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初中数学沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理教学课件ppt
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这是一份初中数学沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理教学课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了知识要点，勾股定理的逆定理，勾股数，直角三角形，钝角三角形，即A′B′c，特别说明，c2625，c2121，练一练等内容，欢迎下载使用。
3.勾股定理的逆定理的应用
问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？
古埃及人用如图的方法画直角：
把一根长绳上打13个等距的结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
(1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10.
(1)a=3,b=4,c=5;
(2)a=4,b=6,c=8;
(3)a=6,b=8,c=10.
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A‘B′C′,使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′²=a²+b²=c²，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角.
解:(1)最大边为c=25，
∵a2+b2=72+242=625，
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.最大边c所对的角是直角.
(2)最大边为c=11，
∵a2+b2=72+82 =113，
∴a2+b2≠c2.
∴△ABC不是直角三角形.
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2=c2,∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则( ) A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
(1)a=3,b=4,c=5; (2)a=5,b=12,c=13; (3)a=7,b=24,c=25; (4)a=9,b=40,c=41; (5)a=11,b=60,c=61.
以下这些数都是勾股数：
下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知， 如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了. 解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18， QR=30.因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2， 所以 ∠QPR= 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. 因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系.
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
AC＝40×0.1＝4(n mile)，BC＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°.因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,3 D.1,2,3
2.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.在△ABC中，AB=12 cm，AC=9 cm，BC=15 cm,则S△ABC等于( ) A.54 cm2 B.108 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2
4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴ △BEF是直角三角形.
3.勾股定理的逆定理的应用
问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？
古埃及人用如图的方法画直角：
把一根长绳上打13个等距的结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
(1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10.
(1)a=3,b=4,c=5;
(2)a=4,b=6,c=8;
(3)a=6,b=8,c=10.
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A‘B′C′,使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′²=a²+b²=c²，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角.
解:(1)最大边为c=25，
∵a2+b2=72+242=625，
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.最大边c所对的角是直角.
(2)最大边为c=11，
∵a2+b2=72+82 =113，
∴a2+b2≠c2.
∴△ABC不是直角三角形.
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2=c2,∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则( ) A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
(1)a=3,b=4,c=5; (2)a=5,b=12,c=13; (3)a=7,b=24,c=25; (4)a=9,b=40,c=41; (5)a=11,b=60,c=61.
以下这些数都是勾股数：
下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知， 如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了. 解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18， QR=30.因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2， 所以 ∠QPR= 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. 因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系.
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
AC＝40×0.1＝4(n mile)，BC＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°.因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,3 D.1,2,3
2.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.在△ABC中，AB=12 cm，AC=9 cm，BC=15 cm,则S△ABC等于( ) A.54 cm2 B.108 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2
4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴ △BEF是直角三角形.
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