2023年湖北省武汉市武昌区八校中考数学联考试卷

2023年湖北省武汉市武昌区八校中考数学联考试卷（3月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小明过马路时，恰好是红灯这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件

3.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而(    )

A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 有时增大有时减小

8.  小明邀请小红玩一个转盘游戏，准备如图三个可以自由转动的转盘，小明转动转盘，小红记录转盘停下时指针所指的数字当三个数字中有数字相同时，就算小明赢，否则就算小红赢请你计算小明赢的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用如图，点把线段分成两部分，如果：：，那么称点是线段的黄金分割点如图，点、、分别是线段、、的黄金分割点，，若，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算的结果是______ ．

12.  某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是______ ．

13.  计算的结果是______ ．

14.  如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工，取，，，则，两点的距离是______

15.  已知在平面直角坐标系中，抛物线是常数过，两点下列四个结论：若，则；若，则；若，则；抛物线与轴交于、两点，则其中正确的是______ 填写序号．

16.  如图，在中，，若，，连接、交于点，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
求证：；
若，求的度数．

19.  本小题分
年月，教育部印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．

请你根据以图表信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量为______ ，扇形统计图中的的值为______ ，组所在扇形的圆心角的大小为______ ；
若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过小时的学生人数．
 

20.  本小题分
如图，在中，，为上一点，连接，．
若，求的度数；
若的面积与的面积之比为：，求的值．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、、、都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中上方作以为斜边的等腰直角；
连接，过作，垂足为；
请你在图中下方找点，使，且平分．

22.  本小题分
一座拱桥的界面轮廓为抛物线型如图，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．

将抛物线放在所给的直角坐标系中如图，其表达式是的形式，请根据所给的数据求出、的值；
求支柱的长度；
拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽的隔离带，其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车汽车间的间隔忽略不计，则在最外侧车道上的汽车最高为______ 高为的汽车在最外侧车道______ 填“能”或“不能”顺利通过拱桥下面．

23.  本小题分
问题提出
如图，在中，，，是内一点，，，若，连接，求的长．
问题探究
请你在图中，用尺规作图，在左侧作，使∽用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由
根据中作图，你可以得到与的位置关系是______ ；你求得的长为______ ；
问题拓展
如图，在中，，，是内一点，若，，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点在的左边，与轴交于点，是抛物线上一点．
直接写出，，三点的坐标： ______ ， ______ ， ______ ；
若点到直线的距离等于，当为何值时，这样的点有且仅有个；
如图，当在第二象限时，连接，，若，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，的相反数是，
故选：．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：小明过马路时，恰好是红灯，这个事件是随机事件．
故选：．
根据随机事件的定义在一定条件下，可能发生也可能不发生的时间即可．
本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握必然事件、随机事件、不可能事件的定义是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、等腰直角三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方运算、幂的乘方运算分别求解即可得到答案．
本题考查了整式混合运算，掌握积的乘方运算、幂的乘方运算法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：的，
反比例函数的图象在第二、四象限，
点，在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中与图象的象限关系是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，从左往右看，函数图象是下降的，
随的增大而减小，
故选：．
根据函数增减性定义，从左往右看，函数图象是下降的，即可确定随的增大而减小．
本题主要考查了函数的图象，观察函数图象发现函数图象的变化趋势是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由图可知：共有种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有种．
则小明获赢的概率，
故选：．
画出树状图，共有种结果，且是等可能的，找出含有相同数字的结果有种，即可计算出小明赢的概率．
本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，过作于，连接交于，

在中，，
在中，，
设，则，
则，
解得，
，
，
在中，，
在中，，
设，，
则，
解得，
即，
，
，，，
≌，
，，
又，，
，
，
，
则该圆纸板最小的直径应当为，才能完全覆盖．
故选：．
过作于，过作于，连接交于，先用勾股定理求出，，，，再证明≌，得出，，然后求出的长度与比较即可得出结论．
本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，关键是对圆内接四边形性质的掌握和运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，
令，设，则，则由，代值得，
解得，
，
，
点分别是线段的黄金分割点，
，
，
，
，，，
将，代入求解即可得到，
，
，
故选：．
根据题中黄金分割点定义，在图中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比，由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．
本题考查黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式性质直接求解即可得到答案．
本题考查二次根式性质，熟记二次根式性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由表中数据可知，这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是，
故答案为：．
根据众数定义：一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；结合题意可知这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是．
本题考查众数定义，熟记众数定义是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：





．
故答案为：．
根据分式混合运算法则化简即可得到答案．
本题考查了分式混合运算，掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为．
，
．
在中，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
，两点的距离是．
故答案为：．
过点作，在中先求出，再在中利用勾股定理求出即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：若，则，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
，
正确；
，
若，则，若，则，
抛物线开口向上时，交轴的正半轴，抛物线开口向下时，交轴的负半轴，
抛物线是常数过，
对称轴在轴的左侧，
，
正确；
若，
抛物线的对称轴在轴的左侧，
，则，，若，则，，
，
，
当，则，，即；
当，则，，即；
正确；
抛物线是常数过，，
，
，，
抛物线，
令，则，
，
，
解得，，
、，
，
，
，，
，
，
错误．
故答案为：．
由判断抛物线的对称轴在轴的右侧，即可得出，解得，即可判断正确；
由，得出若，则，若，则，即可得出抛物线开口向上时，交轴的正半轴，抛物线开口向下时，交轴的负半轴，从而得出对称轴在轴的左侧，则，即可判断正确；
由，得出抛物线的对称轴在轴的左侧，所以，则，，若，则，，由得出，从而得出当，则，，即；当，则，，即，即可判断正确；
利用抛物线的交点式求得，，所以，进而求得、的坐标，即可得出，即可判断错误．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，根据函数的图象和性质得出系数间的数量关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，使得．
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设则，，
．
故答案为：．
过点作，使得证明∽，推出，再证明四边形是平行四边形，推出，，设则，，由此可得结论．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来如下：

原不等式组的解集是，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形为矩形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形，
，即是等腰三角形，
，
． 

【解析】根据矩形性质，得到，，由，结合平行四边形判定定理得到四边形为平行四边形，根据平行四边形性质得到，从而得到；
由知，则，根据矩形对角线相互平分且相等得到，即可求出．
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质及等腰三角形判定与性质，熟练掌握相关平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
即本次调查的样本容量为；
，
即；
组所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：，，．
组的人数为：人，
超过小时的人数为：人，
人．
答：该校九年级每周课外阅读时间超过小时的学生人数为人．
用组的人数除以组人数所占的百分比得到样本容量，再用组人数乘以样本容量可得到的值，然后用乘以组人数所占的百分比得到组所在扇形的圆心角的大小；
用乘以样本中每周课外阅读时间超过小时的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】解：设，
，，
，
，
，
解得，
；
过作于，设，

的面积与的面积之比为：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股可得，
在中，由勾股可得，
． 

【解析】设，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据建立方程求解即可；
过作于，设，根据三角形面积之比求出，则由勾股定理得，进而得到，再利用勾股定理求出、的长即可得到答案．
本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及三角形内角和定理，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，，则即为所求；


如图所示，

找到格点，使得，
又，，
≌，
，
，
，
即；

如图所示，

取点，使得，作平行四边形，延长交于点，则
，
，
，
垂直平分，
，
，
，，，四点共圆，
又
是直径，
，
，
，
即，且平分． 

【解析】根据网格的特点在的垂直平分线上截取，连接，，即可求解；
找到格点，使得，进而证明，≌，得出，即可求解；
取点，使得，作平行四边形，延长交于点，则，点即为所求．
本题考查了勾股定理与网格问题，等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】  能 

【解析】解：由题意可得，、、，
将、代入，
得，
解得，．
由知，，
根据相邻两支柱间的距离均为，设，
将代入，
解得，
由图可知，拱桥最高处到地面得距离为，
故支柱的长度为．
如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点处，汽车高度为，
为的隔离带，为并排行驶三辆宽的汽车得宽度，
则，
设，
将代入，
解得，
故在最外侧车道上的汽车最高为；
故高为的汽车在最外侧车道能顺利通过拱桥下面．

根据题意得出、、，代入，即可求得．
根据相邻两支柱间的距离均为，设，将代入求解．
找到隔离带与并排行驶的车辆位置，转化为图上的点，求出点的坐标，带入解析式计算即可．
此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出点的坐标．
 

23.【答案】垂直  

【解析】解：如图，即为所求；

如图，延长交于点，

中，，，
，，
∽，
，
又，
，
，
，
，
过点作于，
在中，，，
，，
又，
，
在中，，
，
故答案为：垂直，．
如图，作∽，延长交于点，连接，

，，
在中，，，
∽，
，
，，，
，
在中，，，
，
又，
，
为等腰三角形，
由知，，，
在中，，，
，
又，
，
在中，．
以为直径作圆，再以为圆心，为半径作圆，两圆在上方的交点即为点；
延长交于点，根据相似三角形的性质得，再利用三角形内角和定理可得，过点作于，在中，利用勾股定理即可；
作∽，延长交于点，连接，根据∽，得，通过计算的长，得出，即可得出的长，最后利用勾股定理求出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：抛物线，令，则，
，
令，则，
解得或，
点，，
故答案为：，，；
由题意，当点在下方，过点作直线，直线与抛物线只有一个交点时，满足题意，

设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
设直线为，
联立抛物线得，
整理得，
，解得，
则，
，
过点作于，作轴交于，则，轴，
，
，
，，
，
，
，
，
当为时，这样的点有且仅有个；
连接，设交轴于，过点作轴于，

设点坐标为，
，，
，，
，
，
，
∽，
，即，
轴，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，解得或，
点坐标为或，
解法二：作的中垂线交轴于点，通过证明，点在以为圆心，为半径的圆上，然后由距离公式分析求解．
通过解析式即可得出点坐标，令，解方程得出方程的解，即可求得、的坐标；
由题意，当点在下方，过点作直线，直线与抛物线只有一个交点时，满足题意，利用待定系数法求出直线的解析式为，设直线的解析式为，联立抛物线整理得，根据根的判别式可得，则，，过点作于，作轴交于，则，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
连接，设交轴于，过点作轴于，设点坐标为，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线于轴的交点、顶点坐标的确定，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解本题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题．