人教版八年级上册数学讲义练习 专题14.3 因式分解

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

1．因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的__________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

【注意】（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；

（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；

（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；

（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．

2．用提公因式法分解因式

（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的__________．

（2）怎样确定公因式（五看）：

一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；

二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；

三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；

四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；

五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．

（3）提公因式法的定义：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做__________．

（4）提公因式法分解因式的一般步骤：

①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；

②提公因式并确定另一个因式；

③把多项式写成这两个因式的积的形式．

【注意】（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．

（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．

（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．

3．用平方差公式分解因式

（1）平方差公式的等号两边互换位置，得

语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的__________的积．

（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；

②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．

4．用完全平方公式分解因式

（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得

，

语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的__________的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．

②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．

（3）公式法的定义：

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做__________．

K知识参考答案：

一、提公因式法分解因式

1．（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．

（2）公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

（3）要善于发现隐蔽的公因式，如（a-b）与（b-a）是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式．

2．提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式，即用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式．

【例1】多项式各项的公因式为

A．2abc     B．    C．4b    D．6bc

【答案】D

【解析】多项式各项的公因式为6bc，故选D．

【例2】利用提公因式法分解多项式可以得到

A．    B．   C．   D．

【答案】B

二、用平方差公式分解因式

1．只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式．

2．运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式．

【例3】把多项式分解因式正确的是

A．       B．

C．       D．

【答案】B

【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：，分解因式为：．故选B．

三、用完全平方公式分解因式

只有符合公式左边特点的三顶式，才可以运用完全平方公式分解因式．

【例4】下列各式中能用完全平方公式分解因式的是

A．   B．   C．  D．

【答案】C

【解析】A选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；B选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误，故选C．

四、综合多种方法进行分解因式

如何选择分解因式的方法：

分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若式中有两项，则可考虑用平方差公式；若式

中有三项，则可考虑用完全平方公式．

【例5】把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是

A．x（y2-9）         B．x（y+3）2

C．x（y+3）（y-3）       D．x（y+9）（y-9）

【答案】C

【解析】xy2-9x=x（y2-9）=x（y+3) （y-3）．故选C．

【例6】分解因式__________．

【答案】

【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y，再根据完全平方公式分解因式为：．故答案为：．学@科网

1．多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是

A．2ab         B．-6ab

C．-6a2b         D．-6ab2

2．如果多项式-abc+ab2-a2bc的一个因式是-ab，那么另一个因式是

A．c-b+5ac        B．c+b-5ac

C．c-b+ac        D．c+b-ac

3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是

A．6a2b2=3ab·2ab       B．2x2+8x-1=2x（x+4）-1

C．a2-3a-4=（a+1）（a-4）    D．a2-1=a（a-）

4．下列各式的因式分解中正确的是

A．-m2+mn-m=-m（m+n-1）    B．9abc-6a2b2=3ab（3-2ab）

C．3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）    D．ab2+a2b=ab（a+b）

5．计算1052-952的结果为

A．1000         B．1980 

C．2000         D．4000

6．把多项式分解因式正确的是

A．      B．

C．      D．

7．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是__________．

8．如果，那么=__________．

9．因式分解:= __________．

10．把下列各式分解因式：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）15；（8）6x（x+y）-4y（x+y）；

（9）；（10）．

11．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）．

（1）；

（2）．

12．讨论993-99能被100整除吗？

13．计算：1252-50×125+252=

A．100    B．150    C．10000   D．22500

14．把2x-4x分解因式，结果正确的是

A．（x+2）（x-2）      B．2x（x-2）

C．2（x-2x）       D．x（2x-4）

15．分解因式__________．

16．分解因式：=__________．

17．分解因式：x2（x-y）2-4（y-x）2．

18．若关于x的多项式3x2+mx+n分解因式的结果为（3x+2）（x-1），求m、n的值．

19．分解因式：（m,n均为大于1的整数）．

20．（2018·广西贺州）下列各式分解因式正确的是

A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2     B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2

C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）    D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）

21．（2018·甘肃兰州）因式分解：__________．

22．（2018·辽宁大连）因式分解：x2-x=__________．

23．（2018·四川攀枝花）分解因式：x3y-2x2y+xy=__________．

24．（2018·黑龙江大庆）已知：x2-y2=12，x+y=3，求2x2-2xy的值．

1．【答案】B

2．【答案】A

【解析】-abc+ab2-a2bc=-ab（c-b+5ac）．故选A．

3．【答案】C

【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C属于因式分解，故选C．

4．【答案】D

【解析】选项A，原式=-m（m-n+1）；选项B，原式=3ab（3c-2ab）；选项C，原式=3x（a2-2b+1）；选项D，原式=ab（a+b）．故选D．

9．【答案】

【解析】根据完全平方公式进行因式分解为：=．

故答案为：．

10．【解析】（1）原式=3xy（x-2）．

（2）原式=．

（3）原式=．

（4）原式．

（5）原式=．

（6）原式=．

（7）原式=．

（8）原式=2（x+y）（3x-2y）．

（9）原式=．

（10）原式=．

13．【答案】C

【解析】原式=1252-2×25×125+252=（125-25）2=1002=10000．故选C．

14．【答案】B

【解析】2x2-4x=2（x2-2x）=2x（x-2）．故选B．

15．【答案】

【解析】根据完全平方公式进行相乘，合并同类项之后再利用完全平方公式因式分解为：．故答案为：．

16．【答案】

【解析】提取公因式分解因式即可，即原式=．故答案为：．

17．【解析】x2（x-y）2-4（y-x）2

=x2（x-y）2-4（x-y）2

=（x-y）2（x2-4）

=（x-y）2（x+2）（x-2）．

18．【解析】由题意可得：（3x+2）（x-1）=3x2+2x-3x-2=3x2-x-2=3x2+mx+n，

所以m=-1，n=-2．

19．【解析】．

20．【答案】A

21．【答案】

【解析】==，故答案为：．

22．【答案】x（x-1）

【解析】x2−x=x（x−1）．故答案为：x（x−1）．

23．【答案】xy（x-1）2

【解析】原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．故答案为：xy（x-1）2．

24．【解析】∵x2-y2=12，∴（x+y）（x-y）=12，

∵x+y=3①，

∴x-y=4②，

①+②得，2x=7，

∴2x2-2xy=2x（x-y）=7×4=28．