∠AEM
∵在△BAM和△EGM中，
∠BAM=∠EGM∠ABM=∠AEMAM=MG，
∴△BAM≌△EGM(AAS)，
∴AB=EG，
∵EG=AE+AG，AG=AM，
∴AB=AM+AE.
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
(1)连接CM，由等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段BC，∠ABD=∠ACD，证出BM=CM=EM，由等腰三角形的性质可得出结论；
(2)在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，证出△AMG是等边三角形，由等边三角形的性质得出AG=AM=MG，∠EGM=60∘，证明△BAM≌△EGM(AAS)，由全等三角形的性质得出AB=EG，则可得出结论．
28.【答案】解：(1)(2,3)；
(2)分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由(1)知△AEP≌△PFA′(AAS)，
∴AE=PF=1−m，EP=A′F=3，
∴A′(4−m,3+m)，
由题意可知，点A与点A′关于直线x=3对称，
∴4−m=6，3+m=1，
解得m=−2，
∴P(3,−2)；
(3)由(2)知A′(4−m,3+m)，
∴A″(m+2,3+m)，
∵点A″在⊙O上，
∴(m+2)2+(3+m)2=1，
解得m=−2(舍)或m=−3；
∴P(3,−3)，如图3，
∵线段AB=1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上.
若AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B″是一个临界点，
连接OB，
∵OA″=A″B″=OB″=1，
∴△OA″B″是等边三角形，
过点B″作B″M⊥x轴于点M，则A″M=OM=12，B″M= 32，
∴B″(−12,− 32)，
∴B′(132,− 32)，
∴B( 32,12)，
由对称性可知，另外一点的坐标为(− 32,12)，
∴yB的取值范围为：0≤yB≤12.
【解析】
【分析】
本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
(1)根据题意画出图形，过点A′作A′D⊥x轴于点D，可得△AOP≌△PDA′，可求出点A′的坐标，进而可得点A″的坐标；
(2)分析可知，当点P在x轴上方时，不存在，则点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A′的坐标，可得出结论；
(3)由(2)可知，点A″的坐标，由A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合可得出点A″的坐标，由线段AB=1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，找到临界点B″，可得出B″的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围．
【解答】
解：(1)如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A″，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP=∠AOP=90∘，
由旋转可知，∠APA′=90∘，AP=A′P，
∴∠APO+∠A′PD=∠A′PD+∠PA′D=90∘，
∴∠APO=∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′(AAS)，
∴OA=PD=1，OP=A′D=3，
∴A′(4,3)，
∴A″(2,3)，
故答案为：(2,3)；
(2)见答案；
(3)见答案．
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