人教版八年级上册数学讲义练习 专题11.2 与三角形有关的角

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新人教版初中数学学科教材分析数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。  第十一章  三角形11.2  与三角形有关的角 1．三角形的内角（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________．（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________．【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2．直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的两个锐角___________．（2）有两个角互余的三角形是___________．【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：（1）见直角三角形，可得两锐角互余．（2）见两角互余，可得直角三角形．3．三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角等于___________的和．（3）三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角．【拓展】（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．K知识参考答案：1．（1）（2）两，钝角或直角2．（1）互余（2）直角三角形3．（1）延长线（2）与它不相邻的两个内角（3）大于 K—重点三角形内角和定理K—难点三角形外角及其性质K—易错三角形外角及其性质一、三角形内角和定理1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．2．应用（1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．（2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数．（3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数．【例1】如图，，，，且平分，求的度数．【答案】【名师点睛】（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．二、直角三角形的性质与判定1．性质：直角三角形的两个锐角互余．在中，，则．2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．在中，，则为直角三角形，且．3．符号表示：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成．【例2】如图，，直线分别交，于点，，与的平分线相交于点，求证：为直角三角形．学科网【答案】证明详见解析【名师点睛】三角形中若有两个角互余，即它们的和为，则另一个角一定为角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形．三、三角形的外角及其性质1．三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．2．三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．【例3】如图，是的外角的平分线，若，，则A．   B．    C．    D．【答案】C【解析】∵是的外角的平分线，，∴，∵，∴．【名师点睛】（1）三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是．（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因而证明角不相等时，应设法把求证中的大角放在三角形外角的位置上，把小角放在内角的位置上．（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．1．关于三角形内角的叙述错误的是A．­三角形三个内角的和是180°    B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°  D．一个三角形中最大的角所对的边最长­2．下列叙述正确的是A．­钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角C．三角形中至少有两个锐角D．三角形中至少有一个锐角3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是A．150°    B．135°    C．120°    D．100°4．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是A．锐角三角形  B．直角三角形  C．钝角三角形  D．等边三角形5．在不等边三角形中，最小的角可以是A．80°    B．65°    C．60°    D．59°6．等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是__________．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．9．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是___________．10．求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数．       11．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别是、，检验工人量得，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？     12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是A．3    B．4    C．6    D．513．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于A．25°    B．30°    C．35°    D．40°14．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是A．等腰三角形       B．直角三角形C．锐角三角形       D．钝角三角形­15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=___________．16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．18．如图，∠BCD为△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=35°，则∠BCD=___________．19．如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．    20．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．   21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．   22．如图，在中，是边上的高，是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．    23．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=A．75°    B．80°    C．85°    D．90°24．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是A．24°    B．59°    C．60°    D．69°25．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45°    B．60°    C．75°    D．85°26．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．27．（2018•淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．28．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．1．【答案】B【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．4．【答案】A【解析】因为三角形内角和为180°，根据题意可得：∠B=∠C=80°，所以△ABC是锐角三角形．故选A．5．【答案】D【解析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．6．【答案】80°，50°，50°【解析】如图所示，AB=AC，∠1=∠2+30°．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，∵∠1=∠2+30°，∴∠1–∠2=∠B+∠BAC–∠B–∠ACB=∠BAC–∠ACB=30°①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°–2∠ACB，代入①得，180°–2∠ACB–∠ACB=30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°–∠B–∠ACB=180°–50°–50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°，50°，50°．故答案为：80°，50°，50°．7．【答案】70°或20°【解析】如图①，∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°，∴∠ABC=∠C=（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°． 9．【答案】40°【解析】因为三角形内角和为180°，一个直角为90°，一个锐角为50°，所以另一个锐角的度数为180°–90°–50°=40°．故答案为：40°．学！科网10．【解析】如图，△ACB为直角三角形，为直角，AD，BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于点F，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AD，BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45°，∴∠DFB=∠FAB+∠FBA=45°，即直角三角形两锐角平分线所夹的锐角为45°．11．【解析】如图，延长交于点．因为是的一个外角，∴．因为是的一个外角，所以．所以．所以可以判定这个零件不合格．12．【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得×4×2+×AC×2=7．解得AC=3．故选A．13．【答案】D【解析】∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°–100°–20°=60°，∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D–∠A=60°–20°=40°．故选D．15．【答案】120°【解析】∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°–42°–60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=∠ABC=21°，∠FCB=∠ACB=39°．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．18．【答案】105°【解析】∠BCD=∠A+∠B=70°+35°=105°．故答案为：105°．19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵，∠BED=70°，∴．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．20．【解析】∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°–40°–76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．【解析】∵是边上的高，∴．又∵，，∴，即是直角三角形．23．【答案】A【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．24．【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B．25．【答案】C【解析】如图，∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．26．【答案】100°【解析】∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，∴∠C=180°-30°-50°=100°．故答案为：100°．27．【解析】如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．28．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°．（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．