2023届陕西省华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学（文）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学（文）试题一、单选题1．若集合，集合，则中整数的个数为（    ）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据不等式的解法，分别求得集合，，结合集合并集的运算，求得，进而得到答案.【详解】由题意，可得集合，，则，其中集合有，共有个.故选：C.2．已知复数z满足，若，则复数z为（    ）．A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据复数的模的计算求得a的值，再根据复数的除法运算即可求得答案.【详解】由有，即，解得，当时，,当时，.故选：C3．党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（    ）．A．30％ B．35％ C．40％ D．45％【答案】C【分析】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，结合条件可得，进而即得.【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，则2019年引入高科技人才的数量占比为，2022年引入高科技人才的数量占比为，依题意有，且，解得，所以2022年引入高科技人才的数量占比为．故选：C.4．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（    ）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面【答案】B【分析】利用正切值相等可说明，由此可得，结合平行关系可知A正确；由，可知B错误；通过证明四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可知C正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知D正确.【详解】对于A，连接，，，，又，，即；，，四边形为平行四边形，，，A正确；对于B，连接，分别为中点，，又，，，与不平行，B错误；对于C，连接，分别为中点，，；，，四边形为平行四边形，，，为中点，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，C正确；对于D，连接，，四边形为平行四边形，四边形为菱形，；平面，平面，，又，平面，平面，平面，平面平面，D正确.故选：B.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设，得到为等比数列，求得，结合，进而求得的值．【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，…为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，则，所以第8项为．故选：C.6．已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则M点到y轴的距离是（    ）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】联立方程组，求得，得到点的横坐标，即可求解.【详解】联立方程组，整理得，则，由，可得，即点的横坐标为，所以点到轴的距离为．故选：B.7．已知函数满足，，则下列说法正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】用换元法求出，再用代入法即可解出答案．【详解】设，则，∴，．由，有，即，∴．故选：D8．将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（    ）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数图象变换规律可得，然后根据三角函数的性质可得，再利用正弦函数的图象和性质结合条件即得.【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象，∵的图象关于点对称，得，．又∵，∴，∴．令，当时，有，由，可得，，结合函数的图象可得，在上只有2个解，即函数在上零点的个数是2．故选：B.9．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面角算出点B到平面ADC的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.【详解】取AC的中点E，连接BE，DE，则，，可得平面DEB．又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面．在平面DEB中，过点B作于点H，则平面ADC，∴是直线BD与平面ADC所成角的平面角．设，则，易求，，则．由勾股定理可得，即，解得，于是，点H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上，的外心为E，连接OE,则平面ABC，,设三棱锥外接球的半径，在中，由射影定理可得，即，解得，∴三棱锥外接球的表面积．故选：B.10．已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用参变分离可得，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得.【详解】由得．令，，又∵，当时，，单调递增．当时，，单调递减．∴，∴，即．故选：D.11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由可判断，构造函数，由在上单调递增可判断.【详解】令，，，易知，当且仅当时取等号，所以，记，，则，所以在上单调递增，所以，即．故选：A12．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）．A． B． C．6 D．12【答案】B【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.【详解】设，则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，将圆的方程代入双曲线方程得，即，判别式，解得，当时，，且，∴等号能成立．∴．故选：B 二、填空题13．若满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线在轴截距最大问题的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，直线在轴截距最大，平移直线可知：当过点时，在轴截距最大，由得：，即，.故答案为：.14．已知曲线在处的切线为m，则过点且与切线m垂直的直线方程为__________．【答案】．【分析】求得，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则，即切线m的斜率为，所以所求直线的斜率为1，其方程为，即．故答案为：.15．在中，内角的对边分别为．若，，，是边上的高线，点为垂足．点为线段上一点，点关于直线的对称点为点．从四边形中任取一点，该点来自的概率记为，则的最小值为______．【答案】/【分析】利用余弦定理和勾股定理可知，作，可知当最大时，最小；设，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出，由此可得，进而求得最小值.【详解】由余弦定理知：，即，解得：，，为直角三角形，，设，作于点，，，，要使得最小，则面积最大，即点到的距离最大．设，则，，，，，，∽，，，则当，即时，取得最大值，，此时，.故答案为：.16．已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为__________．【答案】【分析】设D是线段的中点，从而可求得，同理可得，再结合可求得，再根据结合二次函数的性质即可得解.【详解】如图所示，设D是线段的中点，由于O是外接圆的圆心，故，所以，同理可得，由于，故，即，解得，则，由于，依题意有最大值，令，设，当，即时，（舍去），当，即时，，解得（舍去），综上可得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求出，，再结合，求出是解决本题的关键. 三、解答题17．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．(1)求年份x与发展总指数y的回归方程．(2)根据(1)中的回归方程计算的各年发展总指数值与实际发展总指数值差的绝对值，并记为X，若，则称该年为和谐发展年．若从2019～2022这四年中任选两年，记事件A：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件A发生的概率．参考公式：回归方程，其中，，，．【答案】(1)(2) 【分析】第一小问把题目所给的数据代入回归方程求出即可.第二小问先求X的可能取值，得到从这四年中任选两年共有6种可能，其中有1种可能不含和谐发展年，由即可求出.【详解】（1）由题意得，所以，．所以．（2）当时，；当时，；当时，；当时，．故2019-2022这四年中有两年为和谐发展年，记为a，b，另两年记为c，d，则从这四年中任选两年，有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种可能，其中只有cd不含和谐发展年，故所求概率为．18．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得，∴，所以，则，因为，化简得．∵，∴．（2）由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，等号成立．此时．若的面积取到最大，则，为等边三角形，∴，由余弦定理得，∴．19．已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．(1)求与底面所成角的正切值；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）取的中点M，连接，由，得到，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，从而得到，进而证得平面，得到为直线与底面所成的角，结合，即可求解；（2）由，结合，即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，取的中点M，连接，，，，因为侧面为菱形，，所以为等边三角形，，，又因为，，，由余弦定理知，所以，所以，在中，，，可得，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，且平面，所以平面，所以为直线与底面所成的角，则，所以．（2）解：因为，所以，又因为，所以．20．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)证明函数的图象与x轴至多有两个交点．【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，根据导数与函数的极值的关系进而即得；（2）分，讨论，利用导数研究函数的性质结合条件分析即得.【详解】（1）当时，，则，由有或，由有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取极大值，极大值为，在处取极小值，极小值为；（2）证明：由题可得，①当时，由可得，由可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取极小值．又和时，，∴在和上各有一个零点．②当时，令得或．（ⅰ）当时，，∴在R上单调递增，最多有一个零点；（ⅱ）时，，由有或，由有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取极大值，极大值为，在处取极小值，极小值为．记，，即的极大值，∴在R上只有一个零点．（ⅲ）时，，由有或，由有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取极大值，极大值为，在处取极小值，极小值为，且，∴在R上只有一个零点（实际上是在上只有一个零点）．综上，无论a取什么值，在R上至多有2个零点，即的图象与x轴至多有2个交点.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.21．已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上 【分析】（1）由题意表示出，，可得，再由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程；（2）设，，的直线方程为，与椭圆联立，由韦达定理得，，化积为和得，表示出直线AD和直线BE的方程的方程，计算可得，即可证明直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，，解得，∴，∴，，，∴椭圆的方程为．（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．联立椭圆方程，消去得．设，，则，．∴，又，，∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．联立得，∴．又∵，∴．∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．22．已知曲线的参数方程为（为正数，为参数），直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点，．(1)求的值；(2)若点的坐标为，是曲线上的一点，求面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得的值；（2）根据圆的几何性质可求得点到直线的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由曲线的参数方程得：，则曲线是以为圆心，为半径的圆；由得：，直线的直角坐标方程为；圆心到直线的距离，，解得：，，又，.（2）设点到直线的距离为，则，又直线方程为：，曲线的圆心为，半径为，，面积的最大值为.23．已知函数.(1)求的单调递增区间及的最小值；(2)若均为非负数，且，求的最小值及取得最小值时的取值．【答案】(1)单调递增区间为，(2)，此时，， 【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，进而确定单调性；根据单调性可确定最小值；（2）根据，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；的单调递增区间为；由单调性可知：.（2）由（1）知：，，由柯西不等式得：（当且仅当，，时等号成立），，此时，，.