初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除优秀复习练习题

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第十六章  二次根式

16.2  二次根式的乘除

1．二次根式的乘法法则

（1）一般地，二次根式的乘法法则是：

．

语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．

在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件．

推广：①．

②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；

③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．

（2）二次根式乘法法则的逆用

．

语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．

公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．

二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用．

推广：．

运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．

利用积的算术平方根的性质化简的步骤：

①将被开方数进行因数分解或因式分解；

②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．

2．二次根式的除法法则

（1）一般地，二次根式的除法法则是：

．

语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．

【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义．学-科网

②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．

③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．

（2）二次根式除法法则的逆用

★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．

公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可．

3．最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

（1）被开方数不含__________；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．

【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．

K知识参考答案：

一、二次根式的乘法

1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．

2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．

【例1】下列计算正确的是

A．2×3=6       B．3×3=3

C．4×2=8       D．2×6=12

【答案】D

【例2】化简得

A．144     B．±144    C．±12    D．12

【答案】A

【解析】=．故选A．

二、二次根式的除法

1．；

2．，其中．

【例3】等式成立的条件是

A．a、b同号    B．a≥0，b>0   C．a>0，b>0   D．a>0，b≥0

【答案】B

【解析】由二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b是分母，故b>0．故选B．

【例4】计算的结果为

A．    B．    C．   D．

【答案】C

【解析】原式=4x÷=4x×=×3=2×3=6，故选C．

三、二次根式的乘除混合运算

二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．

二次根式乘除混合运算的一般步骤：

（1）将算式中的除法转化为乘法；

（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；

（3）将系数和被开方数分别相乘；

（4）化成最简二次根式．

【例5】计算：于

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】．故选A．

四、最简二次根式

判断二次根式是不是最简二次根式的方法：

一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．

二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．

三判断：得出结论．

【例6】下列根式中，是最简二次根式的是

A．    B．  C．  D．

【答案】C

【解析】因为：A、；B、；

D、，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．

1．下列二次根式中，最简二次根式是

A．   B．    C．   D．

2．如果mn>0，n<0，下列等式中成立的有｡

①；②；③；④．

A．均不成立   B．1个    C．2个    D．3个

3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是

A．和       B．和

C．和     D．和

4．下列等式不成立的是

A．6×=6      B．÷=4

C．=        D．×=4

5．若=，则x的取值范围是

A．x<3         B．x≤3

C．0≤x<3         D．x≥0

6．计算÷×结果为

A．3    B．4    C．5    D．6

7．若成立，则x的取值范围是__________．

8．计算：__________．

9．化简=__________．学科_网

10．下列二次根式：

①；②3；③；④；⑤；⑥．

其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）

11．计算：__________．

12．__________．

13．计算：

（1）；

（2）-3·．

14．计算：

（1）；（2）；（3）-÷；（4）3÷．

15．计算（1）；（2）；

（3）；（4）．

16．当x<0时，等于

A．x   B．x    C．-x   D．-x

17．化简的结果是

A．    B．    C．   D．

18．计算的结果是

A．   B．   C．   D．

19．下列运算正确的是

A．

B．

C．

D．

20．若和都是最简二次根式，则__________，__________．

21．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是__________．

22．计算：+（-2）2-（-）．

23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．

24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是

A．    B．    C．   D．

25．（2018·湖南益阳）__________．

26．（2018·江苏镇江）计算：=__________．

1．【答案】D

【解析】A、=|a|，可化简；B、，可化简；C、，可化简；因此只有D： ，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D．

2．【答案】C

【解析】根据题意，可知mn>0，n<0，所以可得m<0，根据二次根式的乘法的性质，可知m≥0，n≥0，故①不正确；根据二次根式的乘法，可得==1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m≥0，n>0，故③不正确；根据二次根式的除法，可得==-m，故④正确．故选C．

3．【答案】D

【解析】选项A，=，与的被开方数不相同；选项B，=，与的被开方数不相同；选项C，不能够化简，被开方数不相同；选项D，=，=，和化简后被开方数完全相同，故选D．

4．【答案】B

【解析】选项A、C、D正确；选项B，÷=，选项B错误，故选B．

5．【答案】C

【解析】根据题意得：，解得：．故选C．

6．【答案】B

【解析】原式=，故选B．

9．【答案】

【解析】．故答案为：．

10．【答案】①⑥

【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥．

11．【答案】-5

【解析】原式．故答案为：．

12．【答案】+2

【解析】原式

．故答案为：．

13．【解析】（1）

．

（2）

．

14．【解析】（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

15．【解析】（1）原式

．

（2）

．

（3）原式

．

（4）原式．

16．【答案】C

【解析】∵x<0，∴=|x|=-x，故选C．

17．【答案】A

【解析】原式=，故选A．

18．【答案】B

【解析】原式．故选B．

19．【答案】A

【解析】根据二次根式的乘法，可知，故正确；

根据二次根式的性质，=，故不正确；

根据二次根式的除法和分母有理化，可知=，故不正确；

根据二次根式的性质，被开方数不能为负数，可知，故不正确．

故选A．

20．【答案】1、2

【解析】由题意，知，解得，因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．

21．【答案】

【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是．故答案为．

24．【答案】B

【解析】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；

C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B．

25．【答案】6

【解析】原式=2×=6．故答案为：6．

26．【答案】2

【解析】==2，故答案为：2．