专题07 用单摆测重力加速度——【备考2023】高考物理实验题专题精讲精练学案（原卷版+解析版）

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1.实验原理
单摆在偏角小于5°时，其振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是，由此得，因此测出单摆的摆长和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2.实验步骤
(1)做单摆
取约1m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。
(2)测摆长
用米尺量出摆线长(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长。
(3)测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30~50次全振动的总时间，算出平均一次全振动的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次，再算出周期的平均值。
(4)改变摆长，重做几次实验。
3.数据处理
(1)公式法
将测得的几次周期T和摆长l代入中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地的重力加速度的值。
(2)图像法
由单摆的周期公式可得，因此以摆长l为纵轴，以为横轴作出l-图像，是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。，。
典例1：（2020·浙江·高考真题）某同学用单摆测量重力加速度，
①为了减少测量误差，下列做法正确的是_____（多选）；
A．摆的振幅越大越好
B．摆球质量大些、体积小些
C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
②改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图象如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是_____。
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
【答案】①BC ②C
【规范答题】①[1]．A．单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，单摆的摆角不能太大，一般不能超过5°，否则单摆将不做简谐振动，故A做法错误；
B．实验尽量选择质量大的、体积小的小球，减小空气阻力，减小实验误差，故B做法正确；
C．为了减小实验误差，摆线应轻且不易伸长的细线，实验选择细一些的、长度适当、伸缩性小的绳子，故C做法正确；
D．物体再平衡位置（最低点）速度最大，计时更准确，故D做法错误。
②[2]．单摆的周期
即
但是实验所得没过原点，测得重力加速度与当地结果相符，则斜率仍为；则
故实验可能是测量是直接将摆线的长度作为摆长了。
典例2：（2022·山东济宁·三模）居家防疫期间，小明在家做“用单摆测定重力加速度”的实验。他使用一块外形不规则的小石块代替摆球，如图甲所示。设计的实验步骤是：
A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点；
B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长；
C．将石块拉开一个大约=5°的角度，然后由静止释放；
D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由得出周期；
E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T；
F．根据公式，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。
（1）为减小实验误差，应从石块摆到___________（选填“最低点”或“最高点”）位置开始计时。
（2）小明用ON的长l为摆长，利用公式求出的重力加速度的测量值比真实值___________（选填“偏大”或“偏小”）。
（3）小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2-l图像如图乙所示，若图像的斜率为k，则重力加速度的表达式是g=___________。
【答案】（1）最低点 （2）偏小 （3）
【规范答题】（1）[1]为减小实验误差，应从石块摆到最低点位置开始计时。
（2）[2]由单摆的周期公式
得
用ON的长l作为摆长，摆长偏短，则测得的重力加速度偏小；
（3）[3] 设石块质心到N点的距离为R，则实际摆长为，则可得
可知图像的斜率
可得重力加速度为
1．（2022·福建·上杭一中模拟）某小组同学用如图1所示的DIS二维运动实验系统研究单摆在运动过程中机械能的转化和守恒（忽略空气阻力）。实验时，使发射器（相当于摆球）偏离平衡位置后由静止释放，使其在竖直平面内摆动。系统每隔0.02s记录一次发射器的位置，多次往复运动后，在计算机屏幕上得到的发射器在竖直平面内的运动轨迹如图2所示。（当地的重力加速度g=9.8m/s2）
（1）在运动轨迹上选取适当区域后。点击“计算数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内各点的重力势能、动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图3所示。由图3可知，此单摆的周期为___________s。是否可以根据单摆的周期公式计算此摆的摆长大小，如若能，请计算摆长大小：若不能请说明理由。___________。
（2）图3中的C点对应在图2中圆弧轨迹AB上的某一点，该点在( )
A．圆弧AB中点的左侧 B．圆弧AB中点的右侧
C．圆弧AB的中点 D．信息不够，不能确定
【答案】（1）1.12 见解析 （2） A
【规范答题】（1）[1]由图3可得，经2.8s时间，摆球重力势能从零增大到最大，动能从最大减小为零，可知
[2]由可知，可以计算其摆长，代入数据得摆长为
（2）[3]由图可知，图3中的C点动能和势能相等，根据
即
根据几何知识可知，该点在圆弧AB中点的左侧。
故选A。
2．（2022·北京大兴精华学校三模）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。
A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
A． B． C．
（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。
（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。
A．B． C． D．
（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用，求出g。请问两位同学的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______
【答案】 （1） AB （2）91.60（91.50-91.70） （3） （4） （5） C （6）小牛 小爱同学用 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
【规范答题】（1）[1] A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线，A正确；
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，B正确；
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，为了使摆长不变，选C方式悬挂，C错误；
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，相邻两次经过平衡位置的时间是半个周期，正确的方法是用此时间除以25作为单摆振动的周期，D错误。
故选AB。
（2）[2]利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为91.60cm。
（3）[3]根据单摆的周期公式
解得
（4）[4]设摆线下端到锁的重心的距离为x，根据单摆的周期公式得
解得
（5）[5]设球半径为r，根据单摆的周期公式得
解得

他最有可能得到的图像是C。
（6）[6]小牛同学的方案更合理；
[7]小爱同学用 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟）某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）如果他测得的g值偏小，可能的原因是_______。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大
B．开始计时时，秒表过迟按下
C．实验中误将49次全振动数次数记为50次
（2）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与的数据如图1所示，再以l为横坐标，T2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g=_______。（用k表示）
（3）同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图像（如图2），由图可知，两单摆摆长之比_______。在t=1s时，b球振动的方向是_______。
【答案】（1）A （2） （3） y轴负方向
【规范答题】（1）[1]A．由单摆的周期公式
可得
摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了，导致测得的重力加速度偏小，故A正确；
B．开始计时时，秒表过迟按下，导致测量时间偏短，周期偏小，测得的重力加速度偏大，故B错误；
C．实验中误将49次全振动数次数记为50次，导致周期偏小，测得的重力加速度偏大，故C错误。
故选A。
（2）[2]由单摆的周期公式
可得
图线的斜率
可解得
（3）[3]由图可知，两单摆的周期之比
由周期公式可得摆长之比
[4]在t=1s时，由振动图象的特点可知，b球振动的方向沿y轴负方向。
4．（2022·福建·模拟）某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
（1）实验室有多种足够长的细线可用来制作单摆，由于材质不同，这些线的质量、弹性各不相同，为更好的完成实验，该同学应选择怎样的线材？请分析说明。_____________________
（2）该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。则当地重力加速度的表达式g=________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样________（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
（3）该同学在实验时有以下操作：
A．摆线偏离竖直方向的最大摆角小于5°
B．当小球通过平衡位置时开始计时
C．摆球未在竖直面内摆动，摆成了圆锥摆
D．计时开始后测得摆球第n次经过平衡位置所用的时间t，记录单摆的周期为T=2tn
以上操作你认为_______存在问题，试分析说明该操作对测量结果有何影响_________________。
【答案】（1）摆线应选无弹性的材质，分析见解析 （2） 不影响 （3）C 见解析
【规范答题】（1）[1]实验中摆球摆动过程中摆长不能改变，所以摆线选用无弹性的材质。
（2）[2]根据单摆的周期公式，可得
整理可得
即L-T2图线斜率代表，有
又
联立，可得
[3]在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L-T2图线斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。
（3）[4]摆球应在竖直平面内摆动，且从最低点开始计时，若测得n次经过最低点的时间为t，则周期为
所以C选项的操作有问题。故ABD正确；C错误。
故选C。
[5]小球做圆锥摆运动时，由向心力公式
得
其中，可知测量值偏小。
5．（2022·湖北省罗田县第一中学模拟）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是________；
A． B． C．
（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为_______；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是________；
A．摆线的长度应适当长些
B．单摆的摆角应尽量大些
C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期
【答案】（1）B （2）14.4 （3）AD
【规范答题】（1）[1]该实验中用于测量时间需要准确的时间，则选用秒表，所以B正确；AC错误；
故选B。
（2）[2]游标卡尺的读数为
主尺读数＋游标尺的读数精度值＝14mm+40.1mm=14.4mm
（3）[3]A．摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；
B．单摆的摆角不能过大，需要满足摆角，所以B错误；
C．测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确；
故选AD。
6．（2022·江苏南通·模拟）某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的有________；
A．保证摆动过程中摆长不变
B．需要改变摆长时便于调节
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
（2）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d=_______mm；
（3）某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________（选填“最高点”或“最低点”）；
（4）该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如下表，请在图丙中作出T2-L关系图像_______。根据图像算出重力加速度g=_______m/s2；（结果保留3位有效数字）
（5）若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是________（写出一个）。
【答案】（1）AB （2）18.9 （3）最低点 （4） 9.86（9.83～9.89范围内均可） （5）见解析
【规范答题】（1）[1]用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动。
故选AB。
（2）[2]由题图乙可知摆球直径为
（3）[3]摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大。摆球在最低点附近速度较大，由位置判断的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时。
（4）[4]作出T2-L关系图像如图所示。
[5]根据单摆周期公式变形可得
所以图像的斜率为
解得
（5）[6]①本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大。
②实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为
解得
由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大。
③实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g的测量值偏大。
7．（2022·北京八十中模拟）某研究性学习小组在进行“用单摆测量重力加速度”的实验中（实验装置如图甲所示），已知单摆在摆动过程中的最大偏角小于。在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为（读数如图乙所示）。
①从图乙可知，摆球的直径为_________。
②小组某同学认为单摆周期为，你认为是否正确_________。（A．正确；B．不正确）
③用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式_________。
④在测量时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比_________（填偏大、偏小、不变），说明理由___________。
【答案】① ②B ③ ④偏大 见详解
【规范答题】①[1]从图乙可知，摆球的直径为
②[2]由题意可知，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则单摆全振动的次数为
则单摆的周期为
故选B。
③[3]根据单摆的周期公式可得
由题意可知，单摆的摆长为
整理得
④[4][5]以表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，T表示摆球做圆周运动的周期，如图所示
由牛顿第二定律有
解得
与单摆的周期公式比较可知，测得的周期偏小，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比偏大。
8．（2022·山东省实验中学模拟）用如图甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）为了减小测量误差，下列说法正确的是__________（选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（2）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是__________（选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（3）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出图线如图乙所示，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为，如图所示。由图可计算出重力加速度g=_______。
【答案】（1）B （2）BC （3）
【规范答题】（1）[1]
A．实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的材质小球，故A错误；
B．为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；
C．小球做单摆运动应满足摆角小于，故C错误；
D．应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。
故选B。
（2）[2]
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则 偏大，由可知g偏大，故A不符合题意；
B．把摆线的长度记为摆长，则 偏小，由可知g偏小，故B符合题意；
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则由可知g偏小，故C符合题意；
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则T偏小，由可知g偏大，故D不符合题意。
故选BC。
（3）[3]若摆球重心在球心以上x处，则
得
由图像可得
解得
9．（2022·天津·模拟）（1）用单摆测定重力加速度的实验原理是___________。
（2）若测量结果得到的值偏大，可能是因为___________。（选填选项前的字母）
A．组装单摆时，悬点没有固定牢固
B．测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C．测量周期时，把次全振动误认为是次全振动
D．测量摆长时，用力向下拉着摆球测量摆长
（3）多次改变摆长测出对应的周期，将数据输入计算机，可得到图2所示的图像，图线经过坐标原点，斜率。由此求得重力加速度___________。（，此空答案保留3位有效数字）
【答案】（1） （2） D （3） 9.86
【规范答题】（1）[1]根据单摆周期公式
可得
（2）[2]根据
A．测量过程悬点松动导致摆线长度边长，则测得的周期肯定偏大，故测得的重力加速度值偏小，选项A错误；
B．错把摆线长当了摆长，则摆长的测量值偏小，重力加速度测量值偏小，选项B错误；
C．测量周期T时，把次全振动的次数误数为次，测得的周期偏大，则测得的重力加速度值偏小，选项C错误；
D．测量摆长时，用力向下拉着摆球测量摆长，摆长偏大，则测量结果得到的值偏大，选项D正确。
（3）[3]根据整理得
可知图像斜率
解得
10．（2022·浙江温州·三模）（1）在“研究平抛运动”的实验中，为了测量小球平抛运动的初速度，采用如图甲所示的实验装置。实验操作的主要步骤如下：
a.将坐标纸用图钉固定在木板上，并将木板竖直固定；
b.将斜槽安装在木板左端，调节斜槽末端轨道水平，同时将重锤线挂在水平轨道边缘；
c.在斜槽上端一固定位置静止释放小球，同时记录抛出点位置O，记录重锤线方向；
d.小球从O点飞出后，撞到与木板平面垂直的竖直挡条上。小球撞击挡条时，会在挡条上留下一个痕迹点。用铅笔将痕迹点的投影点记录在坐标纸上；
e.向右移动竖直挡条，从斜槽上相同的位置无初速度释放小球，小球撞击挡条后，再次将挡条上痕迹点的投影点记录在坐标纸上，重复以上操作；
f.取下白纸，描绘平抛运动轨迹，研究轨迹的性质，求出小球平抛运动的初速度大小。
①实验过程中，要建立直角坐标系。在下图中，坐标原点选择正确的是___________。
A B C D
②关于这个实验，下列说法正确的是___________。
A．斜槽的末端一定要水平
B．一定要使用秒表来测量平抛运动的时间
C．竖直挡条每次向右移动距离一定要相等
D．一定要记录抛出点的位置，才能求出小球的初速度
③某同学在实验中，只记下斜槽末端悬挂重锤线的方向，根据实验描绘出一段轨迹。如图乙所示，选取A、B、C三点，测得三点离重锤线的距离分别为、、，并测得AB两点间的高度差、BC两点间的高度差，则小球平抛的初速度___________m/s，小球的半径R=___________cm。
（2）某同学用单摆测量重力加速度。改变摆长，并多次测量周期和摆长的大小。仅由于摆长测量的误差，得到周期的平方与摆长的关系如图丙所示。下列说法正确的是___________。
A．图线不过原点的原因可能是仅记录摆线的长度作为摆长
B．图线不过原点的原因可能是将摆线的长度加上小球的直径作为摆长
C．由图像所得的重力加速度一定小于重力加速度的真实值
D．由图像所得的重力加速度一定大于重力加速度的真实值
【答案】（1） C A 1.4 0.5 （2） B
【规范答题】①[1]实验过程中，要建立直角坐标系。因小球撞击竖直挡板时右侧先与挡板接触，则坐标原点选择小球右侧的位置，即正确的是C；
②[2]A．斜槽的末端一定要水平，以保证小球做平抛运动，选项A正确；
B．根据
可知，该实验不需要使用秒表来测量平抛运动的时间，选项B错误；
C．竖直挡条每次向右移动距离不一定要相等，选项C错误；
D．画出运动轨迹后可根据
结合
求解平抛的初速度，不一定要记录抛出点的位置，也能求出小球的初速度，选项D错误。
故选A。
③[3]因为
可知AB和BC段的时间相等，设为T，则竖直方向
解得
T=0.1s
则初速度
[4]在B点竖直方向
解得
tB=0.25s
B点距离抛出点的水平距离
则小球的半径

④[5]根据
可得
AB．图线不过原点在横轴上有截距，则原因可能是将摆线的长度加上小球的直径作为摆长，选项A错误，B正确；
CD．图像虽然不过原点，但是不影响图像的斜率，即
可知，由图象所得的重力加速度仍等于重力加速度的真实值，选项CD错误。
故选B。次数
1
2
3
4
5
L/m
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
T/s
1.43
1.55
1.67
1.78
1.90
T2/s2
2.04
2.40
2.79
3.17
3.61