人教版八年级上册数学讲义练习 专题15.2 分式的运算

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新人教版初中数学学科教材分析数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。   1．分式的乘除（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的__________，分母的积作为积的__________．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式__________．用式子表示为【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．2．分式的乘方分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别__________．【注意】（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成．（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．3．分式的加减（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母__________，把分子相加减．用式子表示为__________．（2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为__________．【注意】（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．（3）异分母分式相加减的一般步骤：①通分：将异分母分式转化成同分母分式；②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．4．分式的混合运算（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算__________，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．5．整数指数幂与科学记数法（1）整数指数幂：若m，n为正整数，a≠0，则．又因为，所以__________．一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．整数指数幂的运算性质①；②；③；④；⑤．上述式子中，m，n均为任意整数．（2）科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．K知识参考答案：1．分子，分母，相乘2．乘方3．不变，，4．加减5． K—重点分式的加减乘除的运算，整数指数幂的运算，科学记数法的应用K—难点分式的混合运算K—易错分式的减法运算中，忽视减号一、分式的乘除分式的乘除运算应注意的“四类问题”（1）理解法则并能正确运用，若是除法运算，则先转化为乘法运算．（2）分子、分母能分解因式的先分解因式，然后约分．（3）运算的结果要化为最简分式或整式．
（4）自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件．【例1】计算的结果是A．    B．    C．y    D．x【答案】A【解析】=，故选A．【例2】下列计算正确的是A．        B．C．       D．【答案】C【例3】化简是A．m     B．-m    C．    D．-【答案】B【解析】原式．故选B．二、分式的加减  学科.网异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键．在整式与分式进行加减运算时，把整式看作分母为1的式子，并按照异分母分式相加减的法则完成计算．【例4】计算的结果为A．1     B．3    C．   D．【答案】C【解析】原式=．故选C．【例5】计算得A．        B．C．          D．2【答案】D【解析】=====2．故选D．三、分式的混合运算分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简，注意使用运算律，寻求合理的运算途径.【例6】化简的结果是A．1     B．    C．    D．-1【答案】B【解析】===．故选B．【例7】计算的结果是A．-    B．   C．-1    D．1【答案】A四、整数指数幂与科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几．【例8】某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米，则这个数的原数是A．0.0000016    B．0.000016   C．0.00016   D．0.0016【答案】B【解析】根据科学记数法的定义1.6×10-5=0.000016．故选B．【例9】百合花的花粉的直径约0.000000087米，这里0.000000087用科学记数法表示为A．8.7×10-7    B．8.7×10-8   C．8.7×10-9   D．0.87×10-8【答案】B【解析】．故选B．【例10】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．五、分式的化简求值分式化简求值的三种类型（1）将分式化简后直接代入数据求值．（2）利用“整体”思想，将式子的值整体代入化简后的式子，再求值．（3）通过引入参数，以参数为媒介减少字母的个数，实现问题转化的目的．【例11】先化简，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．【解析】=，∵，，，∴取1，代入得：原式．1．-0.00035用科学记数法表示为A．-3.5×10-4   B．-3.5×104   C．3.5×10-4   D．-3.5×10-32．计算（-a）2的结果为A．b     B．-b    C．ab    D．3．计算÷的结果是A．-    B．b2x   C．    D．-4．化简的结果是A．-x-1    B．-x+1    C．-   D．5．如果分式，那么A，B的值是A．A=-2，B=5       B．A=2，B=-3C．A=5，B=-2       D．A=-3，B=26．化简的结果是A．    B．   C．   D．7．若=，则++的值为A．    B．    C．2    D．48．计算：-=__________．9．计算的值是__________．10．__________，__________．11．计算：（1）；（2）．   12．先化简，再求值：，其中a=-．   13．已知A=，B=．（1）计算：A+B和A-B；（2）若已知A+B=2，A-B=-1，求x、y的值．   14．下列各式计算正确的是A．      B．C．       D．15．分式a-b+的值为A．  B．a+b    C．   D．以上都不对16．化简等于A．    B．    C．    D．17．化简的结果是__________．18．若，则__________．19．计算：+-．  20．已知，求的值．   21．（2018·山东淄博）化简的结果为A．   B．a-1    C．a    D．122．（2018·山东威海）化简（a-1）÷（-1）·a的结果是A．-a2    B．1    C．a2    D．-123．（2018·黑龙江绥化）某种病菌的形状为球形，直径约是，用科学记数法表示这个数为__________．24．（2018·四川乐山）化简的结果是__________．25．（2018·湖南益阳）化简：．26．（2018·甘肃兰州）先化简，再求值：，其中．1．【答案】A2．【答案】A【解析】原式=a2·=b，故选A．3．【答案】A【解析】，故答案是A选项．故选A．4．【答案】A【解析】原式．故选A．5．【答案】A【解析】因为=，所以，解得，故选A．6．【答案】D【解析】原式．故选D．7．【答案】B8．【答案】-【解析】-==-．故答案为：-．  9．【答案】【解析】===a-b．故答案为：a-b．10．【答案】；【解析】；．故答案为：；．11．【解析】（1）===．（2）===．12．【解析】．当时，原式．13．【解析】（1）∵A=，B=，14．【答案】D【解析】A．原式故A错误；B．原式故B错误；C．原式，故C错误；D．正确．故选D．15．【答案】C【解析】a-b+==．故选C．16．【答案】C【解析】==．故选C．  ∴a=5，b=3，则原式==，当a=5，b=3时，原式=．21．【答案】B【解析】原式===a-1．故选B．22．【答案】A【解析】原式=（a-1）÷·a=（a-1）··a=-a2，故选A．23．【答案】【解析】0.000000102的小数点向右移动7位得到1.02，所以0.000000102用科学记数法表示为，故答案为：．24．【答案】-1【解析】==．故答案为：-1．25．【解析】原式===x．