2023年中考复习存在性问题系列 特殊角的存在性问题专题探究

这是一份2023年中考复习存在性问题系列 特殊角的存在性问题专题探究，共13页。
2023年中考复习存在性问题系列               特殊角的存在性问题专题探究    特殊角的存在性问题也是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度。解题攻略  【基本概念】特殊角存在性问题在坐标系中可以由以下几种方式得到：（1）等腰直角三角形的性质；（2）平行线的性质；（3）等边三角形的性质；（4）等角三角函数相等。（5）直角三角形性质。2.【基本题型】（1）30°，60°特殊角（2）90°的特殊角（3）45°的特殊角（4）15°的特殊角3.【解题思路】（1）运用三角函数值；（2）遇45°构造等腰直角三角形；（3）遇30°，60°构造等边三角形；（4）遇90°构造直角三角形。典例剖析1.遇45°构造等腰直角三角形例1.如图，抛物线与y＝－x2＋x＋2与直线y＝x＋2交于C，D两点，点P是直线CD上方的抛物线上一点，PE⊥x轴于点E，交CD于点F，∠PCF＝45°，求点P的坐标．变式训练1如图，已知直线与抛物线相交于，两点，抛物线的顶点是，点在轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．（3）在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 遇30°，60°构造等边三角形例2.如图，抛物线y＝x2－12与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在抛物线上，且∠APB＝60°，求点P坐标．变式训练2如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；遇90°构造直角三角形。例3.已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ，求点K的坐标．练习：已知抛物线经过点 和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；（2）如图1，是否存在点，使四边形的面积为8？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接交于点，当时，请求出点的坐标；（4）如图3，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标．                            答案例1.【解答】延长PC交x轴于点A，过点A作AG⊥AC，交直线CD于点G，设A（a，0），易得G（a－2，－a），代入y＝x＋2，得a＝－ ，∴A（－，0），∴AC：y＝3x＋2．联立，得P（，）变式训练1【解答】解：（1）将点代入直线得，，，直线，当时，代入直线得：，解得：，点坐标，设抛物线表达式为，将点代入抛物线得，，解得：，抛物线表达式；（2）当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：①如图，当为边时， 设点，已知点，点，，，，即，解得，即点的坐标，延长交轴于点，作轴于，交的延长线于点．由，可得，，，， ②如图，当为对角线时， 取线段的中点，作辅助圆，与轴交于点，，作轴于点，点坐标，，即，由①可得线段，半径，在△中，，，，根据垂径定理可得，，点坐标，点坐标；综上所述，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，点坐标为：或或或；（3）存在点的横坐标为或，使．理由如下：假设存在满足条件的点，如图，当四边形为正方形，且点，分别在直线和直线上时，，设过线段中点，且与线段垂直的直线：，将点代入得：，解得，直线为，设点点坐标，在中，，，，解得，，解得，，点坐标，点坐标，设直线表达式为：，将点，点代入得，，解得，直线的表达式为，同理可得直线的表达式为，联立直线与抛物线可得，，解得，，同理联立直线与抛物线可解得，，点的横坐标为或．例2解：A（－，0），B（，0），在y轴上取点M（0，2），设P（t，t2－12），易得∠AMB＝120°，（1）点P在x轴上方时，以M为圆心，MA＝4为半径画圆，与抛物线交于点P，点P即为所求，MP2＝MB2＝16，t2＋（t2－12－2）2＝16，t4－27t2＋180＝0，（t2－12）（t2－15）＝0，t2＝12或t2＝15，∴P（±，0）（舍去），（±，3）；（2）当点P在x轴下方时，M（0，－2），MP2＝MB2，t2＋（t2－12＋2）2＝16， t2＝12（舍）或t2＝7，t＝±，P（±，－5）；故点P的坐标为（±，3），P（±，－5）．变式训练2【答案】见解析.【解析】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得到，解得，∴抛物线的解析式为yx2﹣2x．（2）设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．∵yx2﹣2x（x﹣3）2﹣3，∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），∴OM＝3．BM＝3，∴tan∠MOB，∴∠MOB＝60°，∵∠BOD＝30°，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，∴MN＝OM•tam30°，∴N（3，），∴直线ON的解析式为yx，由，解得或，∴D（5，）．例3.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a，∴二次函数的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4；（2）存在，理由如下：取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：yx，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，c），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQBC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（c2）2＝8，∴c＝4或，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c，则点M坐标（，），故线段PB上存在点M（，），使得∠BMC＝90°；（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4，∴n，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE.①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴（4﹣m），∴m，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立y＝4x﹣4，x2+x+4得：点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴（4﹣m），[来源:学科网]∴m，∴点N（，），∴直线DK解析式为：yx，联立yx，x2+x+4，得点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．