几何模型1.1 与“中点”有关的模型①（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份几何模型1.1 与“中点”有关的模型①（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共25页。PPT课件主要包含了垂直平分线性质，中线倍长构造全等，圆+弦或弧的中点，构造中位线，等腰三角形三线合一，倍长中线模型，倍长类中线模型，垂直平分线模型，垂径定理模型，∵点D是BC的中点等内容，欢迎下载使用。

2.一边的垂线过这边中点
1.中线或与中点有关线段
垂径定理或圆周角定理．
6.多个中点或平行+中点
4.直角三角形+斜边中点
5.等腰三角形+底边中点
直角三角形斜边中线性质；
【例1】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于 点F,AF=EF,求证：AC=BE.
②延长ED到点G,使得DG=DE,构造△CGD全等于△BED.
【思 考 】 你 能 想 到 哪 些 作 辅 助 线 的 方 法 ：
①延长AD到点G,使得DG=AD,构造△GDB全等于△ADC；
证法一：如解图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.
∵∠BDG=∠CDA.AD=GD.
∴△ADC≌△GDB.
∴AC=GB.∠G=∠EAF.
∴∠EAF=∠AEF.
∵∠AEF=∠BED.
证法二：如解图②,延长ED到点G,使得DG=DE,连接CG.
∵∠BDE=∠CDG,DG=DE.
∴△BED≌△CGD.
∴∠G=∠BED,BE=CG.
∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.
【变式】已知：如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证：AF=EF.
∴△ADC≌GDB(SAS)
证明：延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.
∵AD是BC边上的中线,
在△ADC和△GDB中
∴∠CAD=∠G,AC=BG.
∵∠BED=∠AEF.
∴∠AEF=∠CAD, 即∠AEF=∠FAE.
【例2】已知：如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠D.求证：AB=CD.
证明：延长DE到点F,使EF=DE,连接BF.
在△FEB和△DEC中,
∴△FEB≌△DEC(SAS).
∴∠F=∠D,BF=CD.
E是BC中点,EF∥DA,若BG=CF,求证：AD平分∠BAC.
解：延长FE到点H,使EH=EF,连接BH.
在△FEC和△HEB中
∴△FEC≌△HEB(SAS)
∴∠H=∠F,BH=CF
∴∠H=∠3=∠4=∠F
∴∠4=∠6,∠F=∠5
当三角形一边垂线过这边中点时,可以考虑用垂直平分线的性质得到(如图)：BE=CE,证明线段间的数量关系.
【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=3,AC=4,点D是AB的中点,过点D作DE⊥AB交BC的延长线于点E,则CE的长为_____.
【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB,你想到了哪些学过的知识：______________________________________________________________.
DE是线段AB的垂直平分线,垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
设CE=x,连接AE.
∵DE是线段AB的垂直平分线.
∴AE=BE=BC+CE=3+x.
∴在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2.
即(3+x)2=42+x2,
1.如图,在四边形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC.(1)求证：∠BAD=2∠MAN；(2)连接BD,若∠MAN=70º,∠DBC=40º,求∠ADC.
(1)证明：如解图,连接AC.
∵M是CD的中点,AM⊥CD.
∴AM是线段CD的垂直平分线.
(2)解：∵AM⊥CD,AN⊥BC,∠MAN=70º.
∴∠BCD=360º-90º-90º-70º=110º.
∴∠BDC=180º-∠DBC-∠BCD=30º,∠BAD=2∠MAN=140º.
∵AB=AC,AD=AC.
∴∠ADB=∠ABD=20º.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50º.
2.如图,已知AB=24,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=10,BC=20.若点E是CD的中点,则AE的长是_____.
如图,(1)圆心O是直径的中点,常与已知中点连接,或过点O作一边的平行线或垂线构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点,出现“四中点(如图1,点F、O、E、C)一垂直(FC⊥AB)”,联想“垂径定理”,解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点,可得弧相等、弦相等、圆周角相等,可进一步引出垂径定理、角平分线等来解决相应问题．
遇到圆中弦(或弧)的中点,考虑垂径定理及圆周角定理
7.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,OD⊥BC于点D,AC=6,则OD=( ) A. 2 B. 3 C.3.5 D.48.如图,AB是⊙O的直径,∠BOD=120º,点C为BD的中点,AC交OD于点E,DE=1,则AE的长为____.
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,A=30º,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( ) A.30º B.45º C.50º D.75º2.如图2,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=0.5BC,若AB=10,则EF的长是( ) A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图,在△ABC中,AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围.
4.如图,CB是△AEC中线,CD是△ABC中线,AC=AB.求证：(1)2CD=CE； (2)CB平分∠DCE.
1.在△ABC中,D为BC的中点.(1)如图1,AB=5,AC=3,AD=2,求△ABC的面积；
(1)解：如解图1,延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,CE.
∵BD=DC,DE=AD.
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴BE=AC=3,AE=2AD=4.
在△ABE中,三条边的长度3、4、5是勾股数.
∴△ABE是直角三角形.
∴S△ABE=1/2×3×4=6.
根据平行四边形的性质可知S△ABC=S△ABE.