2022-2023学年广东省佛山二中教育集团八年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年广东省佛山二中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在数轴上表示不等式组，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  已知点在第一象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 如果，，则 B. 直角都相等
C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则

6.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，点是的平分线上一点，于点，点为射线上一点若，则长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    )

A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点

10.  如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点，连接，，下面结论：≌；；；平分，其中结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若，则 ______ ．

12.  已知点与关于原点对称，则 ______ ．

13.  如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为______ ．

14.  若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．

15.  已知等边三角形的边长是，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形，得到第三个等边；，如此下去，这样得到的第个等边三角形的边长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移个单位长度得到．
画出和；
与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是______ ；
已知为轴上一点若的面积为，直棱写出点的坐标______ ．

18.  本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
求两直线交点的坐标；
求的面积；
根据图象直接写出时自变量的取值范围．

19.  本小题分
如图，已知于，于，、相交于点，若求证：平分．

20.  本小题分
已知关于、的方程组的解为负数，为非正数．
求的取值范围；
在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解为．

21.  本小题分
如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点．
求证：是的垂直平分线．
若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．

22.  本小题分

某文化用品商店计划同时购进一批、两种型号的计算器，若购进型计算器只和型计算器只，共需要资金元若购进型计算器只和型计算器只，共需要资金只。

求、两种型号的计算器每只进价各是多少元？

该经销商计划购进这两种型号的计算器共只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过元，根据市场行情，销售一只型计算器可获利元，销售一只型计算器可获利元，该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于元，则该经销商有哪几种进货方案？

23.  本小题分
如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动设点的运动时间为连接．
当，求的长度结果保留根号；
当为等腰三角形时，求的值；
过点作于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
处是空心点，处是实心点，且小于向左，大于向右．
故选：．
根据不等式解集的表示观察数轴即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】
解：如图，根据题意米，
，
米，
米．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：点在第一象限，

解得：．
故选：．
根据点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数求解即可．
本题考查解一元一次不等式组，掌握坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号的特点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、如果，则不一定是，，错误；
B、如果角相等，但不一定是直角，错误；
C、同位角相等，两直线平行，正确；
D、如果，可得或，错误；
故选：．
首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
此题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键是能够正确的得到原命题的逆命题．
 

6.【答案】 

【解析】解：是边的垂直平分线，
．
的周长．
又，
．
故选：．
，根据已知条件易求．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：点是的平分线上的一点，于点，，
当时，．
故选：．
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则
，
所以，
所以“数学风车”的周长是：．
故选：．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
 

9.【答案】 

【解析】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：．
角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，
，故正确；
≌，
，，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
即：平分，故正确．
故选：．
由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出≌；由≌，得出，根据三角形外角的性质得出，即可得；由证明≌，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；由≌得到和面积等，且，从而证得点到、的距离相等，利用角平分线判定定理得到点在角平分线上．
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点与关于原点对称，
．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
，
由旋转可知：，
．
故答案为：．
根据勾股定理可得，旋转可得，进而可得答案．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为不等式组的解集是，根据同大取较大原则可知：，
当时，不等式组的解集也是，
所以．
故答案为：．
根据不等式组的解集，可判断与的大小．
主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：等边三角形的边长为，，
，，根据勾股定理得：，即：，
则，等边三角形的边长为，，
，，根据勾股定理得：，即：，
则，等边三角形的边长为，，
，，根据勾股定理得：，即：，
依此类推，第个等边三角形的边长为．
故答案为：．
由为边长为的等边三角形的高，利用三线合一得到为的中点，求出的长，利用勾股定理求出的长，同理求出，，依此类推，得到第个等边三角形的面积．
此题主要考查了规律型图形变化类以及等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集是．
用数轴表示如下：
 

【解析】根据一元一次不等式组的解法，求出两个不等式的解集，然后求出公共解集即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法，注意在数轴上表示时，有等号的用实心圆点表示，没有等号的用空心圆圈表示．
 

17.【答案】  或 

【解析】解：如图，和为所作；

如图，与关于点成中心对称，点的坐标为；
故答案为
设点坐标为，
的面积为，
，解得，，
点坐标为或．
故答案为或．
利用中心对称的点的坐标特征写出、、的坐标，描点得到，利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点得到；
连接、、，它们相交于点，则点为对称中心；
设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解得点坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

18.【答案】解：将代入得，；将代入得，
组成方程组得，解得，
故D点坐标为；
由可知，点坐标为
故；
． 

【解析】将代入，即可求出的值，将代入即可求出的值，得到两函数的解析式，组成方程组解求出的坐标；
由可知，点坐标为，分别求出和的面积，相加即可．
由图可知，在点左侧时，，即时，．
本题考查了两条直线相交或平行的问题，主要是理解一次函数图象上点的坐标特征．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，，，
平分． 

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，再根据角平分线的判定的判定定理证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：解方程组，
解得：，
为负数，为非正数，
，
解得：；
因为，
所以，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
，
，
整数，，
所以当或时，不等式的解集为． 

【解析】解方程组得出，根据为负数，为非正数得，解之即可；
由知，根据不等式的解集为知，解之得，结合可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：是的平分线上一点，，，
，，
≌，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；

是的平分线，，
，
，，
，，
，
，
． 

【解析】先根据是的平分线上一点，，得出≌，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线；
先根据是的平分线，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：设型计算器进价是元，型计算器进价是元，
得  
解得
答：每只型计算器进价是元，每只型计算器进价是元．

设购进型计算器为只，则购进型计算器为只，得：

解得，
因为是正整数，所以，，．
答：该经销商有种进货方案：进只型计算器，只型计算器；
进只型计算器，只型计算器；进只型计算器，只型计算器． 

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，根据题意得出有关等量关系是解决问题的关键．
根据型计算器只和型计算器只，共需要资金元；若购进型计算器只和型计算器只，共需要资金元，得出等量关系，列出二元一次方程组即可；
根据经销商计划购进这两种型号的计算器共只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过元，可得出不等式关系，再利用销售一只型计算器可获利元，销售一只型计算器可获利元，销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于元，即可得出不等式组，求出即可．
 

23.【答案】解：，，即：，
，
，，
，
则；
根据题意，得，，
在中，，，
根据勾股定理，得，
若，则 ，
解得；
若，则，，
解得；
若，则，即：，
解得．
即：当为等腰三角形时，的值为、、；
点在线段上时，过点作于，如图所示：

则，
，
，
平分，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示：

同得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 

【解析】由，可得，再利用勾股定理即可求得结果；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，角平分线的判定定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．