几何模型1.3 与“角平分线”有关的模型（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份几何模型1.3 与“角平分线”有关的模型（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了双垂直，等腰三角形，全等三角形，三角形内心，角平分线+边的垂线，见角平分线作对称，角平分线+平行线，夹角模型，作双高，定角夹定高等内容，欢迎下载使用。

当题中出现角平分线或易得到角平分线(有对称或等腰三角形)时,首先 考虑利用角平分线定理求解.若另有平行或垂直等条件,则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解.常见类型 如下：
类型一 角平分线+边的垂线
类型二 角平分线+角平分线的垂线
类型三 见角平分线作对称
类型四 角平分线+平行线
类型五 角平分线+角平分线
角平分线+角平分线的垂线
3.如图3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(1)填空：点B的坐标为_______；AC的长度为____. (2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.
解：(1)∵四边形OABC是矩形.
∴AB=OC=9,BC=OA=12.
∴直线CD的解析式为y=-2x+9.
(2)作DM⊥AC于M.
∵CD平分∠ACO,DO⊥CO.DM⊥AC.
∴DO=DM,∠COD=∠CMD=90º.
∴Rt△CDO≌Rt△CDM(HL),
设OD=x,则DM=x,AD=12-x.
∵AD²=DM²+AM2.
∴x2+6²=(12-x)2,
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把C(0,9),D(4.5,0)代入得：
1.如图1,Rt△ABC中,∠C=90º,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点D到B距离DE是( )A.5 B.4 C.3 D.22.如图2,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,则DE的长是______. 
2.作DF⊥AC,CM⊥AB,垂足分别为点F,M则DF=DE.
【例2】如图,在△ABC中,∠C=90º,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE=____.
∴AE=BF=2BD=4.
【解析】延长BD,AC交于点F.
∵AD平分∠BAC,AD⊥BD.
∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.
∵AD⊥BD,∠ACB=90º,∠AEC=∠BED.
∴∠EAC=∠FBC.
∴△ACE≌△BCF.
1.如图,△ABC中,∠BAC=90º,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于点D,BE⊥AD交AD延长线于点E,连接CE,则△ACE的面积为 . 
∴S△ACE=S△AEF-S△CEF=0.5S△ABF-0.5S△BCF=0.5S△ABC=5.
【解析】延长BE和AC交于点F,易得△ABF是等腰直角三角形.
2.如图,在△ABC中,点M为BC的中点AD平分∠BAC,且BD⊥AD于点D. 求证：DM=0.5(AC-AB).
证明：延长BD交AC于E.
∴∠ADB=∠ADE=90º.
∵AD为∠BAC的平分线.
∴∠BAD=∠EAD.
∴∠ABD=∠AEB.
∴AB=AE,BD=DE.
∴DM=0.5CE=0.5(AC-AE)=0.5(AC-AB).
【例3】如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.
证法一：如图,在AB上截取AF,使AF=AC.
在△AFD与△BAC中.
∴△AFD≌△ACD(SAS)
∴DF=DC,∠AFD=∠C.
∵∠C=2∠B.∠AFD=∠3+∠B.
∵AB=AF+FB=AC+FD.
证法二：如图,延长AC到点E.使CE=DC.
∴∠CDE=∠CED.
∴∠ACB=2∠CED.
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED(AAS).
∵AE=AC+CE=AC+DC.
如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点且不与A,B重合,连接DP交对角线AC于E,连接BE.求证：∠APD=∠CBE.
∴∠APD=∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.
∴△BCE≌△DCE.
∴∠CBE=∠CDE.
∴∠APD=∠CDE.
【例4】如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=______. 
【解析】∵AC是正方形ABCD的对角线,AB=3.
∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E.
∴∠DCE=∠ECA.
∴∠CEA=∠DCE.
∴∠CEA=∠ECA.
1.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F,若AD=11,EF=5,则AB=______. 
【解析】①如图1,在▱ABCD中.
∴∠ADF=∠CFD.
∵DF平分∠ADC交BC于点F.
∴∠ADF=∠CDF.
∴∠CFD=∠CDF.
∴AB=BE=CF=CD.
∵EF=5,BC=AD=11.
∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11.
②如图2,在▱ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD.
∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,则DE=______. 
∴ED=0.5AB=2.5
【解析】∵AC∥ED,AD平分∠EAC.
∴∠CAD=∠ADE.∠CAD=∠EAD.
∴∠EAD=∠ADE.
∴∠BAD+∠ABD=90º.∠ADE+EDB=90º.
∴∠ABD=∠EDB.
3.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.求证：四边形DECF是菱形.
证明：如图,∵DE∥AC,DF∥BC.
∴四边形DECF为平行四边形,∠2=∠3.
∵CD平分∠ACB交AB于点D.
∴四边形DECF为菱形.
4.如图,在△ABC中,AB＞AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于点G.求证：BF=AC+AF.
∴△BEF≌△CEQ(SAS).
证明：延长FE至Q,使EQ=EF,连接CQ.
在△BEF和△CEQ中
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC.
∴BF=CQ,∠BFE=∠Q.
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠CAD=∠G,∠BAD=∠BFE=∠GFA.
【解析】过E作ED⊥AB于D,EM⊥BC于M,EN⊥AC于N.
易得：四边形BMED是正方形,AD=AN,CM=CN.
由勾股定理得AC=10，sin∠ACB=3/5.
设BD=BM=x,则AD=AN=6-x,MC=NC=8-x.
∴6-x+8-x=10.
∴BD=BM=DE=EN=2.
∴sin∠AFE=sin∠ACB=EN:EF=3:5
1.如图1,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=_______.2.如图2,已知△ABC的周长是18cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,若△ABC的面积为45cm2,则OD=_____；若∠BOC=110°,则∠A=____.3.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40º,则∠CAP=_____º.
1.在△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE之长为____.2.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰好在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,则AB的长为_____cm.
3.已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90º,AB=AC,BD平分∠ABC，CE⊥BD,垂足为点E,求证：BD=2CE
角平分线+垂直=构造三线合一；找全等：△CAF≌△BDACE=EF=1/2CF=1/2DB 作辅助性的本质就是：补全图形！
4.在△ABC中,∠A=90º,点D在线段BC上,∠EDB=0.5∠C,BE⊥DE,垂足为点E,DE与AB相交于点F.(1)当AB=AC时(如图1),①∠EBF=______º； ②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明；
解：(1)①22.5；
证明：在△BEF和△DEB中.
∵∠E=∠E=90º,∠EBF=∠EDB=22.5º.
∴△BEF∽△DEB.
作BG平分∠ABC,交DE于点G.
∴∠GDB=∠GBD=22.5º,∠EGB=45º.
∴BG=GD,△BEG是等腰直角三角形.
∵△BEF∽△DEB,
5.在△ABC中,∠A=90º,点D在线段BC上,∠EDB=0.5∠C,BE⊥DE,垂足为点E,DE与AB相交于点F.(2)当AB=kAC时(如图2).求BE:FD的值(用含k的式子表示).
(2)过点D作DG∥AC,交BE的延长线于点G,与BA交于点N,则∠GDB=∠C.
∵∠EDB=0.5∠C.
∴∠EDB=∠EDG.
∴∠DEB=∠DEG=90º.
∴△DEB≌△EGC(ASA)
∵∠BND=∠BNG=90º,∠BFE=∠DFN.
∴∠EBF=∠NDF.
∴△CBN∽△FDN.
∴GB:FD=BN:DN.
∴△BND∽△BAC.
∴BN:BA=DN:CA.
∴BN:DN=AB:CA=k.
∴BE:FD=0.5k.
∴BE:DF=BN:2DN.
6.已知：在△ABC中,∠ABC=60º,∠ACB=40º,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.(1)如图1,求∠BDC的度数；(2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E, DE=2,AC=4,求△ADC的面积.
解：(1)∵BD平分∠ABC.
∴∠DBC=0.5∠ABC=30º.
∴∠DCB=0.5∠ACB=20º.
∴∠BDC=180º-∠DBC-∠DCB=130º.
∴S△ADC=0.5·AC·DF=0.5×4×2=4.
(2)过点D作DH⊥BC于点H,DF⊥ABC于点F,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
∴DF=DH=DE=2.
7.如图,△ABC中,AB=AC,AD,CD分别是两个外角的平分线.(1)求证：AC=AD；(2)若∠B=60º,求证：四边形ABCD是菱形.
证明：(1)∵AB=AC.
∴∠EAD=∠DAC=0.5∠EAC.
∵∠B+∠BCA=∠EAC.
∴∠B=0.5∠EAD.
∴∠ACD=∠DCF.
(2)∵∠B=60º,AB=AC.
∴△ABC为等边三角形.
∴∠ACB=60º,AB=BC.
∴∠ACF=120º.
∴∠DCF=B=60º.
由(1)知AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是菱形.
8.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
∴四边形AECF是矩形.
解：当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时, 四边形AECF是矩形.
证明：∵CE平分∠BCA.
∴四边形AECF是平行四边形.
∴OE=OC,OF=OC,OA=OC.
∴OE=OC=OF=OA,即AC=EF.
9.如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.(1)求证：EF=EG；
(1)证明：∵∠DEF+∠BEF=90º, ∠GEF=∠GEB+∠BEF=90º.
∴∠DEF=∠BEG.
在△FED和△GEB中,
∴△FED≌△GEB(ASA).